能力专题12抽象概括能力（教师版）

能力专题12抽象概括能力数学抽象和数学建模是高中数学核心素养，高考考查要求是能够通过对实例的探究发现研究对象的本质，能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出数学抽象和数学建模是高中数学核心素养，高考考查要求是能够通过对实例的探究发现研究对象的本质，能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断，能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题。通过本专题的复习要注意准确、严密的语言表达解题过程，做到概括能力和语言表达能力协同发展。重视基本概念、基础知识、基本技能、基本思想与方法，是培养抽象概括能力的基础；适当的进行应用题、探索题和信息迁移题的训练，是培养抽象概括能力的必要手段。专题中两个探究（抽象函数、数学建模应用）从两个高考热门考点出发，突出体现了对抽象概括能力的分析与考查。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：对抽象函数的研究【典例剖析】例1.(2022·江西省·联考题)对于定义在R上的函数f(x)，如果存在实数m，使得f(m+x)⋅f(m-x)=1对任意实数x∈R恒成立，则称f(x)为关于m的“δ函数”.已知定义在R上的函数f(x)是关于0和1的“δ函数”，且当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[1,2]，则当x∈[-2,2]时，f(x)的值域为(

)A.[12,2] B.[12,1]选题意图:选题意图:新定义、新信息迁移问题考查学生运用现有的运算法则和运算律的基础上定义一种新的概念或运算或规律或性质等问题，新定义、新信息可以以文字形式出现，也可以数学符号或数学表达式的形式出现，此类问题表述比较抽象，需要学生读懂题意，较好地考查学生抽象概括能力.思维引导：本题主要考查抽象函数的应用，根据“δ函数”的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．根据“δ函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．【答案】A

【解析】解：若函数f(x)是关于0和1的“δ函数”，

则f(x)⋅f(-x)=1，f(1+x)⋅f(1-x)=1，

则f(x)≠0，

即f(2+x)⋅f(-x)=1，

即f(2+x)⋅f(-x)=1=f(x)⋅f(-x)，

则f(2+x)=f(x)，

即函数f(x)是周期为2的周期函数，

当x∈[1,2]时，2-x∈[0,1],

∴f(x)=1f(-x)=1f(2-x)∈[【变式训练】练11.(2021·全国·真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx:①fx1x2=fx1fx【答案】f(x)=x2(答案不唯一，f【解析】解：取f(x)=x2，则f(xf'(x)=2x，x>0时有f'x>0，满足f'(x)=2x的定义域为又f'(-x)=-2x=-f'(x)，故故答案为：f(x)=x2(答案不唯一，练12.(2021·江苏省南京市·月考)已知函数f(x)(x∈R)满足当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x1，x2满足f(x1+x2)=f(x1)f(xA.函数f(x)在R上单调递增 B.f(0)=0或1

C.函数f(x)为非奇非偶函数 D.12[f(【答案】ACD

【解析】解：令x1=1，x2=0，得f(1)=f(1)f(0)，

由题意知f(1)≠0，所以f(0)=1，故B错误；

当x<0时，-x>0，f(0)=f(-x)f(x)=1，进而得0<f(x)<1．

设x1，x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0，f(x2-x1)>1，

f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)[f(x2-x【规律方法】培养抽象概括能力的路径与方法：（1）概念教学从具体上升到抽象，如函数的概念、函数的单调性、异面直线所成的角等概念具有高度抽象性，概念教学是一个从特殊到一般的引出过程，即先通过实例、图形对概念获得初步的感性认识，然后通过实例。图形进行分析、比较，抽象概括出概念的本质属性；（2）总结方法从特殊到一般，提升抽象概括能力；（3）知识迁移中培养抽象概括能力，数学知识之间存在很强的相关性与相似性，如讲“双曲线的几何性质”时，可以通过归纳椭圆的几何性质，再推理、概括出双曲线的一系列类似性质；（4）知识拓展中培养抽象概括能力，在对原有知识的消化和吸收上再进行延伸和拔高，抽象概括出一般规律，再将其拓展和推广。探究2：数学建模应用型问题【典例剖析】例2.(2022·全国·联考)中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为1315，B组3人康复的概率分别为910，34，34．

(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求P(CD);

(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好?选题意图:选题意图:解答本题需要将现实生活中的问题进行数学抽象，选择恰当的概率模型解决实际问题，并将概率研究对象进一步抽象，引入随机变量，利用随机变量变量的分布列确定其数字特征，进行概率决策，在这个过程中体会构建离散型随机变量描述随机现象的好处及一般方法，提升数学抽象和数学建模素养，培养学生的抽象概括能力和创新意识.思维引导:本题考查基础概率的计算、离散型随机变量的分布列和期望，利用期望进行决策.(1)求出P(C)和P(D)，利用相互独立事件的概率公式即可求解;(2)求出Y1的所有可能取值和对应概率，得Y1的分布列和期望，由期望的性质得Y2的期望，比较即可判断．【解析】解：(1)依题意有，P(C)=C31×1315×(1-1315)2=521125，

P(D)=910×14×14+110×C21×14×34=332．

又事件C与D相互独立，则P(CD)=P(C)P(D)=521125×332=133000Y0123P1156381所以E(Y1)=0×1160+1×15160+2×63160+3×81160=【变式训练】练21.(2022·江苏省·模拟)全球疫情持续扩散与变异，抗病毒的药也在不断地调整配方，生产新的药品来治疗新冠肺炎．现有某厂研制了一种新药，为检验新药对新冠肺炎的治疗效果，对20名阳性感染者分两组(每组10名)分别用原药与新药进行治疗，连续用药10天后，检测每名感染者血液中的SAA(mg/L)指标，得出数据如下：用原药9.811.28.712.47.64.814.27.68.212.5用新药8.69.67.411.28.45.413.27.28.011.0用原药和新药的SAA指标的样本平均数分别记为x和y．(1)求x，y；(2)当SAA的指标不大于11 mg/L时，医学上认为该项指标正常，否则不正常．①现从上表SAA的指标不正常的指标中随机抽取4个，其中用原药的个数记为X，求X的分布列与数学期望；②用样本数据定义一个等差数列{an}，其中a1=x，a2【解析】解：(1)x=9.8+11.2+8.7+12.4+7.6+4.8+14.2+7.6+8.2+12.510=9.7，

y=8.6+9.6+7.4+11.2+8.4+5.4+13.2+7.2+8.0+11.010=9．

(2) ①从表中数据可知：用原药有4个指标不正常，用新药有2个指标不正常，

所以共有6个指标不正常，

用原药的个数记为X，从6个指标不正常中随机抽取4个，

则X的可能取值为2，3，4，

因此P(X=2)=X234P281EX=2×25+3×815+4×115=83．

 ②因为a1=x，a2=y，所以等差数列{an}练22.(2022·湖北省武汉市·联考)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望;

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1=1，p2=0．

 ①试证明{pn-14}为等比数列;

 ②设第【解析】解：(1)依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为p=13×13×3×12=16，

门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3X0123P1252551

期望E(X)=0×125216+1×2572+2×572+3×1216=12．

(2) ①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当n≥2时，第又p1-14=34，∴pn-14是以34为首项，公比为-13的等比数列．【规律方法】解数学应用题的过程，实质就是利用数学化的方法，将现实问题进行数学抽象，转化为数学