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文档简介
八年级上册人教版数学14.3因式分解
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一、选择题(本大题共7小题)
1、请你观察图形,依据图形面积之间的关系,不需要连其他的线,则由整个图形的面积关系可以得到一个有关多项式因式分解的等式,这个等式是()
A.a2B.a2C.a2-2ab+b 2=(a-b)D.(a+b)2=a 22、多项式77x2A.0B.10C.12D.223、若x2−x−n=(x−m)(x−3)A.6B.4C.12D.-124、下列从左边到右边的变形中,是因式分解的是(
)A.(2+a)(2-a)=4-a2B.(x-3)(4-x)=-(x-4)(x-3)C.4ab-2a2-1=2a(2b-a)-1D.m2-n2=(m+n)(m-n)5、下列各组代数式中,没有公因式的是(
)A.5m(a-b)和b-aB.(a+b)2C.mx+y和x+yD.−a2+ab6、分解2x(−x+y)2A.-x+yB.x-yC.(x−y)D.以上都不对7、分解因式(x−1)2A.(x-1)(x-2)B.x2C.(x+1)D.(x−2)二、填空题(本大题共7小题)
8、若x2+2x-3=0,则x3+x2-5x+2012=______.9、若一个正方形的面积为,则此正方形的周长为
.10、若关于x的二次三项式x2+ax+1411、若多项式x2+2(m−2)x+2512、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=5,ax+by=2,则xy(a213、设a=192×918,b=8882−302,c=6914、若(x+m)(x+n)=x2三、计算题(本大题共2小题)
15、用因式分解的方法进行简便计算:1772+232+46×177.
16、因式分解:
(1)3x(a-b)-9y(b-a)
(2)x4-1
四、解答题(本大题共4小题)
17、发现与探索:根据小明的解答将下列各式因式分解
①a2-12a+20
②(a-1)2-8(a-1)+7
③a2-6ab+5b2
18、阅读下面文字内容:对于形如x2+2ax+a2的二次三项式,
可以直接用完全平方公式把它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+4x-5,就不能直接用完全平方公式分解了.对此,我们可以添上一项4,使它与x2+4x构成个完全平方式,然后再减去4,这样整个多项式的值不变,即x2+4x-5=(x2+4x+4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).像这样,把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法,叫做配方法.
请用配方法来解下列问题
(1)请用上述方法把x2-6x-7分解因式.
(2)已知:x2+y2+4x-6y+13=0,求y的值.
19、阅读理解并解答:
(1)我们把多项a2+2ab+b2a2-2ab+b2叫做完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值问题.
例如:①x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2
∵(x+1)2是非负数,即(x+1)2≥0
∴(x+1)2+2≥2
则这个代数x2+2x+3的最小值是______,这时相应的x的值是______;
②3x2-12x+5
=3(x2-4x)+5
=3(x2-4x+4-4)+5
=3(x-2)2-12+5
=3(x-2)2-7
∵(x-2)2是非负数,即(x-2)2≥0
∴3(x-2)2-7≥-7
则这个代数式3x2-12x+5的最小值是______,这时相应的x的值是______;
(2)仿照上述方法求代数式-x2-14x+10的最大(或最小)值,并写出相应的x的值.
20、问题背景:
我们学习了整式的乘法,两个多项式相乘,我们可以运用法则,将其展开,例如:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,而将等号的左右两边互换,我们得到了a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),等号的左边是一个多项式,而右边是几个整式相乘的形式,我们规定将一个多项式写成几个整式相乘的形式,这种运算称之为“因式分解”
问题提出:
如何将2a2+3ab+b2进行因式分解呢?
问题探究:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释
例如:我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式a2+2ab+b2进行因式分解
如图1所示边长为(a+b)的大正方形是由1个边长为a×a的正方形,2个边长为a×b的长方形,1个边长为b×b的正方形(a>b)组成,我们可以用两种方法表示大正方形的面积,这个图形的面积可以表示成:a2+2ab+b2或(a+b)2
∴a2+2ab+b2=(a+b)2
我们将等号左边的多项式写成了右边两个整式相乘的形式,从而成功的对多项式a2+2ab+b2进行了因式分解
请你类比上述方法,利用图形的几何意义对多项式2a2+3ab+b2进行因式分解(要求自己构图并写出推证过程)
问题拓展:
如何利用图形几何意义的方法推导:13+23=32?如图2,A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:A、B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:1323=(1+2)2=32
尝试解决:
请你类比上述推导过程,利用图形几何意义方法推导出13+23+33的值.(要求自己构造图形并写出推证过程).
归纳猜想:
13+23+33+…+n3=______.
答案详解【第1题】
【答案】B
【解析】【分析】
此题考查数形结合的应用、考查因式分解及考查正方形、矩形的面积,根据图知,大正方形分为:一个边长为a的小正方形,一个边长为b的小正方形,两个长为b,宽为a的长方形,利用大正方形的面积等于这四部分面积的和可得答案.
【解答】
解:由图知,大正方形的边长为a+b,大正方形的面积为(a+b)2,
根据图知,大正方形分为:一个边长为a的小正方形,一个边长为b的小正方形,
两个长为b,宽为a的长方形,
因为大正方形的面积等于这四部分面积的和,
所以a2+2ab+b2【第2题】
【答案】C
【解析】解:利用十字交乘法将77x2−13x−30因式分解,
可得:77x2−13x−30=(7x−5)(11x+6).
∴a=-5,b=11,c=6,
则a+b+c=(-5)+11+6=12.
故选C.
首先利用十字交乘法将77x2−13x−30因式分解,继而求得a,b,c的值.
此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解:这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,【第3题】
【答案】D
【解析】解:∵x2−x−n=(x−m)(x−3)=x2−(m+3)x+3m,
∴m+3=1,-n=3m,
解得:m=-2,n=6,
则mn=-12.【第4题】
【答案】D
【解析】解:A、不是因式分解,故本选项不符合题意;
B、不是因式分解,故本选项不符合题意;
C、不是因式分解,故本选项不符合题意;
D、是因式分解,故本选项符合题意;
故选:D.
根据因式分解的定义逐个判断即可.
本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.【第5题】
【答案】C
【解析】解:A、5m(a-b)和b-a=-(a-b),∴两个代数式的公因式是a-b;
B、(a+b)2和-a-b=-(a+b)的公因式是a+b;
C、mx+y与x+y没有公因式;
D、−a2+ab和a2b−ab2=−b(−a【第6题】
【答案】C
【解析】解:2x(−x+y)2−(x−y)3应提取的公因式是(x−y)2.
故选C.【第7题】
【答案】D
【解析】解:(x−1)2−2(x−1)+1=(x−1−1)2=(x−2)2.
【第8题】
【答案】2009【解析】解:∵x2+2x-3=0,
∴(x+3)(x-1)=0,
解得x=-3或x=1,
(1)x=-3时,
x3+x2-5x+2012
=(-3)3+(-3)2-5×(-3)+2012
=-27+9+15+2012
=2009
(2)x=1时,
x3+x2-5x+2012
=13+12-5×1+2012
=1+1-5+2012
=2009
故答案为:2009.
首先根据:x2+2x-3=0,可得:(x+3)(x-1)=0,据此求出x的值是多少,然后应用代入法,求出x3+x2-5x+2012的值是多少即可.
此题主要考查了因式分解的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是求出x的值是多少.【第9题】
【答案】4a-2
【解析】【分析】本题考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握公式是解本题的关键.根据正方形的面积求出正方形的边长,即可确定出其周长.【解答】解:∵正方形的面积为,∴正方形的边长为,则正方形的周长为4a-2.故答案为4a-2.【第10题】
【答案】±1【解析】解:中间一项为加上或减去x的系数和12积的2倍,
故a=±1,
解得a=±1,
故答案为:±1.
这里首末两项是x和12这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x的系数和12【第11题】
【答案】7或3【解析】解:∵多项式x2+2(m−2)x+25能用完全平方公式因式分解,
∴2(m-2)=±10,
解得:m=7或-3,
故答案为:7或-3
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.【第12题】
【答案】46
【解析】本题考查多项式乘多项,因式分解.由已知a+b=5,x+y=5,两式相乘得ax+bx+ay+by=25,可求得ay+bx=25-2=23,再将xy(a 2+b 2)+ab(x2+y 2)运用分组分解法因式分解得xy(a解:∵a+b=x+y=2,
∴(a+b)(x+y)=ax+bx+ay+by=5×5=25,
∵ax+by=2,
∴ay+bx=25-2=23,
∴(a 2+b 2)xy+ab(x 2+y =a 2xy+b 2xy+abx 2+aby=by(bx+ay)+ax(bx+ay)
=(ax+by)(ay+bx)
=2×23
=46
故答案为46.
【第13题】
【答案】a<c<b【解析】本题主要考查了因式分解的应用,解题的关键是运用平方差公式进行化简得出一个因数为918.
运用平方差公式进行变形,把其中一个因数化为918,再比较另一个因数,另一个因数大的这个数就大.
解:a=192×918=361×918
b=8882−302【第14题】
【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的意义,属于基础题,得出m、n之积为12是关键,把12分解为两个整数的积的形式,p等于这两个整数的和.
【解答】
解:根据题意可得:a=m+n,mn=12,
12=4×3=(-4)×(-3)=2×6=-6×(-2)=1×12=(-1)×(-12),
所以a=7,-7,8,-8,13,-13,共6个.
故答案为6.
【第15题】
【答案】解:1772+232+46×177
=1772+232+2×23×177
=(177+23)2
=2002
=40000【解析】首先把1772+232+46×177化为1772+232+2×23×177,然后用因式分解的方法,求出算式的值是多少即可.
此题主要考查了因式分解的应用,因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入.【第16题】
【答案】解:(1)原式=3x(a-b)+9y(a-b)=3(a-b)(x+3y);
(2)原式=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1).【解析】
(1)原式变形后,提取公因式即可;
(2)原式利用平方差公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.【第17题】
【答案】解:①a2-12a+20
解原式=a2-12a+36-36+20
=(a-6)2-42
=(a-10)(a-2);
②(a-1)2-8(a-1)+7
=(a-1)2-8(a-1)+16-16+7
=(a-5)2-32
=(a-8)(a-2);
③a2-6ab+5b2
解原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=(a-3b)2-4b2
=(a-5b)(a-b).【解析】参照例题可得相应解法:十字相乘法和配方法.
①先配方后利用平方差公式进行因式分解.
②先配方后利用平方差公式进行因式分解.
③先配方后利用平方差公式进行因式分解.
本题考查了十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,本题需要进行多次因式分解,分解因式一定要彻底.【第18题】
【答案】解:(1)x2-6x-7
=x2-6x+9-9-7
=(x-3)2-16
=(x-3-4)(x-3+4)
=(x-7)(x+1)
(2)∵x2+y2+4x-6y+13=0,
∴x2+4x+4+y2-6y+9=0,
∴(x+2)2+(y-3)2=0,
∴x+2=0,y-3=0,
解得x=-2,y=3.【解析】
(1)应用配方法,把x2-6x-7分解因式即可.
(2)首先把x2+y2+4x-6y+13=0分解因式,然后根据偶次方的非负性质,求出y的值是多少即可.
此题主要考查了因式分解的方法和应用,要熟练掌握,注意配方法、分组分解法等的应用.【第19题】
【答案】解:(1)①∵x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴这个代数x2+2x+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1.
②∵3x2-12x+5=3(x-2)2-7,
∴这个代数式3x2-12x+5的最小值是-7,这时相应的x的值是2.
(2)-x2-14x+10
=-(x2+14x+49)+49+10
=-(x2+14x+49)+59
=-(x+7)2+59
(x+7)2是非负数,(x+7)2≥0
∴-(x+7)2≤0
-(x+7)2+59≤59
∴这个代数式的最大值是59,这时相应的x的值是-7.
故答案为:2、-1、-7、2.
(1)①根据:x2+2x+3=(x+1)2+2,可得:这个代数x2+2x+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1.
②根据:3x2-12x+5=3(x-2)2-7,可得:这个代数式3x2-12x+5的最小值是-7,这时相应的x的值是2.
(2)首先应用完全平方公式,把-x2-14x+10化成-(x+7)2+59,然后判断出这个代数式的最
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