专题01不等式综合问题（讲）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题01不等式综合问题（讲）真题体验感悟高考1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题可根据图像得出结果.【详解】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．4．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的通项表示（即的代数式），然后根据的正负性进行分类，分别求出的范围即可.【详解】设等比数列的公比为，等比数列中，，当时，；当时，；.故选：D.5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．总结规律预测考向（一）规律与预测1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．（二）本专题考向展示考点突破典例分析考向一不等式的性质与解法【核心知识】1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．两个重要不等式若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.一元二次不等式的解法:先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集.【典例分析】典例1.（2018·全国·高考真题（理））设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.典例2.若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.∪{2}【答案】B【解析】当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2<a<.综上，实数a的取值范围是.典例3.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根据条件，可得或，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为，所以，所以或，所以或，所以，故A正确；若，则，故B错误；若，则，所以，故C错误；因为或，所以，所以，故D正确.故选：AD【易错提醒】求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况．(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．(3)不考虑a的符号．考向二不等式的恒成立问题【核心知识】不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a，x∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．解题时一定要搞清谁是变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法求解时，常用到函数的单调性、基本不等式等知识.【典例分析】典例4.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.【答案】【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.典例5.（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．典例6.（2020·江苏省太湖高级高一期中）已知函数，关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为，（3）【解析】（1）由题意得不等式的解集为，由根与系数的关系得，从而可求出实数，的值；（2）由，得，即，然后分，，求解即可；（3）令（），则在上恒成立，即，即，令，然后分对称轴在轴左侧和右侧两种情况求解即可【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，所以，解得，所以，（2）由，得，即，，若，则，若，则不等式无解，若，则，所以当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为（3）令（），则在上恒成立，即，即，令，当，即，对称轴在轴左侧，所以，即，所以，当时，即对称轴在轴右侧，则，解得，综上【规律方法】1.解决不等式恒成立问题的两种思路(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围.(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.2.策略方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.考向三基本不等式及其应用【核心知识】基本不等式求最值的常用解题技巧1.凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．2.凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．3.“１”的代换:先把已知条件中的等式变形为“１”的表达式ꎬ再把“１”的表达式与待求最值的表达式相乘ꎬ通过变形构造和或积为定值的代数式求最值.4.换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开（化为部分分式），即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．【典例分析】典例7.（2019·浙江·高考真题）若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.典例8.（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.典例9.（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．典例10.（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.典例11.（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【答案】##【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.典例12.（2022·广东深圳·高三阶段练习）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时