第二节　向心力与向心加速度

第二节向心力与向心加速度核心素养导学物理观念(1)理解向心力和向心加速度的概念。(2)掌握向心力和向心加速度的计算方法。(3)准确认识向心力并能找出向心力。科学思维能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力；通过实例认识向心力的作用及来源。科学探究在“探究影响向心力大小的因素”实验过程中，熟悉控制变量法的应用，提高科学探究的能力。科学态度与责任有主动将所学知识应用到日常生活的意识，能在合作中坚持自己的观点；能体会物理学技术应用对日常生活的影响。一、感受向心力1．向心力：物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的_____，这个指向_____的合外力称为向心力。2．作用效果：向心力只改变物体线速度的______，不改变线速度的_____，因此向心力不做功。3．来源：向心力是根据力的__________来命名的。它可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是某几个力的合力，或是某个力的分力。向心力是效果力，不是性质力，它是根据力的效果命名的。分析物体受力时，不分析向心力。

圆心圆心方向大小作用效果二、探究影响向心力大小的因素1．实验目的：探究做圆周运动的物体所需要的__________与其质量m、转动半径r和转动角速度ω之间的关系。2．实验器材：向心力演示器(如图)，小球等。向心力F越大越大越大正比正比mω2r圆心方向ω2r1.用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，在这个过程中，小球受力情况如何？若绳上的力突然消失，会出现什么现象？

提示：小球在光滑水平面上受重力、支持力、绳子的拉力；拉力提供向心力。若拉力突然消失，小球将沿切线飞出，做匀速直线运动。2．如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动。已知图中双向四车道的总宽度为d，内车道边缘的最小半径为R。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的k倍。

×√××√3．如图所示，一辆汽车以恒定速率驶入环岛，请对以下结论作出判断：(1)汽车在环岛中各点的向心加速度是相同的。

()(2)汽车在环岛中运动的加速度指向环岛的圆心。

()(3)汽车以恒定速率在环岛内运动四分之一圆弧时，其速度变化量与初速度的夹角为135°。

()(4)汽车在相等时间内的速度变化量相同。

()×√√×新知学习(一)|向心力的来源分析和计算[任务驱动]如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？提示：(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。(2)当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。3．几种常见的圆周运动向心力的来源实例分析图例向心力来源在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动弹力提供向心力用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动绳的拉力(弹力)提供向心力物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止静摩擦力提供向心力用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时拉力和重力的合力提供向心力小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力续表[针对训练]1．(2022·珠海学考检测)如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是

(

)A．木块A受重力、支持力和向心力B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同解析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。C正确。答案：C

2.

某同学用细绳牵引小沙袋在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。不计空气阻力，关于沙袋做圆周运动的向心力大小，下列判

断正确的是

(

)A．等于细绳拉力B．大于细绳拉力C．等于细绳拉力与沙袋重力的合力D．大于细绳拉力与沙袋重力的合力解析：对沙袋受力分析，受竖直向下的重力、沿绳斜向上的拉力，而沙袋做圆周运动的向心力与沙袋处于同一水平面并指向圆心，所以重力和细绳的合力提供向心力，根据平行四边形定则可知此合力小于细绳拉力，故A、B、D错误，C正确。答案：C

新知学习(二)|探究向心力大小的表达式[重点释解]1．实验仪器2．实验原理及探究方法(1)实验原理

匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套筒里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。(2)探究方法——控制变量法控制变量探究内容m、r相同，改变ω探究向心力F与角速度ω的关系m、ω相同，改变r探究向心力F与转动半径r的关系ω、r相同，改变m探究向心力F与质量m的关系3．实验步骤(1)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样。探究向心力的大小与角速度的关系。(2)保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。(3)换成质量不同的小球，分别使两小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。(4)重复几次以上实验。4．数据处理(1)m、r一定序号123456F向

ω

ω2

(2)m、ω一定序号123456F向

r

(3)r、ω一定序号123456F向

m

(4)分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。5．实验结论(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。

[针对训练]1.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：

绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周

运动(如图所示)，则下列说法中正确的是

(

)A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小解析：由向心力的表达式Fn＝mω2r可知，保持绳长不变，增大角速度，向心力增大，绳对手的拉力增大，A错误，B正确；保持角速度不变，增大绳长，向心力增大，绳对手的拉力增大，C、D错误。答案：B

2．(2023·浙江1月选考，节选)“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。(1)采用的实验方法是________。A．控制变量法B．等效法C．模拟法(2)在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的________之比(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值________(选填“不变”“变大”或“变小”)。解析：(1)该实验探究多个物理量之间的关系，应用控制变量法。(2)根据向心力表达式F＝mω2r，在小球质量、转动半径相同的情况下，F∝ω2，左右标尺标记的比值为F之比，等于角速度的平方比；由于两球角速度比为定值，则标记的比值不变。答案：(1)A

(2)角速度平方不变新知学习(三)|对向心加速度的理解[任务驱动]如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。分析地球和小球的运动，并回答以下问题：(1)分析地球受到什么力的作用？这个力沿什么方向？小球受到几个力的作用？合力沿什么方向？(2)根据牛顿第二定律，分析地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？提示：(1)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心。小球受到重力、支持力、细线的拉力作用，合力等于细线的拉力，方向沿半径指向圆心。(2)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是沿半径指向圆心。加速度的方向时刻指向圆心，所以方向不断变化。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。

[重点释解]1．向心加速度的物理意义描述线速度改变的快慢：(1)只表示线速度的方向变化的快慢；(2)不表示线速度大小变化的快慢。2．向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。3．匀速圆周运动的加速度与向心加速度的关系匀速圆周运动中，物体的加速度就等于向心加速度，方向一定指向圆心。4．变速圆周运动的加速度与向心加速度的关系变速圆周运动中，物体的加速度一般情况下不等于向心加速度，方向不一定指向圆心，加速度可分解为两个分量：(1)向心加速度an，方向指向圆心，表示速度方向变化的快慢；(2)切向加速度at，方向沿切线方向，表示速度大小变化的快慢。[特别提醒]

变速圆周运动中某些位置物体的加速度：(1)可能等于向心加速度，方向指向圆心；(2)也可能不等于向心加速度，方向不指向圆心。[针对训练]1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是

(

)A．它描述的是线速度大小变化的快慢B．它描述的是线速度方向变化的快慢C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢D．它描述的是角速度变化的快慢解析：向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度的方向变化的快慢，不表示线速度的大小变化的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度的大小是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。答案：B

2.(多选)如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中

(

)A．笔尖的角速度不变B．笔尖的线速度不变C．笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度相等D．笔尖的加速度不变解析：在圆规匀速转动画圆的过程中，线速度的方向在改变，所以笔尖的线速度改变，而角速度不变，故A正确，B错误；笔尖和针尖的连线在相等的时间内转过的角度φ＝ωt相等，故C正确；笔尖的加速度，即圆周运动的向心加速度a＝ω2r，大小不变，而方向时刻在改变，故D错误。答案：AC

3．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是

(

)解析：做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。答案：B

新知学习(四)|向心加速度的大小[重点释解]1．向心加速度的几种表达式(3)当角速度一定时向心加速度的大小与运动半径成正比，如图丁所示。[典例体验][典例]

(多选)如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2上轮的半径为2r，A、B、C分别为轮缘上的三点，设皮带不打滑，则下列比例关系正确的是

(

)A．A、B、C三点的加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝6∶2∶1B．A、B、C三点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝3∶1∶1C．A、B、C三点的角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1D．A、B、C三点的加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝3∶2∶1/方法技巧/向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。

[针对训练]1.如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度

分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则

(

)A．ωP<ωQ，vP<vQ B．ωP＝ωQ，vP<vQC．ωP<ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP>vQ解析：P、Q两点是同轴转动，故角速度相等，即ωP＝ωQ；根据v＝ωr可知，因rQ>rP，则vP<vQ。故选B。答案：B

2．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点的向心加速度大小约为

(

)A．10m/s2 B．100m/s2C．1000m/s2 D．10000m/s2解析：纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100πrad/s，由向心加速度a＝ω2r≈1000m/s2，C正确。答案：C

新知学习(五)|匀速圆周运动及其案例分析[典例体验][典例]图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10m，质点的质量m＝60kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6,cos37°＝0.8，g取10m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：(1)绳子拉力的大小；(2)转盘角速度的大小。[拓展]对应[典例]中的情境，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？提示：角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，绳子拉力变大。

[系统归纳]1．匀速圆周运动问题的求解方法

圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是两类基本问题：由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。整体步骤仍与“牛顿运动定律解决问题”一致。2．匀速圆周运动问题的求解步骤(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)。(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)。(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程。(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论。[重点释解]1．变速圆周运动：物体做圆周运动，它的线速度大小不断改变，这种圆周运动称为变速圆周运动。变速圆周运动是变加速曲线运动(加速度大小、方向都变化)。2．受力特点：物体所受的合力F不指向圆心，将F分解为跟圆弧相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn。Fn指向圆心，提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向；Ft与物体的速度在一条直线上，改变物体速度的大小。物体做变速圆周运动时，合力F的方向与速度v的方向所成的夹角θ小于90°时，如图甲所示，其中Ft使速度v增大，Fn改变速度v的方向。同理，合力F的方向与速度v的方向所成的夹角θ大于90°时，如图乙所示，Ft使速度v减小，Fn改变速度v的方向。[针对训练]1.如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是

(

)A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为cB．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为aD．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b解析：转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小

减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D错误。答案：A

解析：物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心(最低点除外)，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。答案：D

3.如图所示，质量m＝1kg的小球从某高度下落后刚好沿一光滑的

圆弧AB滚下后落在地面的C点，已知圆弧半径R