四川省宜宾市兴文第二名校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题（原卷版+解析版）

第第页四川省宜宾市兴文第二名校2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题（原卷版+解析版）兴文二中高2023级高三10月考试

数学（文史类）

本试卷共23小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，则M∩N=（）

A.[-1，2]B.[-2，1]C.D.

2.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某学校共有学生人，其中高一年级人，高二年级与高三年级人数相等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取人，则应从高二年级抽取的人数为（）

A.B.C.D.

4.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）

A.B.C.D.

5.已知，，，则a，b，c的大小关系（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

6.已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数，则的图象大致为（）

A.B.

C.D.

8.设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（）

A.B.C.D.

9.已知，，则下列选项正确的是（）

A.B.

C.D.

10.若函数在上单调递增，则取值不可能为（）

A.B.C.D.

11.已知函数，若对，都有成立，则取值范围是（）

A.B.C.D.

12.已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（）

A.B.C.D.

第II卷非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知，满足，则目标函数的最大值是________.

14.若周期为的函数，在其定义域内是偶函数，则函数的一个解析式为________．

15.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______.

16.，其最大值和最小值的和为____________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知函数在与处都取得极值.

（1）求，值；

（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.

18.已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．

（1）求在上的单调递增区间；

（2）当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．

19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，当取最大值时，求外接圆的半径．

20.如图.在三棱锥中，为正三角形，为的重心，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.说明理由.

21.已知函数.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）当时，证明：只有一个零点.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）射线：与曲线交于点A，射线：与曲线交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；

（1）直接写出曲线、射线的极坐标方程．

（2）求△AOB的面积．

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数，记的最小值为m.

（1）求m；

（2）若，求的最小值.兴文二中高2023级高三10月考试

数学（文史类）

本试卷共23小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，则M∩N=（）

A.[-1，2]B.[-2，1]C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交运算即可求解.

【详解】由，

M={-2，0，1}，

则M∩N=.

故选：D

【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题.

2.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.

【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点，

故选:D.

3.某学校共有学生人，其中高一年级人，高二年级与高三年级人数相等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取人，则应从高二年级抽取的人数为（）

AB.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】设高二年级应抽取人，根据分层抽样的含义列出方程，解出即可.

【详解】由题意知，高二年级有600人，设高二年级应抽取人，

则，得，

故选：B.

4.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据题意得，再根据向量夹角公式即可得答案.

【详解】解：由，均为单位向量，得，

所以，

故与的夹角为.

故选：B.

【点睛】本题考查向量夹角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题.

5.已知，，，则a，b，c的大小关系（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.

【详解】因为，，，

所以b>a>c

故选：D

【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题.

6.已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】计算出，利用向量夹角公式求出，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.

【详解】，，，

，令，解得，

则和夹角为，，

则可得到和夹角为，

故是和夹角为的充分不必要条件.

故选：A.

7.已知函数，则的图象大致为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的函数，由时的单调性排除两个选项，当时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.

【详解】函数的定义域为，

当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，

因此函数在上递增，BD错误；

当时，，求导得：在上递增，

，，而，即有，

则存在，使得，当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.

故选：A

8.设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求.

【详解】奇函数，，即，

即，，，

.

故选：C.

9.已知，，则下列选项正确的是（）

A.B.

CD.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系.

【详解】构造函数，，，，

易知函数，为增函数.

函数，与函数的图象，如下图所示：

由图可知，.

又，，所以.

综上，.

故选：B

10.若函数在上单调递增，则的取值不可能为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两角差正弦公式可得，根据正弦函数的单调性可得且，求解即可.

【详解】∵，

∴令，即.

∵在上单调递增，

∴且，解得.

故选:D.

11.已知函数，若对，都有成立，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，只需，进而利用导数研究单调性，求最值即可.

【详解】解：由题可知，

函数在上单调通减，在上单调递增，

又∵，，

，．

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于将问题转化为，进而求函数最值即可，考查化归转化思想，运算求解能力，是中档题.

12.已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先得到是与底面所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算．

【详解】因为侧棱底面，

则是与底面所成的角，则．

故由，得．

设，则，

解得．

所以球的半径，

所以球的表面积．

故选：A．

【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

第II卷非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知，满足，则目标函数的最大值是________.

【答案】

【解析】

【分析】作出不等式组所表示的区域，转化为直线在轴上的截距最大值问题即可.

【详解】根据题意，作出所表示的可行域，如图：

由，得，作出的平行直线簇，

结合图像可知当经过点时，截距取得最大值，即取得最大值，

联立，解得，即，

所以.

故答案为：5.

14.若周期为的函数，在其定义域内是偶函数，则函数的一个解析式为________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.

【详解】为偶函数，若其最小正周期为，则，

一个满足题意的解析式为.

故答案为：（答案不唯一）.

15.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.

【详解】根据三角函数的定义可知，，

由二倍角公式得.

故答案为：.

16.，其最大值和最小值的和为____________．

【答案】0

【解析】

【分析】证明函数是奇函数即得解.

【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.

所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．

故答案为：0

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知函数在与处都取得极值.

（1）求，的值；

（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.

（2）求出函数的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.

【小问1详解】

由求导得：，

依题意，，解得，此时，，

当或时，，当时，，即，是函数的极值点，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，令，，

由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，

当时，取极大值，当时，取极小值，

因方程有三个实数根，则函数有三个零点，

于是得，解得，

所以实数的取值范围是.

18.已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．

（1）求在上的单调递增区间；

（2）当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可；

（2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可,

【小问1详解】

，

由题意知，的最小正周期为，所以，解得，

∴，

令，解得

取，则取，则，

所以在上的单调递增区间为．

【小问2详解】

由（1）知，

当时，，

由的对称性可知，解得，

所以.

19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，当取最大值时，求外接圆的半径．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解；

（2）由题得，平方得，再利用基本不等式求出，由余弦定理和勾股定理求出，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.

【小问1详解】

，

即，

，

即，

则，又，

．

【小问2详解】

由题得,

所以，

所以，所以，

所以（当且仅当时取等）

所以.

由余弦定理得.

所以，所以.

所以

设外接圆的半径为,所以

所以外接圆的半径为.

20.如图.在三棱锥中，为正三角形，为的重心，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）在中，易证，再根据，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可.

（2）取的中点，连接，，在平面内过点作，易得平面，然后再根据为的重心，由求解.

【详解】（1）设，则，在中，由余弦定理，得.

因为，

所以.

因为，，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）如图所示：

取的中点，连接，，则点在上，

在平面内过点作的平行线交于点.

因为，平面，平面，

所以平面.

因为为的重心，

所以，

又，

所以，

所以在棱上存在点，使得直线平面，此时.

【点睛】方法点睛：（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥αb⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥βa⊥β)；⑤面面垂直的性质．

（2）证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aαα⊥β)．

21.已知函数.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）当时，证明：只有一个零点.

【答案】（1）在上单调递增，上单调递减；极大值，无极小值

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间,求出函数的最小值,结合函数的零点个数求出的范围即可.

【小问1详解】

当时，，

由得，，由得，或

∴在上单调递增，上单调递减，

∴在处取得极大值，无极小值.

【