专题13分式方程（解析版）

专题13分式方程考向考向一：解分式方程考向二：根据分式方程解的情况求值考向三：分式方程无解问题考向四：列分式方程一、解分式方程1．（2022·河南三门峡·八年级期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（）A． B．C． D．【详解】去分母得：，故选D．2．（2022·山东菏泽·八年级期末）方程＝的解是（

）．A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3【详解】∵＝∴∴经检验，当时，与均不等于0∴方程＝的解是：x＝3故选：D．3．（2022·河南·郑州市第六十四八年级期末）解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（

）A．方程两边分式的最简公分母是B．方程两边都乘以，得整式方程C．解这个整式方程，得D．原方程的解为【答案】D【详解】解：分式方程的最简公分母为（x−1）（x＋1），方程两边乘以（x−1）（x＋1），得整式方程2（x−1）＋3（x＋1）＝6，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．故选：D．4．（2022·广东广州·八年级期末）方程＝3的解是（

）A．x＝0.5 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝5.5【详解】解：分式方程整理得：，去分母得：，去括号得：，移项合并得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为．故选：C．二、根据分式方程解的情况求值1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【详解】分式方程去分母得：m-3=x-1，解得：x=m-2，由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选C．2．（2022·河北·育华八年级期末）已知是分式方程的解，那么实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【详解】解：将代入方程中，得解得：．故选：B．3．（2022·山东日照·八年级期末）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【详解】解：去分母得，解得，由方程的解为正数，得到，且，，则m的范围为且，故选：D．4．（2022·宁夏·中宁县第三八年级期末）若关于x的方程=0有增根，则m的值是A．3 B．2 C．1 D．－1【详解】解：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根．把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2．故选：B．三、分式方程无解问题1．（2022·河北石家庄·八年级期末）关于x的方程无解，则m的值为（）A．-5 B．-8 C．-2 D．5【详解】解：去分母得：3x-2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，代入整式方程①得：-5=-2+2+m，解得：m=-5．故选：A．2．（2022·江西·峡江县教学研究室八年级期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2【详解】解：去分母，得：x-3=m，由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，把x=1代入整式方程，可得：m=-2．故选：A．3．（2022·河北·阜城县教育科学研究室八年级期末）已知关于x的方程有增根，则a的值为（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【详解】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．四、列分式方程1．（2022·广西北海·八年级期末）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A． B．C．+4＝9 D．【详解】∵轮船在静水中的速度为x千米/时，∴顺流航行时间为：，逆流航行时间为：，∴可得出方程：，故选：A．2．（2022·天津河西·八年级期末）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是（）A． B．C． D．【详解】设原计划每天铺设钢轨米，可得：，故选A．3．（2022·河北邯郸·八年级期末）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（

）A． B． C． D．【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：故选：B．4．（2022·重庆江北·八年级期末）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【详解】根据题意可得：列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，高铁列车所用的时间为：，普通列车的时间为：，所列方程为：，故选：A．一、单选题1．（2022·安徽·定远县育才八年级期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（

）A． B． C． D．【详解】解：∴方程表达为：解得：，经检验，是原方程的解，故选：B．2．（2022·河北沧州·八年级期末）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（

）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【详解】解：，两边同时乘以得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，当时，是原分式方程的解；当时，是原分式方程的解；故选：D．3．（2022·河南·林州市开元八年级期末）有一段全长为800米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10%，

结果提前3天完成这一任务，设原计划每天整改x米，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【详解】实际每天整改米，则实际完成时间天，计划完成时间天，∵实际比计划提前3天完成任务∴得方程．故选C．4．（2022·江苏·扬州市梅岭八年级期末）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≥1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1【详解】去分母可得：m-1=2(x-1)，解得：x=，根据解为非负数可得：且x≠1，即0且x≠1，解得：m≥-1且m≠1.5．（2022·山东枣庄·八年级期末）若关于x的方程有增根，则k的值为(

)．A．3 B．1 C．0 D．－1【详解】首先根据解分式方程的方法求出x的值然后根据增根为x=1代入方程求出k的值将方程的两边同时乘以(x-1)可得3=x-1+k，解得：x=4-k根据方程有增根可得：x=1即4-k=1，k=3故选A6．（2022·福建福州·八年级期末）若关于x的分式方程无解，则k的值为（

）A．1或﹣4或6 B．1或4或﹣6 C．﹣4或6 D．4或﹣6【详解】分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)整理得：(k-1)x=-10当k=1时，上述方程无解，从而原分式方程无解；当k≠1时，分式方程的增根为2或-2当x=2时，则有2(k-1)=-10，解得：k=-4；当x=-2时，则有-2(k-1)=-10，解得：k=6综上所述，当k的值为1或﹣4或6时，分式方程无解；故选：A．7．（2022·河北石家庄·八年级期末）某文具店购进，两种款式的书包，其中种书包的单价比种书包的单价低．已知店主购进种书包用了元，购进种书包用了元，且所购进的种书包的数量比种书包多个．设文具店购进种款式的书包个，则所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【详解】解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x＋20）个，依题意，得：，故选：B．8．（2022·重庆荣昌·八年级期末）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数的值之和为（

）A．6 B．10 C．11 D．15【详解】对于不等式组，解得：，∵原不等式组无解，∴，∴；对于分式方程，解得：，∵原分式方程的解为非负数，∴，∴，又∵对于原分式方程，∴，即：，∴的范围是：且，∴符合条件的整数有：1，2，3，5，∴，故选：C．9．（2022·河南商丘·八年级期末）小朱要到距家1500米的上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是A． B．C． D．【详解】小朱与爸爸都走了1500米－60米＝1440米，小朱速度为x米/分，则爸爸速度为（x＋100）米/分，小朱走1440米用时分钟，爸爸走1440米用时分钟，根据小朱多用时10分钟，可列方程为：．故选B．10．（2022·重庆江津·八年级期末）已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（

）A．20 B．18 C．17 D．15【详解】解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a，∴8−6＜a＜8＋6．即：2＜a＜14，∵，∴y＝6−a，∵解是非负数，且y≠3，∴6−a≥0，且6−a≠3，∴a≤6且a≠3，∴2＜a≤6且a≠3，∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15．故选：D．二、填空题11．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三八年级期末）若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．【详解】解：根据题意且∴∴∴k的取值范围是且．12．（2022·山东潍坊·八年级期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树_________棵．【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x棵，依题意得：，解得：x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，∴(1+25%)x=125．故答案为：125．13．（2022·甘肃·民勤县第六八年级期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________．【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，解得x=m-2，∵分式方程的解为正数，∴x=m-2＞0且x-1≠0，即m-2＞0且m-2-1≠0，∴m＞2且m≠3，故答案为：m＞2且m≠3．14．（2022·广东·深圳市龙华区万安八年级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．【详解】解：方程两边都乘x-3，得x-2（x-3）=m2，∵原方程增根为x=3，∴把x=3代入整式方程，得．故答案为：．15．（2022·湖北黄石·八年级期末）分式方程有增根，则的值为__________．【详解】解：∵分式方程有增根，∴x-1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=-2．两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3，当x=-2时，m=-2+2=0，当m=0时，方程为=0，此时1=0，即方程无解，∴m=3时，分式方程有增根，故答案为m=3.三、解答题16．（2022·福建·尤溪县坂面八年级期末）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【详解】（1）设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件化简得：600×1.5=600+5×1.5x解得x=40经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义．1.5x=60答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得由①得y=75-1.5x

③将③代入②得：150x+120（75-1.5x）≤7800