选修221双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程

1.椭圆的定义和等于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的复习|MF1|+|MF2|=2a(

2a>|F1F2|>0)

双曲线在生活中☆.☆1.椭圆的定义和等于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的复习|MF1|+|MF2|=2a(

2a>|F1F2|>0)

①如图(A)，|MF1|-|MF2|=2a②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线zxxk由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF1|-|MF2|=-2a①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<|F1F2|=2c

；oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a>0

；双曲线定义思考：（1）若2a=|F1F2|,则轨迹是？（2）若2a>|F1F2|,则轨迹是？说明：（3）若2a=0,则轨迹是？

||MF1|-|MF2||

=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0),常数为2a3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程F2F1MxOyOMF2F1xy若建系时,焦点在y轴上呢?看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题定义图象方程焦点a.b.c的关系

zx/xk||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)小结2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）课堂练习：2.口答：下列方程哪些表示双曲线？若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?1.已知平面上定点及动点M。命题甲：命题乙：M点的轨迹是以为焦点的双曲线。则甲是乙的（

）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要B例1、写出适合下列条件的双曲线的标准方程

(1)a=4，b=3，焦点在x

轴上；

(2)a=3，c=5，焦点在坐标轴上；

(3)两个焦点的坐标是（0，-6）和（0，6），并且经过点P（

2

，-5）.解：因为双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵

c=6，且c2=a2

+b2

∴36=a2+

b2……①又∵椭圆经过点∴……②联立①②可求得：∴双曲线的标准方程为

(法一)或待定系数法(法二)

因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由双曲线的定义知，所以所求双曲线的标准方程为定义法方法：利用双曲线的定义求轨迹方程使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680，a=340，xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为Py..F2F1O.x定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a|MF