湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（含解析）

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数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章第一节.

一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则（）

A.1B.2C.3D.4

2.设单位向量，满足，则与的夹角为（）

A.B.C.D.

3.已知为奇函数，则（）

A.B.1C.0D.

4.等式成立的充要条件是（）

A.B.C.D.

5.在四面体中，，，，，为的中点，若，则（）

A.B.3C.D.2

6.如图，三棱锥的棱长均为，点，，分别是，，的中点，则等于（）

A.B.

C.D.

7.如图，，分别是圆台上下底面圆的直径，，是圆上一点，且，则在上的投影向量是（）

A.B.C.D.

8.由两种或两种以上的正多边形围成的多面体称为“半正多面体”，由于古希腊著名学者阿基米德首先列举了所有的半正多面体，故又称为“阿基米德多面体”.现将棱长为的正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，则这个半正多面体的外接球的表面积为（）

A.B.C.D.

二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知全集，集合，，则（）

A.B.C.D.

10.已知点，，下列结论正确的是（）

A.若直线的方向向量为，则

B.若直线的斜率为，则

C.若，则为直角三角形

D.若，，则四边形是平行四边形

11.已知平面，，，与平面成30°角，，则与之间的距离可能是（）

A.B.C.4D.

12.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2，在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（）

A.该几何体的表面积为

B.该几何体的体积为4

C.二面角的余弦值为

D.若点，在线段，上移动，则的最小值为

三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知点和，则直线的倾斜角为________.

14.已知正数，满足，则的最小值为________.

15.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则________，的取值范围为________.

16.如图，正方体的棱长为2，是的中点，点，分别在直线，上，则线段的最小值为________.

四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知点，.

（1）若点在轴上，且为直角，求点的坐标；

（2）若点，且点，，在同一条直线上，求的值.

18.（12分）

已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）当时，求使成立的的取值集合.

19.（12分）

如图，在长方体中，，为棱的中点.

（1）证明：平面.

（2）若是线段的中点，求的面积.

20.（12分）

甲乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷.规定第1次由甲投掷.

（1）求第2次由甲投掷的概率；

（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率.

21.（12分）

在三棱台中，平面，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.

（2）若，在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

如图，在四面体中，，，，，，，，分别为棱，，的中点，点在线段上.

（1）若平面，试确定点的位置，并说明理由；

（2）求平面与平面的夹角的取值范围.

高二数学试卷参考答案

1.A因为，所以.

2.C设与的夹角为，因为，所以.

3.B因为是偶函数，所以是奇函数，由，可得.

4.D因为，所以，展开得，化简得，所以.

5.B如图，因为为的中点，所以，所以，由，解得.

6.D由题意知三棱锥为正四面体，易知，且.

因为，

，故选D.

7.A如图，取在下底面的投影，作，垂足为.

连接，则在上的投影向量是.

设上底面圆的半径为，则.

故在上的投影向量是.

8.B如图，半正多面体的外接球的球心与正四面体的外接球的球心相同，

设为为正的外心，为的一个三等分点，

因为，易求得.

设正四面体的外接球的半径为，在Rt中，，

解得.在中，可得，所以，这个半正多面体的外接球的表面积为.

9.BCD因为，所以，正确，A错误.

10.BC对于错误.对于，因为，所以，B正确.

对于，因为，所以，C正确.

对于，因为，所以四边形不是平行四边形，错误.

11.AC如图，因为，所以.

作，垂足为，连接，

则或.

易知

，

若，则，若，则，A，C正确.

12.BCD因为，所以.该几何体的表面积为，错误.

该几何体的体积为，B正确.

设的中点为，连接（图略），则

即二面角的平面角.

，C正确.

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，

，

当且仅当时，等号成立.故的最小值为，正确.

13.设直线的倾斜角为，则.又，所以.

14.18因为，当且仅当时，等号成立.

15.；因为，所以，解得.又因为

，所以.又，所以，从而

16.建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

设，则.

.

当时，取得最小值，最小值为.

17.解：（1）设，则.

因为为直角，所以.

由，解得或，

即点的坐标为或.

（2）因为，

，

因为点在同一条直线上，所以，

解得.

18.解：（1）由函数图象可知，

又因为，可得，

所以.

将点代入，化简得，

因为，所以，

所以.

（2）当时，要使成立，只需，

所以，

解得，

所以当时，使成立的的取值集合是.

19.（1）证明：如图，以为原点，的方向分别为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，根据题意，可得，

则

设是平面的法向量，可得

则令，得.

因为平面，所以平面.

（2）解：由（1）知，，则，所以.

设到直线的距离为，则，

所以.

20.解：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36.

记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，

则，

有12个样本点.

.

故第2次由甲投掷的概率为.

（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：

第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为

第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为

第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为

故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为.

21.（1）证明：因为为的中点，所以.又，所以四边形为平行四边形，.

因为为的中位线，所以.

又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：连接，因为平面，且平面，所以平面平面.

又平面平面，易知，所以平面，所以.

又，所以平面，从而，故四边形为正方形，.

如图，建立空间直角坐标系，

则，不妨设，则

设平面的法向量为，则

得令，可得

设直线与平面所成的角为，则

，

由，得，则，所以线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为.

22.解：（1）若平面，则为的中点.

理由如下：

因为分别为的中点，所以.

因为平面，所以平面.

若平面，只需即可.

因为为的中点，所以为的中点.

（2）过点作平