2022-2023学年江西省赣州市四校协作体高三统一联考数学试题

2022-2023学年江西省赣州市四校协作体高三统一联考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．2．若是定义域为的奇函数，且，则A．的值域为 B．为周期函数，且6为其一个周期C．的图像关于对称 D．函数的零点有无穷多个3．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．4．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“若，则”的逆命题为真命题C．，使成立D．“若，则”是真命题5．设全集集合，则（）A． B． C． D．6．函数的图象为C，以下结论中正确的是（）①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③7．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．8．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）A． B． C． D．9．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（）A． B． C． D．10．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．11．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（）A． B． C． D．12．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中的系数为_________.（用数字做答）14．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．15．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______.16．某种牛肉干每袋的质量服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为，.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于的袋数大约是_____袋.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.18．（12分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.19．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.20．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.21．（12分）己知，函数.（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.2、D【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数，则，，又，，即是以4为周期的函数，，所以函数的零点有无穷多个；因为，，令，则，即，所以的图象关于对称，由题意无法求出的值域，所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.3、D【解析】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.4、D【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．选项C，由题意知对，都有，故C不正确．选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．选D．5、A【解析】

先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.6、B【解析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.【详解】因为，又，所以①正确.，所以②正确.将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.所以①②正确，③错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.7、C【解析】

由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程.【详解】由题得①又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，所以②又③由①②③可得：，，所以双曲线的标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.8、D【解析】

根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数，则，所以.又的图象关于直线对称可得，，即，，由函数的单调区间知，，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.9、C【解析】

求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.【详解】如下图所示：设点关于直线的对称点为点，则，整理得，解得，即点，所以，圆关于直线的对称圆的方程为，设点，则，当时，取最小值，因此，.故选：C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.【详解】根据题意，可知为等差数列，公差，由成等比数列，可得，∴，解得.∴.根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.11、B【解析】

可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解【详解】设，则.由题意有，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题12、D【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、210【解析】

转化，只有中含有，即得解.【详解】只有中含有，其中的系数为故答案为:210【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14、【解析】

不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解，【详解】不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示：由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，，顶点D到面ABC的距离为所以，由余弦定理得：，所以，所以，又顶点A到面EDF的距离为，所以，因为，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，15、【解析】

由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围．【详解】解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且是解题的关键，属于基础题．16、1【解析】

根据正态分布对称性，求得质量低于的袋数的估计值.【详解】由于，所以，所以袋牛肉干中，质量低于的袋数大约是袋.故答案为：【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设点，，则，代入化简得到答案.（Ⅱ）分别计算，的极坐标方程为，，取代入计算得到答案.【详解】（Ⅰ）设点，，，故，故的参数方程为：（为参数）.（Ⅱ），故，极坐标方程为：；，故，极坐标方程为：.，故，，故.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.18、（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）得，当，时，可得①，②②①得，，则有，即，，.因为，由①得，，所以，所以，.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.（3）由（2）得，所以，.假设存在等差数列，其通项，使得对任意，都有，即对任意，都有.③首先证明满足③的.若不然，，则，或.（i）若，则当，时，，这与矛盾.（ii）若，则当，时，.而，，所以.故，这与矛盾.所以.其次证明：当时，.因为，所以在上单调递增，所以，当时，.所以当，时，.再次证明.（iii）若时，则当，，，，这与③矛盾.（iv）若时，同（i）可得矛盾.所以.当时，因为，，所以对任意，都有.所以，.综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.【点睛】本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推理能力.19、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，.【解析】

（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.【详解】（1）第一组数据平均数为千斤/亩，第二组数据平均数为千斤/亩，可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.（ii）对于采用降低夜间温度的方法：每亩平均产量为千斤，∴该农场一年的利润为千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分