《概率论与数理统计》课件 孟祥波 第四章 随机变量的数字特征

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第一节数学期望二、随机变量函数的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质四、小结一、随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布律是定义1：若则称为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为.随机变量，求．例1：解：因为，故其概率函数为于是按照数学期望的定义有随机变量，求．例2：解：因为，故其概率函数为于是按照数学期望的定义有设连续型随机变量X的概率密度是定义2：若则称为连续型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为.随机变量，求．例3：解：因为，故其概率密度为于是按照数学期望的定义有随机变量，求．例4：解：因为，故其概率密度为于是按照数学期望的定义有随机变量，求．例5：解：因为，故其概率密度为于是按照数学期望的定义有求其数学期望．随机变量服从柯西（Cauchy）分布，概率密度为例6：解：因为故其数学期望不存在．二、随机变量函数的数学期望随机变量的函数依然是随机变量，故随机变量函数的数学期望一般可以通过求得其概率分布再进行数学期望求解．但是这种方法一般比较繁琐，况且有时我们并不想知道随机变量函数的具体分布，这时我们将利用如下定理直接计算随机变量函数的数学期望．设

为一随机变量，

且存在，则定理1：（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则的数学期望为（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为求随机变量的数学期望．设随机变量的概率分布如下例7：解：方法一：易求得的概率分布为故其数学期望-10120.20.10.30.4-1030.30.50.2求随机变量的数学期望．设随机变量的概率分布如下例7：解：方法二：按照公式的数学期望-10120.20.10.30.4因为，其概率密度为设随机变量，求及例8：解：故设随机变量，求及例8：解：国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（吨），其服从区间上的均匀分布，每售出一吨该商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出去，则每吨商品需要贮存费1万元．问该商品应出口多少吨才能使国家的平均收益最大？例9：解：设该商品应出口吨，显然．国家收益（单位：万元）是需求量的函数，记为，故有例9：解：由题意，的概率密度为则的数学期望为例9：解：是的函数，为使最大，易知于是，该商品应出口3500吨才能使国家的平均收益最大.设

为二随机变量，

且存在，则定理2：（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则的数学期望为（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为设为常量，则三、数学期望的性质利用性质求解数学期望往往比直接求法简洁．（1）设为常量，则（4）设随机变量独立，则（2）设为常量，则（3）该性质亦可推广至有限情形.随机变量，求．例10：解：引入且相互独立，则又，故随机变量，求．例11：解：引入（但不一定独立），则又，故因为，因此随机变量，求例12：解：的数学期望小结1.主要概念：随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望；2.数学期望的性质.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第二节方差二、方差的性质一、随机变量的方差三、小结一、随机变量的方差设随机变量X的数学期望存在，称定义1：为随机变量X的方差，记为或显然，方差反映了随机变量X的取值与其数学期望的偏离程度.设随机变量X的数学期望存在，称定义2：为随机变量X的标准差或均方差，记为（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则的方差为（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则的方差为随机变量X的方差本质上是随机变量X函数的数学期望.设

为一随机变量，

及均存在，则定理1：设随机变量的数学期望，方差例1：解：由已知称为的标准化随机变量.记，求其期望及方差.随机变量，求．例2：解：因为，故又故方差为随机变量，求．例3：解：因为，故又而故随机变量，求．例4：解：因为，故于是随机变量，求．例5：解：因为，故而故随机变量，求．例6：解：因为，故于是设为常量，二、方差的性质利用性质求解方差往往比直接求法简洁．（1）设为常量，则（2）设为常量，则相互独立，则二、方差的性质（3）对于随机变量则或者随机变量，求．例7：解：引入且相互独立，则又，故小结1.主要概念：随机变量的方差，随机变量的标准差，标准化随机变量；2.方差的性质.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第三节协方差与相关系数二、协方差与相关系数的性质一、协方差与相关系数的概念三、小结一、协方差与相关系数的概念设随机变量X与Y的函数[X-E(X)][Y-E(Y)]的数学期望存在，称定义1：为随机变量X与Y的协方差，记为或（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则的协方差为（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则的协方差为随机变量X与Y的协方差本质上是随机变量X与Y函数的数学期望.设均存在，则定理1：（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则设均存在，则定理1：（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则设二维离散型随机变量的联合分布律如下：例1：解：方法一：先求各自的分布及数学期望，再求出协方差．易知关于X,Y,XY的边缘分布分别为-10100.10.10.210.20.30.1求01

0.40.6例1：解：方法一：-101

0.30.40.3-101

0.20.70.1设二维离散型随机变量的联合分布律如下：例1：解：方法二：先利用公式求出X,Y,XY的数学期望，再求出协方差．-10100.10.10.210.20.30.1求设二维连续型随机变量在区域D上服从均匀分布，求其中例2：解：

的概率密度为于是根据相关公式，有例2：解：于是设随机变量X,Y的数学期望和方差均存在且方差不为0，称其标准化随机变量的协方差定义2：协方差的结果中含有两个随机变量的量纲，且是绝对的数值，有时无法表现出两个随机变量之间的相对关联程度．为了避免量纲对于描述两个变量间关联程度的影响，可以采用无量纲的标准化随机变量．为随机变量X,Y的相关系数，记为相关系数的计算基本同于协方差.（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则设均存在，则（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则二、协方差与相关系数的性质由协方差和相关系数的定义，易得如下性质．（1）（2）（3）（4）（5）若，则称不相关.二、协方差与相关系数的性质（6）（7）若独立，则不相关；反之不然.（8）定义3：不相关反映的是变量之间没有线性变化趋势，但并不代表没有其它的关系（比如平方关系或其它非线性关系等）．小结1.主要概念：随机变量的协方差，随机变量间的相关系数，不相关；2.协方差与相关系数的性质.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第四节随机变量的矩设X与Y都是随机变量，若定义1：存在，则称其为X的k阶原点矩，记为存在，则称其为X的k阶中心矩，记为若定义1：存在，则称其为X与Y的k+l阶原点矩，记为存在，则称其为X与Y的k+l阶中心矩，记为若若概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第五节综合例题一民航送客车载有20位乘客自机场开出，旅客有10个车站可下车，如果达到一个车站没有乘客下车就不停车．以X表示停车的次数，求E(X)（设每位乘客在各车站下车是等可能的，并设乘客是否下车互相独立）．例1：解：引入随机变量易知，．由题意可以求出的分布故即平均停车次数约是8.784次．设为随机变量且存在，为常数，证明例2：证明：故有结论成立．因为随机变量与独立，的概率分布为例3：解：又故因为服从参数为的泊松分布．令求设求

使数学期望例4：解：令设达到最小．由实际问题知，该解即为所求．解得方程唯一解：设求其三阶和四阶中心矩．例5：解：三阶中心矩为因为所以概率密度为设求其三阶和四阶中心矩．例5：解：四阶中心矩为设随机变量X服从某一分布且其各阶矩均存在，若记则称其标准化变量的三阶矩为偏度系数（coefficientofskewness），即；称其标准化变量的四阶矩为峰度系数（coefficientofkurtosis），即定义1：有上述例题知，正态分布的偏度系数为0，而峰度系数为3．概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第六节实际案例案例2交货时间为随机变量的存贮模型案例1检验方案的确定问题案例1检验方案的确定问题在某地区为了进行某种疾病普查，需要检验N个人的血液，可用两种方法进行：方法（一）：对每个人的血液逐个检验，这时需要检验N次；方法（二）：将N个检验者分组，每组k个人，把一组的k个人抽出的血液混合在一起进行一次检验，如果检验结果为阴性，则说明这k个人的血液均为阴性，这时这k个人总共检验了一次；如果检验结果为阳性，为了明确这k个人中哪些人为阳性，分析与解答：对方法（二），设每个人所需检验次数是一个随机变量X，则X的分布律为