《高等数学 上册》 课件 王娜 第1章 函数、极限与连续

一、集合二、映射三、函数第一章函数与极限第一节映射与函数1/27元素a

属于集合

M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义

1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集

,记作

.

(或).2/27表

示

法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例1有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例2

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x为有理数或无理数开区间闭区间3/27无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域4/27是B的子集

,或称B包含A

,2.集合之间的关系及运算定义2则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:

,

,

若设有集合记作记作必有5/27定义3

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或6/27二、映射1.映射的概念

某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座例7/27定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像

,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—

定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.8/27对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.9/27X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)f称为X

上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的为函数映射又称为算子.名称.例如,函数的两个要素:1、定义域；

２、对应法则10/272.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义

定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f

的逆映射.11/27定义则当由上述映射链可定义由D

到Y

的复设有映射记作合映射

,时,或注意:

构成复合映射的条件不可少.(2)复合映射12/27定义域三、函数1.函数的概念

定义4

设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:自变量因变量13/27(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域:

对应法则的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域14/27例3

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域15/272.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.16/27(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:在x=0有定义,为奇函数时,则当必有若17/27(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数18/273.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:

19/272)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数20/27(2)复合函数

则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数

.可定义复合21/274.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.22/27非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当23/27四、小结1.集合及映射的概念定义域对应法则3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构作业

P216(5),(10);11;18;19;20

2.函数的定义及函数的二要素25/27且思考题证明时其中a,b,c

为常数,且为奇函数.设26/27且思考题解答证明证:

令则由消去得时其中a,b,c

为常数,且为奇函数.为奇函数.设27/27第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、小结、作业1/28“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、数列极限的定义2/28正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积3/28例如4/28

例1（1）a,aq,aq2,aq3,…,aqn-1,….其中a,q为常数且q0。一般项公式为xn

=aq

n-1。此数列简记为{aqn-1}或{aqn-1}。（2）（3）5/28在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点注：2.数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn

=f(n).6/287/28数列极限的直观定义

对{xn}:x1,x2,x3,…,xn

,…

若随着n的无限增大(记作

n

)，有xn无限接近某个定数

a，(允许某些xn甚至全部xn等于a)，则称{xn}有极限(为a)或收敛(于a)，记作:

xn=a

或

xna(n)8/28例2

讨论{

}的极限解

因为xn==1+所以xn1(n)，即xn=1。问题:

怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念，即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？9/28

随着n

，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是|xn-a|无限接近(或等于)0

任给定|xn-a|的上界

，不论它有多么小，只要n足够大（n>某个N），总可以使|xn-a|<

。于是有下面数列极限的定义（用“

—N”语言表达）10/28如果数列没有极限,就说数列是发散的.11/28注意：1）

（>0）必须可以任意小。

2）N与

有关。

3）若N(

)存在，则必不唯一。

4）几何解释：12/28

5)收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。可以任意改动、增删数列中有限个项，不影响其收敛性和极限值。

数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：13/28例3证所以,14/28特别注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定说明相应的N存在,但不必求出最小的N.15/28例4

对xn=，证明。证

任给定>0，因为|xn-0|=而所以可取N()=max{[],1}。证毕。若由可取N()=max{[-1],1}。证毕。16/28例5证所以,说明:

常数列的极限等于同一常数.17/28例6证18/28例7证19/28二、收敛数列的性质1、有界性例如,有界；无界。20/28定理1

收敛的数列必定有界.证由定义,推论

无界数列必定发散.21/28例8

{n+(-1)nn}:0,4,0,8,0,12,…是无界的,注意收敛

有界;发散

无界.收敛

有界;发散

无界.

{n+(-1)nn}发散.22/28例9证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.{xn}发散.证毕。23/282、唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.证毕。24/283、子数列的收敛性注意：例如，25/28定理3数列{xn}收敛于a

{xn}的任一子数列都收敛于a．证“”“”易证(略)。证毕。26/28推论

若{xn}有发散子列或有两个收敛于不同极限的子列

{xn}发散.例10(1){xn}={(-1)n}有子列{x2n}={1}1，{x2n-1}={-1}-1

，

{xn}={n+(-1)nn}有子列{x2n}={4n}无界,

{x2n}发散.

{xn}发散.

{(-1)n}发散.27/28三、小结1.数列:定义，几何表示，主要研究其变化规律。2.数列极限：直观描述，精确定义，几何意义。3.收敛数列的性质:

有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的关系。28/28作业习题1-22;3(3);4;5;6练习题1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义第五节极限的运算法则

极限的四则运算法则复合函数极限运算法则小结、作业1/22一、极限的四则运算法则定理12/22证由无穷小运算法则，得3/22推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论34/22例1解注只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意义(包括出现

)，就可交换顺序。5/22例2解6/22例3解7/22注

不能直接用极限的四则运算法则时，可先将函数适当变形，再用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化，等。解例4（消去零因子法）8/22例5求

解(无穷小因子分出法)9/22例6求解

（消去零因子法）10/22例7求解（分子有理化）11/22例8求解（分母有理化）12/22例9求解先变形再求极限.13/22例10解14/22例11解左右极限存在且相等,15/22例12解16/22总结：(1)有理函数在无穷远的极限

(2)有理函数在x0

的极限17/22二、复合函数极限运算法则定理2（复合函数极限运算法则，极限过程代换法则）18/22证：

只对t-,

x=

t

x0+0且AR的情形来证。19/22例13求极限20/22注数列极限与函数极限的关系：(2)x1=x2=

1,xn+2=xn

+xn+1(Fibonacci数列)

xn

0？思考题(1)在某个过程中，若f(x)有极限、g(x)无极限，那么f(x)+g(x)是否有极限？为什么？f(x)-g(x)是否有极限？21/22三、小结：极限的四则运算法则（注意除法）,

有理函数的极限；

2.复合函数的极限运算法则（过程代换）。22/22作业习题1-51(5);2(1);3一、填空题:练习题二、求下列各极限:练习题答案第六节极限存在准则

两个重要极限极限存在准则两个重要极限小结、作业1/17证（略）注：准则1（夹逼准则）对A=

也成立。一、极限存在准则2/17例1解由夹逼定理得注：1)求n项和的数列极限时常用夹逼准则。

2)使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。3/17解：例2求4/17例3求解：再由夹逼定理及例2得例4求解：由夹逼定理得5/17第一个重要极限证：证毕。6/17例5解注：在求与三角函数比有关的极限时常用到此极限。例6求解7/17例7求解例8求解8/17定义：单调增加单调减少单调数列几何解释:注:

此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。9/17例9证由xn>0

A0,例1010/17第二个重要极限11/17注：常用此极限求幂指型函数的极限。例11解例12解13/17例13解例14解14/17*二、柯西极限存在准则15/17三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.16/17作业习题1-61(5)(6);2(3);4(2)思考题求极限17/17思考题解答一、填空题:练习题二、求下列各极限:练习题答案第七节无穷小的比较

无穷小的比较等价无穷小的替换小结、作业1/13一、无穷小的比较无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：例如,不可比.观察各极限2/13出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.定义:注若

C，则

C.3/13例1例２解4/13常用等价无穷小:5/13例3证证毕6/13证证毕意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,7/13例4解8/13二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理)证证毕注可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。9/13例5解例6解10/13例7解解错11/13注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.注

对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。12/13几个常用的无穷大按阶从低到高排列为：三、小结1、无穷小的比较

反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度相对的快慢。但并不是所有的无穷小都可进行比较。2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,

注意适用条件.高(低、同)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.13/13作业习题1-72;3(1);4(3)练习题练习题答案第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结、作业1/16一、函数的连续性1.连续的定义2/16f(x)在x0连续的几何特征曲线

y=f(x)在

x0点不断裂。2.单侧连续的定义单侧连续的几何特征：…。3/16定理连续性是函数的局部性质。例1证证毕4/16例2解f(x)右连续但不左连续

,5/163.连续函数与连续区间

若f(x)在区间I的内部每一点处都连续，并且当I含左（右）端点时f(x)在该端点处右（左）连续，则称f(x)是区间I上的连续函数，或者说函数f(x)在区间I上连续，并且称I为f(x)的连续区间。

I上连续函数的图形在I上是一条连续而不间断的曲线.几何特征注意：函数在区间

I上处处连续与在区间

I上连续是有区别的.6/16例3解书上（P33例5）已证：当x0

>0时，有又前面例已证：当x0

0时，有从而有7/16二、函数的间断点由此寻找函数的间断点。间断点的分类：8/16例4解9/16注意可通过修改函数在可去间断点处的定义,使其变为连续点.例5解如例5中,10/16例6解例7解11/16注意不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★12/16判断下列各间断点类型:例813/16例9解14/16三、小结1.函数在一点连续的定义及必须满足的三个条件;3.间断点的分类:2.函数在区间上连续的定义;第一类间断点:

可去型，跳跃型；第二类间断点:

无穷型，振荡型，...。间断点15/16作业习题1-82(1)(4);3思考题16/16练习题练习题答案第九节连续函数的运算与

初等函数的连续性一、连续函数的四则运算法则二、反函数的连续性法则三、复合函数的连续性法则四、初等函数的连续性法则五、小结、作业1/14一、连续函数的四则运算法则定理1（函数在一点处连续性的四则运算法则）推论（区间上连续函数的四则运算法则）注单侧连续函数也有与定理1相应的四则运算法则。2/14例13/14二、反函数的连续性法则定理2

（严格）单调的连续函数必有(严格)单调的连续反函数.问：

y=f-1(x)

与x=f-1(y)的连续的有何联系？例24/14*例3

试证:证:(1)先证在x=0连续。(2)再证，在

x处连续。证毕指数函数在定义域上连续。对数函数在定义域上连续。

5/14三、复合函数的连续性法则定理3意义极限符号可与连续函数符号交换先后顺序，即极限运算可以穿过连续函数符号。6/14例4或由或由7/148/14定理4注由定理4知：f(g(x))的不连续点只可能是

g(x)的不连续点及f(u)的不连续点u在

g(x)下的原象。9/14四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★