选修31《数学史选讲》全册解读节选第五讲微积分的诞生

《数学史选讲》解读

第一讲早期的算术与几何

第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生

第五讲微积分的诞生第六讲

近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考刘徽的数学成就

刘徽的《九章算术注》包含了他本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。若设圆面积为，内接正n边形边长为，面积为则OABCD第五讲微积分的诞生17世纪最伟大的数学成就是微积分的发明。微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。而这两个方面由于笛卡儿和费马等人的工作，其基础已基本具备。现代科技的推动力对微积分的发明起了直接推动作用的是现代科技的发展。17世纪，开普勒提出行星运行定律，从数学上推证这些定律成了当时自然科学的中心课题，伽利略的自由落体定律、动量定律、抛物体运动性质等也激起了人们用数学方法研究动力学的热情。凡此一切都归结为如下一些基本问题：确定非匀速运动物体的速度和加速度需要研究瞬时变化率问题；望远镜的设计需要确定透镜曲面上任一点的法线因而需要研究曲线的切线问题；确定炮弹的最大射程等需要研究最大、最小值；确定行星运行的路程、向径扫过的面积等又需要计算曲线长、曲边图形的面积等。这一切都需要有一种新的计算工具的诞生。牛顿、莱布尼茨之前的微积分方法微积分理论的建立聚集了许许多多数学家的努力，如：开普勒的求积术卡瓦列里不可分量原理笛卡儿求切线方程的“圆法”费马求极大、极小值的方法巴罗的“微分三角形”沃利斯的“无穷算术”

流数术解决的基本问题牛顿在《流数简论》中提出并解决了如下基本问题：（1）设有两个或更多个物体在同一时间内描画线段x，y，z，…，已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…。（2）已知表示线段x和运动速度之比p/q的关系方程式，求另一线段y。微积分基本定理这两个问题实际上是对微积分可解决的一些特殊问题的一般化，如求瞬时速度、切线斜率就可归结为第一问题，而第二问题明显是第一问题的逆运算。牛顿把他问题（2）看成问题（1）的逆运算，并给出了标准解法。《流数简论》讨论了如何借助于逆运算来求面积，从而建立了“微积分基本定理”。牛顿的诞生伽利略去世的那一年，牛顿诞生了。牛顿（1643—1727）的时代，正是科学在英国兴起的时代。1662年，英国皇家学会成立，以其为中心出现了一大批热心科学研究和技术发明的人，他们的许多新发现和发明使英国成了当时欧洲科学技术的中心。牛顿的学习生涯牛顿出生在一个中等农户家庭，是个遗腹子，而且早产，出生后勉强活了下来。中学时学习成绩并不突出，但十分喜欢做机械玩具和模型。17岁时，他母亲把他从当时就读的中学召回田庄务农，但牛顿不喜欢干农活。在牛顿的舅舅和格兰瑟姆中学校长的竭力劝说下，他母亲才在九个月后允许牛顿返校学习。当时史托克斯校长对牛顿的母亲说：“在繁杂的农活中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失。”后来牛顿在他舅舅的支持下就读于剑桥大学三一学院。牛顿成为卢卡斯教授1665-1666年，牛顿为躲避伦敦的瘟疫而回到家乡爱尔索普。这期间他发现了二项式定理和流数法，进行了颜色的试验，并开始思考万有引力问题。1667年回到剑桥被选为三一学院的研究员，1669年接替巴罗成为数学卢卡斯教授。1670年起，在剑桥大学正式开课，但由于过于艰深，他的讲课没能受到学生的欢迎。从光学研究到引力的研究1670年起，牛顿主要研究光学，制造反射望远镜，发现了太阳光的合成性质，并被选为皇家学会会员。正是在光学领域中发生了他与胡克（R.Hooke，1635—1703）的争吵，既影响了科学研究的气氛，也影响了牛顿的健康。经过近十年的中断，1679年底牛顿的注意力重新集中于引力的研究，并于80年代上半期全力写成了《自然哲学的数学原理》。《自然哲学的数学原理》1687年，哈雷（天文学家，皇家学会会员，发现了著名的哈雷彗星，约76年出现一次，是太阳系的一个成员）用自己的钱资助，出版了牛顿的著作《自然哲学的数学原理》。这本书被公认为科学史上最伟大的著作（爱因斯坦称赞为“无比辉煌的演绎成就”）。它成了理论力学、天文学、宇宙学的可以补充但不可超越的理论基石。全书的核心是力学三定律（惯性定律、加速度定律、作用与反作用定律）和万有引力定律。万有引力定律万有引力定律是从开普勒行星运行三大定律中用数学方法推导出来的，其公式是

它是一个普遍的公式。牛顿的万有引力定律使日心说得意被人们所广泛接受。而推导这一公式的数学工具正是微积分方法。

《光学》自《原理》出版后，牛顿几乎停止了自然科学方面的研究工作。到1704年，胡克去世后，他发表了《光学》，把自己三四十年前对光学的研究工作加以整理出版，其中包括了对光的反射、折射、色散的研究。《原理》和《光学》是牛顿的两部基本著作。皇家学会会长、造币局局长长1693年，牛顿精神分裂症的症状日见严重，于是离开了剑桥大学，1695年任造币局督办，1699年任造币局局长，同年被选为巴黎科学院的外籍院士。1703年，当了30年英国皇家学会会员后任皇家学会会长，1705年被女皇封为爵士，成为贵族。晚年颇为孤寂，只有一个外甥女与他做伴，直到1727年去世。蒲柏的诗牛顿死后被葬于英国的皇家墓地西敏寺。为了颂扬这位伟人，当时英国著名的诗人蒲柏（A.Pope，1688—1744）曾写道：NatureandNature’slawslayhidinnight,Godsaid“letNewtonbe”andallwaslight.这两句铭文后来被铸在铁板上,镶嵌在牛顿诞生的屋子的墙上。

莱布尼茨的微积分1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微积分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，简称《新方法》，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。文中定义了微分并广泛采用了微分记号dx、dy、dny等（用difference的首字母）。1686年，发表了第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，文中初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。并引进了积分符号（sum首字母的拉长）。牛顿的积分号是字母上加一点或一撇。莱布尼茨的其它贡献莱布尼茨的博学多才在科学史上是罕见的，他的著作涉及数学、力学、机械、地质、逻辑、哲学、法律、外交、神学、语言学等。在1666年发表的《组合艺术》等相关文稿中，提出了符号逻辑的思想，引导了布尔、罗素等人的数理逻辑。在1679年撰写的《二进制算术》首创了二进记数法。莱布尼茨还是制造计算机的先驱，1674年在巴黎科学院当众演示了他制成的“算术计算机”，这是第一台能做四则运算的计算机。微积分优先权的争议牛顿和莱布尼茨两人作为当时的大名人，相互敬慕还曾有书信来往。1687年，牛顿在《自然哲学的数学原理》中首次发表他的流数方法时，在前言中有这样一段话：“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其它类似的问题，……。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。”但在第三版的时候牛顿删去了这段话，原因是他们之间发生了优先权的争议。

微积分的发展18世纪微积分继续深入发展，这种发展是与广泛的应用紧密相连的。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。对于微积分算法的推广，英国与欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的，英国学者仍然维护牛顿的传统用几何语言论证流数法，欧洲大陆学者则采用莱布尼茨的分析方法。参考文献[1]骆祖英．数学史教学导论．杭州：浙江教育出版社，1996[2]李文林．数学史教程．北京：高等教育出版社，2000[3]汪晓勤，韩祥临．中学数学中的数学史．北京：科学出版社，2002[4]张奠宙．数