《高等数学 上册》 课件 王娜 第3、4章 微分中值定理与导数的应用、不定积分

中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广第三章微分中值定理与导数的应用目录上页下页返回结束第三章§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理一、罗尔中值定理三、柯西中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习第三章一、罗尔中值定理

设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等

目录上页下页返回结束

观察与思考

提问：

f

(x)

?提示：

f

(x)0

§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习且

存在证:设则目录上页下页返回结束费马引理§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习

如果函数y

f(x)(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导

(3)f(a)

f(b)

那么至少存在一点x

(a

b)

使得f

(x)

0

简要证明

(1)若f(x)是常函数

则f(x)0定理的结论显然是成立的

目录上页下页返回结束§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习一、罗尔中值定理(2)若f(x)不是常函数

则f(x)在(a

b)内至少有一个最大值点或最小值点

不妨设有一最大值点x

(a

b)

于是

如果函数y

f(x)在闭区间[a

b]上连续

在开区间(a

b)内可导

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一点x

(a

b)

使得f

(x)

0

简要证明

因此必有f

(x)=0

目录上页下页返回结束§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习一、罗尔中值定理定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,§3.1中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习一、罗尔中值定理1.拉格朗日中值定理的发现

观察与思考：连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等或不相等

提问：直线AB的斜率k=?

f

(x)

?提示：直线AB的斜率

罗尔定理拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理§3.1中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使§3.1中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习二、拉格朗日中值定理2.拉格朗日中值定理的证明特殊情况一般情况构造辅助函数1

几何意义思路:

利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理构造辅助函数2常量转变量

拉格朗日中值定理罗尔中值定理费马引理(1)在[a,b]上连续(2)在(a,b)内可导,由罗尔定理知至少存在一点(3)2.拉格朗日中值定理的证明§3.1中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习二、拉格朗日中值定理补充说明

拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的.2.拉格朗日中值定理的证明目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理的精确值？f(b)

f(a)

f

()(b

a)令则3.拉格朗日中值定理的应用(1)精确表示增量拉格朗日中值公式目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理(2)证明恒等式3.拉格朗日中值定理的应用

例1

如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零

那么f(x)在区间I上是一个常数

证明

在

I上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I上为常数.目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理(3)证明不等式

证明

设f(x)

ln(1

x)

f(x)在区间[0

x]上满足拉格朗日中值定理的条件

有

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)

0<x<x

又由0<x<x

有

例2

目录上页下页返回结束3.拉格朗日中值定理的应用罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理设函数在上连续,在内可导,且,试证存在,使得.(4)证明与中值定理相关的结论例3分析3.拉格朗日中值定理的应用目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理二、拉格朗日中值定理注意:弦的斜率切线斜率三、柯西中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:分析:要证§3.1中值定理§3.1中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习三、柯西中值定理例4.设至少存在一点使证:

结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明§3.1中值定理目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习三、柯西中值定理2.发现数学命题的方法—观察、联想对比、抽象分析1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理小结与作业3.作业：5、6、8、10、11目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习§3.1中值定理1.证明不等式§3.1中值定理思考与练习2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:作辅助函数目录上页下页返回结束罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.目录上页下页返回结束§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习数学史专栏拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.目录上页下页返回结束§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习数学史专栏柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,目录上页下页返回结束§3.1中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习数学史专栏三、其它未定式

二、型未定式一、

型未定式目录上页下页返回结束§3.2洛必达法则0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习第三章备用题微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限求极限.

转化(或型)本节主题:洛必达法则上节主题:§3.2洛必达法则

还有其它类型的未定式

0

、

、00、1

、

0

在函数商的极限中

如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大

那么极限可能存在

也可能不存在

这种限称为未定式

记为00－或

－

未定式:目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题存在(或为)定理1.一、型未定式(洛必达法则)洛必达法则§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题(

在x,a

之间)证:设在邻域内任取则在以

x,a为端点的区间上满足柯西定理条件,故定理1.存在(或为)一、型未定式§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题推论1.定理1中换为下列过程之一:推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题一、型未定式例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!洛洛§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题一、型未定式例2.求解:原式思考:如何求(n

为正整数)?洛§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题一、型未定式二、型未定式存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)说明:

定理中换为之一,定理仍然成立.§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题例3.求解:原式例4.

求解:(1)n

为正整数的情形.原式洛洛洛§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题二、型未定式例4.求(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题二、型未定式三、其它未定式解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:原式洛§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题解:原式例6.求洛解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题三、其它未定式例7.求解:利用例5解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题三、其它未定式说明:例如,事实上,用洛必达法则1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题洛必达法则2)若例如,极限不存在不能用洛必达法则!即说明:§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题洛必达法则3）洛必达法则与其它求极限的方法结合使用

在使用之前尽可能先化简

可以应用等价无穷小替代或重要极限时。

解

例8

说明:§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题洛必达法则洛必达法则P1391(5)，(8)，(11)，(12)，(13)，(14),（15），2

作业§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题小结与作业1.设是未定式极限,如果是否的极限也不存在?举例说明.极限不存在,说明2)3.§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题思考与练习洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题数学史专栏求下列极限:备用题§3.2洛必达法则目录上页下页返回结束0

、

、00、1

、

0小结与作业思考与练习备用题二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用目的－用多项式近似表示函数.§3.3泰勒公式目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用第三章特点:一、泰勒公式的建立微分的近似应用:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?一次多项式目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式目的：在含有的开区间内有直到n+1阶导数，找一个多项式近似表示.1.求n次近似多项式要求:设目录上页下页返回结束

小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立故1.求n次近似多项式目录上页下页返回结束

小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立令(称为余项),则有2.余项估计目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立

①

的

n

阶泰勒公式.②

拉格朗日余项.阶的导数,时,有①其中②则当泰勒泰勒(Taylor)中值定理:目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)

余项.注意到③④泰勒(Taylor)中值定理:特例:当n=0时,泰勒公式变为拉格朗日中值定理目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式一、泰勒公式的建立称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取二、几个初等函数的麦克劳林公式目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式其中麦克劳林公式目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式麦克劳林公式其中目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式已知其中麦克劳林公式目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用2.利用泰勒公式求极限3.利用泰勒公式证明不等式例.证明目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.作业:P1451;2目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式小结与作业6422464224O泰勒多项式逼近目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式思考与练习泰勒多项式逼近642246O4224目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式思考与练习计算解:原式目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式思考与练习泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式数学史专栏麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数

.目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习麦克劳林公式泰勒公式的建立泰勒公式的应用§3.3泰勒公式数学史专栏§3.4

函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点第三章f

(x)>0f

(x)<0观察结果

函数单调增加时导数大于零

函数单调减少时导数小于零

观察与思考

函数的单调性与导数的符号有什么关系？目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

由拉格朗日中值公式

有

f(x2)

f(x1)=f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)

因为f

(x)>0

x2

x1>0

所以

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0

即f(x1)<f(x2).即f(x)在(a

b)内单调增加

证明

只证(1)

在(a

b)内任取两点x1

x2(x1<x2)

一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法说明：判定法中的开区间可换成其他各种区间

定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

例1

判定函数y

x

sinx

在[0

2p]上的单调性

解

因为在(0,2p)内

y

1

cosx>0

所以函数y

x

sinx

在[0

2p]上的单调增加

一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法

因为在(

0)内y

<0

所以函数y

ex

x

1在(

0]上单调减少

因为在(0

)内y

>0

所以函数y

ex

x

1在[0

)上单调增加

解

函数y

ex

x

1的定义域为(

)

y

ex

1

例2

讨论函数y

ex

x

1的单调性

一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法

解

函数的定义域为(

)

所以函数在[0

)上单调增加

因为x>0时

y

>0

所以函数在(

0]上单调减少

因为x<0时

y

<0

例3

一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法说明:

单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法

1

设函数y

f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内可导

x1

x2是

f

(x)的两个相邻的零点

问f(x)在[x1

x2]上是否单调？

2

如何把区间[a

b]划分成一些小区间

使函数

f(x)在每个小区间上都是单调的？讨论(1)确定函数的定义域

(2)求出导数f

(x)

(3)求出f

(x)全部零点和不可导点

(4)判断或列表判断

(5)综合结论

确定函数单调区间的步骤一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法xf

(x)f(x)

例4

确定函数f(x)

2x3

9x2

12x

3的单调区间

解

这个函数的定义域为(

)

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

导数为零的点为x1

1、x2

2

函数f(x)在区间(

1]和[2

)内单调增加

在区间[1

2]上单调减少

(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋

y

2x3

9x2

12x

3

列表

一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法说明：

一般地

如果f

(x)在某区间内的有限个点处为零

在其余各点处均为正(或负)时

那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的

例5

讨论函数y

x3的单调性

解

函数的定义域为(

)

y

3x2

显然当x

0时

y

0;

当x

0时

y

>0

因此函数y

x3在区间(

0]及[0,

)内都单调增加

函数在(

)内是单调增加的

一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法

因为当x>1时

f

(x)>0

所以f(x)在[1

)上f(x)单调增加

例6

证明

因此当x>1时

f(x)>f(1)=0

即一、函数单调性的判定法目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点

函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性定义

设f(x)在区间I上连续

如果对I上任意两点x1

x2

恒有那么称f(x)在I上的图形是凹的

那么称f(x)在I上的图形是凸的

如果恒有二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点观察与思考

观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点定理2(曲线凹凸性的判定法)

设f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内具有二阶导数.

若在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上的图形是凹的

若在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上的图形是凸的

例7

判断曲线y

ln

x

的凹凸性

因为在函数y

ln

x的定义域(0

)内

y

<0

所以曲线y

ln

x是凸的

解

二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点

例8

判断曲线y

x3的凹凸性

解

y

3x2

y

6x

由y

0

得x

0.

因为当x<0时

y

<0

所以曲线在(

0]内是凸的

因为当x>0时

y

>0

所以曲线在[0

)内是凹的

说明:1)若在某点二阶导数为0,则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点拐点

连续曲线y

f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点

拐点讨论

如何确定曲线y

f(x)的拐点？如果(x0,

f(x0))是拐点且

f

(x0)=0存在,问f

(x0)=？如何找可能的拐点？二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点提示

如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.

在拐点(x0,

f(x0))处f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点

例9

求曲线y

2x3

3x2

2x

14的拐点

解

y

6x2

6x

12

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点

例10

求曲线y

3x4

4x3

1的拐点及凹、凸的区间

解

(1)函数y

3x4

4x3

1的定义域为(

)

(4)列表判断

在区间(

0]和[2/3

)上曲线是凹的;

在区间[0

2/3]上曲线是凸的

点(0

1)和(2/3

11/27)是曲线的拐点

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋∪∩∪00111/27f

(x)f(x)x二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点讨论

曲线y

x4是否有拐点？提示

y

4x3

y

12x2

当x

0时

y

>0

在区间(

)内曲线是凹的

因此曲线无拐点

例11

解

二阶导数无零点;当x

0时,二阶导数不存在

因为当x<0时

y

>0

当x>0时

y

<0

所以点(0

0)曲线的拐点

二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸性与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点作业

P1523(1)(2)(5);5(2);8(1);9(1);13

函数的单调性与曲线的凹凸性小结与作业目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点上则或的大小顺序是()提示:B1.设在思考与练习函数的单调性与曲线的凹凸性目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点证明:当时，有证明:令,则是凸函数即

2.(自证)思考与练习函数的单调性与曲线的凹凸性目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习函数单调性的判定法曲线的凹凸性与拐点三、最值的求法一、函数极值的定义§3.5函数的极值与最大值最小值

二、函数的极值的求法目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习第三章一、函数极值的定义

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点

.一、函数极值的定义

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习定理1(必要条件)定义注意:例如,二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习定理2(第一充分条件)(是极值点情形)二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习求极值的步骤:(不是极值点情形)二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习例1解列表讨论极大值极小值二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习定理3(第二充分条件)证同理可证(2).二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习例2解二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.二、函数极值的求法

§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习三、最值的求法§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:

当在上单调时,最值必在端点处达到.如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)三、最值的求法§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习例1解计算三、最值的求法应用举例§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习例4.

铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点，是可能的极值点.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)小结与作业最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.

连续函数的最值：作业P1601(2)(3);3;4(2);7;10§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.思考与练习§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习2.

设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.思考与练习§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A思考与练习§3.5函数的极值与最大值最小值目录上页下页返回结束函数极值的定义函数极值的求法最值的求法小结与作业思考与练习一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘§3.6函数图形的描绘

目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘第三章点M与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘1.水平渐近线若则曲线有水平渐近线例1.求曲线的水平渐近线.解:为水平渐近线;一、曲线的渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘若则曲线有垂直渐近线例2.求曲线的铅直渐近线.解:为垂直渐近线.2.铅直渐近线一、曲线的渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘3.斜渐近线斜渐近线求法:一、曲线的渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘注意:例3解3.斜渐近线一、曲线的渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘3.斜渐近线一、曲线的渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘3.斜渐近线一、曲线的渐近线函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘二、函数图形的描绘

用描点法作函数图形需要计算许多点,才能画出较精确的函数图形.

当我们对函数曲线的性态有了全面了解之后,只需少数几个点就能画出较精确的函数图形.函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘

例1

画出函数y

x3

x2

x

1的图形

解

(1)函数的定义域为(

).

(2)f

(x)

3x2

2x

1

(3x

1)(x

1)

f

(x)

6x

2

2(3x

1)

令f

(x)0得x

1/3

1

令f

(x)0得x

1/3

(3)曲线性态分析表

f

(x)f

(x)f(x)＋＋－－－00－－－0＋＋＋32/27极大0极小16/27拐点↗∪↘∪↗∩↘∩(4)特殊点的函数值:

f(0)

1,

f(

1)

0,

f(3/2)

5/8.(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1

)1x二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘

描点联线

特殊点的函数值:

f(0)

1,

f(

1)

0,f(3/2)

5/8.

y

x3

x2

x

1f(x)(

,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)(1

)132/27极大0极小16/27拐点↗∪↘∪↗∩↘∩x

例1

画出函数y

x3

x2

x

1的图形

解

曲线性态分析表

二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘

解

(1)定义域为(-

,+

)

f(x)是偶函数

图形关于y轴对称

例2

令f

(x)=0

得x=0

令f

(x)=0

得x=-1和x=1

(3)曲线性态分析表

极大拐点(1,+

)1(0,1)0xf

(x)f

(x)y

f(x)的图形0－－－－0＋－↘∩↘∪(4)曲线有水平渐近线y=0

二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘0.51

y=0是曲线的水平渐近线

极大拐点(1,+

)1(0,1)0xy

f(x)的图形↘∩↘∪

先作(0,+

)内的图形

利用对称性作出(-

,0)内的图形

解

函数性态分析表:

例2

二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘

例3

解

(1)函数的定义域为(

3)

(

3

)

令f

(x)

0得x

3

令f

(x)

0得x

6

(3)曲线性态分析表:(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)xf(x)f(x)y

f(x)的图形－－－－－－－－＋＋00↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐点4极大(4)曲线有铅直渐近线x=-3与水平渐近线y=1

(5)特殊点

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘63912-3-6-9-12-153-3(-,-3)(-3,3)3(3,6)6(6,+)xy

f(x)的图形↘∩↗∩↘∩↘∪11/3拐点4极大

铅直渐近线为x=-3,水平渐近线为y=1

f(0)=1

f(-1)=-8

f(-9)=-8

f(-15)=-11/4

y=1x=-3(3,4)(-1,-8)(-9,-8)

例3

二、函数图形的描绘函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减小结与作业函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:思考与练习函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘拐点为

,凸区间是

,2.曲线的凹区间是

,提示:及_______________渐近线

.思考与练习函数图形的描绘目录上页下页返回结束小结与作业思考与练习曲线的渐近线函数图形的描绘§3.7曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式第三章规定：

一、弧微分目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率单调增函数如图，

弧微分公式一、弧微分目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率二、曲率及其计算公式

提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.观察与思考：观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关.怎样衡量曲线的弯曲程度？目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率)yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率二、曲率及其计算公式目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率二、曲率及其计算公式

设曲线C的方程为y

f(x)

且f(x)具有二阶导数

因为tana

y

所以

sec2ada

y

dx

目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率

例1

计算等边双曲线xy

1在点(1,1)处的曲率.曲率的计算公式：曲线在点(1

1)处的曲率为因此y

|x

1

1

y

|x

1

2

解

二、曲率及其计算公式目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率1.弧长微分或2.曲率公式小结与作业目录上页下页返回结束小结与作业弧微分曲率及其计算公式曲率第四章不定积分微分法:积分法:互逆运算第四章目录上页下页返回结束§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题一、原函数与不定积分的概念原函数的概念

如果在区间I上,

可导函数F(x)的导函数为f(x),

即对任一x

I,

都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.

原函数举例所以sinx是cos

x的原函数.

因为(sinx)

cos

x

,

提问：目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题原函数存在定理

如果函数f(x)在区间I上连续,

那么在区间I上存在可导函数F(x),

使对任一x

I

都有F

(x)

f(x).

两点说明一、原函数与不定积分的概念简言之：连续函数一定有原函数.（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题一、原函数与不定积分的概念任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量.目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题

例1

因为sinx

是cos

x

的原函数,所以

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则一、原函数与不定积分的概念目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题

例2

合并上面两式,得到

解

一、原函数与不定积分的概念目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题

例3

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,

求此曲线的方程.

解

设所求的曲线方程为y

f(x),

则曲线上任一点(x,

y)处的切线斜率为y

f

(x)

2x,

即f(x)是2x

的一个原函数.故必有某个常数C使f(x)

x2

C,

即曲线方程为y

x2

C.

因所求曲线通过点(1,2),

故2

1

C,

C

1.

于是所求曲线方程为y

x2

1.

因为一、原函数与不定积分的概念目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题微分与积分的关系

从不定积分的定义可知又由于F(x)是F

(x)的原函数,

所以

由此可见,

如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

一、原函数与不定积分的概念目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题二、基本积分表目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业练习题

例5

例4