专题05幂指对函数的图象与性质（知识串讲热考题型专题训练）（原卷版）

专题05幂指对函数的图象与性质知识点1幂函数的图象与概念1、幂函数的概念与图象（1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．（2）幂函数的特征：=1\*GB3①xα的系数是1；=2\*GB3②xα的底数x是自变量；=3\*GB3③xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．（3）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图2、幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．知识点2指数函数的图象与性质1、指数函数的概念（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：=1\*GB3①如果，当=2\*GB3②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．=3\*GB3③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．2、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数3、指数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围（2）形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。知识点3对数函数的概念1、对数函数的概念（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．（2）特殊的对数函数=1\*GB3①常用对数函数：以10为底的对数函数.=2\*GB3②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.2、对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.3、对数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。（2）形如（，且）的函数的值域换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。考点1幂指对函数的概念判断【例1】（2020·广西·昭平高一阶段练习）下列函数既不是幂函数又不是指数函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A:是指数函数，不合题意；选项B:是幂函数，不合题意；选项C:既不是指数函数，又不是幂函数，符合题意；选项D:是指数函数，不合题意.故选：C【变式1-1】（2021·江苏·高一专题练习）下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）A．y＝(－4)xB．y＝λx(λ>1)C．y＝－4xD．y＝ax＋2(a>0且a≠1)【答案】B【解析】A中底数不满足大于0且不等于1，故错误；B中函数满足指数函数的形式，故正确；C中系数不是1，故错误；D中指数部分不是x，故错误；故选：B【变式1-2】（2021·全国·高一专题练习）若函数为对数函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以，故选：B【变式1-3】（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是的幂函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件；对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件；故选：A考点2求幂指对函数的解析式【例2】（2021·全国·高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A．y＝log5xB．y＝C．y＝D．y＝log3x【答案】A【解析】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（）A．B．C．或D．不确定【答案】A【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选：A．【变式2-2】（2022·甘肃·华池县第一高一期中）已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵为幂函数，∴设（是不为零的常数），又∵过点，∴，又，∴，∴．故选：B.考点3求幂指对函数的定义域【例3】（2022·北京通州·高一期中）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则，，，故函数的定义域为：，故选：C【变式3-1】（2022·湖北·武汉市第七高一期中）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，，解可得，，即函数的定义域为．故选：B．【变式3-2】（2022·江苏省上冈高级高一期中）已知函数，则函数的定义域为_________【答案】【解析】因为，所以，解得，即的定义域为，对于，则，解得，所以的定义域为.【变式3-3】（2022·全国·高一课时练习）求出下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定义域为，偶函数；（2）定义域为R，既不是奇函数，也不是偶函数；（3）定义域为R，奇函数；（4）定义域为，既不是奇函数，也不是偶函数.【解析】（1）的定义域为.，是偶函数；（2）的定义域为R.,.既不是奇函数，也不是偶函数；（3）的定义域为R.,是奇函数；（4）的定义域为，既不是奇函数，也不是偶函数.考点4求幂指对函数的值域【例4】（2022·湖南省岳阳县第一高一阶段练习）函数的值域是________【答案】【解析】由题知，令，由二次函数图像性质可知，在上单调递减，在单调递增..所以在上单调递减，在单调递增..所以，所以的值域是.【变式4-1】（2022·辽宁·育明高中高一期中）已知函数分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足.若函数，则的值域为__________.【答案】【解析】由得：，因为函数分别为定义在上的奇函数和偶函数，所以，两式联立得，所以，令，得，所以的值域为.【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六高一期末）下列函数是偶函数且值域为的是（）①；②；③；④.A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】C【解析】对于①，是偶函数，且值域为；对于②，是奇函数，值域为；对于③，是偶函数，值域为；对于④，是偶函数，且值域为，所以符合题意的有①④，故选：C.【变式4-3】（2022·吉林·长春市第二实验高一期中）已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，因此函数在上的取值集合包含，当时，函数在上的值为常数，不符合要求，当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A考点5幂指对函数的图象问题【例5】（2022·云南师大附中高一期中）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数与的图象过定点，所以C，D错误；又因为与单调性相异，故选：A【变式5-1】（2022·河南省实验高一期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象，故选：B.【变式5-2】（2022·山东聊城·高一期中）在同一坐标系中，函数，的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不过原点，在第一象限且递减，在第四象限且递增，如C所示；当时，且，，没有符合要求的图象；当时，在第一象限且递减，若时，过原点，在第一象限且递增，没有符合要求的图象；若时，过原点，在第一象限且递增，如A、B所示.故选：D【变式5-3】（2022·四川·树德高一阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C．考点6幂指对函数过定点问题【例6】（2022·重庆高一期中）已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于函数，令，解得，所以，即函数恒过定点.故选：A【变式6-1】（2022·福建·三明高一期中）函数过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函数恒过点，令，则，，故函数恒过定点.故选：C【变式6-2】（2022·全国·高一期末）（多选）设，在下列函数中，图像经过定点的函数有（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】当时，，图象经过定点，故A可选；当时，，图象经过定点，故B可选；当时，，图象经过定点，故C可选；当时，，图象不过定点，故D不选，故选：ABC【变式6-3】（2022·重庆南开高一期中）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______．【答案】【解析】对于函数函数，当时，，所以，设，把点A的坐标代入该幂函数的解析式中，.【变式6-4】（2022·全国·高一课时练习）函数（且）恒过定点，则___．【答案】【解析】由题意，函数恒过定点，可得，解得，所以.考点7幂指对函数的单调性问题【例7】（2022·广东·福田外国语高中高一期中）下列函数是偶函数且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，为偶函数，又当时，在递减，故A错误；对于B，的定义域为R，，则为奇函数，故B错误；对于C，为偶函数，且时，为增函数，故C正确；对于D，的定义域为，其为偶函数.当时，为减函数，故D错误.故选：C.【变式7-1】（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）函数的增区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，解得，的开口向下，对称轴为，函数在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.故选：D【变式7-2】（2022·安徽·淮北高一期中）函数的单调递增区间___________.【答案】【解析】令，即，解得，所以的定义域为，因为在上递增，在上递减，且在上递减，所以的单调增区间为.【变式7-3】（2022·江苏省南通高一期中）已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为（）A．B．1C．2或D．2【答案】A【解析】∵是幂函数，∴，即，解得，或，又当时，单调递减，∴，当时，，不合题意，舍去；当，，符合题意，故．故选：A．【变式7-4】（2022·江苏省上冈高级高一期中）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由题意得：在上恒成立，且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：函数在上单调递减，则有，解得：.故选：A【变式7-5】（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级高一期中）已知是R上的减函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于是R上的减函数，则需满足，即，解得，故选：B.考点8幂指对函数比较大小【例8】（2022·北京·北二外附属高一期中）已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即，，即.，即，所以，故选：D【变式8-1】（2022·北京高一阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，故选：B.【变式8-2】（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级高一期中）设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，，，.故选：A.【变式8-3】（2022·重庆市育才高一期中）已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，函数在上单调递增，且，，即.故选：D.【变式8-4】（2022·山西省运城中高一期中）已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数为R上单调增函数，故，而，由于是定义在上的增函数，故，即.故选：A.【变式8-5】（2022·河南·郑州市回民高级高一期中）（多选）设偶函数在上单调递增，则下列大小关系是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为函数是偶函数，则恒成立，所以，又函数在上单调递增，所以在上单调递减，则，所以且，所以，.故选：BC考点9幂指对函数性质解不等式问题【例9】（2022·湖南·邵阳市第二高一期中）已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，时，；当时，；因为函数是定义域为的奇函数，所以，时，；时，；时，.所以，的解集为.故选：B【变式9-1】（2022·山东·青岛分校高一期中）函数，已知，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】可化为或，解得或，故选：B【变式9-2】（2022·吉林·长春吉大附中实验高一期中）已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得可得函数的定义域为，由，所以为偶函数，当时，都是减函数，所以都是减函数，所以是减函数，当时，是增函数，且，，由可得，解得，又得，所以且.故选：B.【变式9-3】（2022·四川·树德高一阶段练习）己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,不等式等价于，即，解得：或；或，即，解集为；综上可知，不等式的解集为.考点10幂指对函数的综合应用【例10】（2022·黑龙江·宾县第二高一期中）已知（且）的图象过点.（1）求的值；（2）若，求的解析式及判断奇偶性.【答案】（1）；（2）；是偶函数【解析】（1）∵（且）的图象过点，∴，∴，又且，所以.（2）由（1）得，其中且所以的定义域为.所以，，所以是偶函数.【变式10-1】（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．（1）求函数的解析式；（2）讨论函数的奇偶性和单调性；（3）求函数的值域．【答案】（1）或或；（2）答案见解析；（3）答案见解析【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或（2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；【变式10-2】（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知函数是奇函数.（1）求的值，并判断的单调性（不必说明理由）；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1），为增函数；（2）【解析】（1），检验：，定义域为，，为奇函数，故.∴，∴为增函数.（2），，设，因为，即存在，使b成立，当时，，.【变式10-3】（2022·江苏·淮阴高一期中）已知函数为定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得，此时，是奇函数.故.（2）当时，，故，则，又因为恒成立；故当时，恒成立，符合条件.当时，当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，，所以，令，因为都在上单调递增，故在单调递增，又，所以；当时，根据复合函数单调性可得：在单调递增，在单调递减，故，所以令，都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数，又当时，，故在上恒成立，故在无解，即不满足条件；综上所述，.【变式10-4】（2022·山西省运城中高一期中）已知函数是定义域为的奇函数.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性并用定义证明；（3）设，求在上的最小值.【答案】（1）；（2）单调递增；证明见解析.；（3）.【解析】（1）∵为奇函数，∴，可得，此时，满足，即函数是定义域为的奇函数，所以函数的解析式为；（2）在上为增函数.证明：设为R上任意两个实数，且，,,∴，∴在上为增函数.（3）由，可得,令，由（2）知为增函数，∵，∴，令,当时，在上单调递增,故；当时，在上单调递减，在上单调递增,故；当时,在上单调递减，故;综上所述,.1．（2022·江苏·南京市中华高一期中）已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，故选：C．2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）幂函数在上为减函数，则实数的值为（）A．或B．C．1D．2【答案】D【解析】由于函数是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，符合题意.当时，，在上递增，不符合题意.综上所述，的值为.故选：D3．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）当时，，，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，所以，，所以，，，，所以.故选：C4．（2022·北京高一阶段练习）函数的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，因为，所以函数单调递增，当时，，因为，所以函数单调递减．故选：C．5．（2022·广东·汕头市实验高一期中）我们可以把（1+1%）看作每天的“进步"率都是1%，一年后是；而把（1-1%）365看作每天的“落后”率都是，一年后是，可以计算得到，一年后的“进步”是“落后"的，倍，如果每天的“进步"率和“落后”率都是，大约经过（）天后，“进步”是“落后”的10000倍A．17B．18C．21D．23【答案】D【解析】经过天后，“进步”与“落后”的比，，两边取以为底的对数得，，，所以大于经过天后，“进步”是“落后”的10000倍.故选：D6．（2022·河南信阳·高一期末）已知，若，，且，则的最小值为（）A．2B．4C．D．5【答案】C【解析】由，得，所以，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：C.7．（2022·河南洛阳·高一期中）已知幂函数过点，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，则，，由可得，解得，因此，不等式的解集为.故选：C.8．（2022·重庆高一期中）已知函数，对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，可知函数在上单调递减，则，解得所以实数的取值范围为，故选：B9．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.故选：D10．（2022·四川·树德高一阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，即，解得；故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有四个交点，如下图所示：数形结合可知，.故选：D.11．（2022·广西·桂林十高一期中）（多选）若函数，则下列说法正确的是（）A．函数定义域为B．时，C．的解集为D．【答案】BD【解析】由题知，，A，函数定义域为，故A错误；B，在上单调递减，当时，，故B正确；C，在上单调递减，，即，解得，故C错误；D，，故D正确.故选：BD12．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）（多选）若不等式在区间上恒成立，则的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为在区间上恒成立，而，所以在上恒成立，故，即，则在上单调递减，令，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，则，即，解得，所以，由此易得AD错误，BC正确.故选：BC.13．（2022·北京高一阶段练习）已知函数.若，则_______.【答案】【解析】，，14．（2022·天津南开·高一期末）函数f（x）=log2（2-x2）的单调减区间是________.【答案】（0