概率检验中的两类错误

PAGEPAGE5概率检验中的两类错误论文摘要：概率检验又称假设检验。假设检验实质上就是在原假设和备择假设中二者择其中之一的决策过程。决策的依据就是检验统计量的样本植。本文以文字的形式论述了什么是概率检验中的两类错误，即在原假设正确时但却被拒绝了的错误，称为第一类错误；在原假设错误时但却接受了的错误，称为第二类错误。两类错误概率的相互关联可以粗略的概括为在样本含量不变的前提下，第一类错误的概率α越小，第二类错误的概率β越大；反之，第一类错误的概率α越大，第二类错误的概率β越小的特点，以及由此而得出的对两类错误概率的控制。关键字：概率检验假设检验两类错误原假设备择假设概率检验又称假设检验。假设检验实质上就是在原假设和备择假设中二者择其中之一的决策过程。决策的依据就是检验统计量的样本植。在给定的显著性水平之下，若检验统计量的样本植落入拒绝域，则拒绝原假设；若检验统计量的样本植落入接受域，则接受原假设。然而，由于样本抽取的随机性，检验统计量的样本植落入接受域，也不意味着原假设就肯定正确；检验统计量的样本植落入拒绝域，并不意味着原假设就肯定不正确。由此可见，在假设检验过程中，人们可能做出正确的决策，也可能做出错误的决策。做出正确决策的情形有两种，即当原假设正确时做出接受原假设的决策情形和当原假设不正确时做出，做出拒绝原假设的决策情形。做出错误决策的情形也有两种，即当原假设正确时做出拒绝原假设的决策情形和当原假设不正确时做出接受原假设的决策情形。这两种决策错误分别成为第一类错误和第二类错误。原假设H。为真原假设H。为假接受原假设H。正确决策第Ⅱ类错误拒绝原假设H。第Ⅰ类错误正确决策为了在假设检验中尽量少犯错误，我们就需要对这两类错误决策加以讨论和研究。假设检验的第一类错误是在原假设正确时但却拒绝了的错误，又称为弃真错误。产生第一类错误的概率是由假设检验的显著性水平给出的，而事实上犯此错误的概率就等于给定的显著性水平。由于假设检验中接受域和拒绝域是临界值，是根据给定的显著性水平α而确定的，所以在原假设正确的条件下，检验统计量的样本植落入拒绝域的概率就为α，从而犯第一类错误的概率就是α。α可以取单尾也可以取双尾。假设检验时，研究者可以根据需要确定α值的大小，一般规定α=0.05或0.01。其意义为假设检验中如果拒绝H0时发生第一类错误的概率为5%或1%,即100次拒绝H0的结论中,平均有五次或一次是错误的.假设检验中的第二类错误是原假设不正确,但却被接受了的错误,又称为纳伪的错误.由于假设检验中,原假设H0和备择假设H1必有一个为真,原假设不正确必定是备择假设正确,所以犯第二类错误的概率就等于备择假设成立时的概率,即等于备择假设成立的条件下,相应统计量的样本值落入接受域的概率,此概率一般用β表示,可根据备择假设成立时相应统计量的概率分布计算出来。β只取单尾。一、两类错误概率之间的关系发生两类错误的概率之间也有一定的关系。如前所述，假设检验时根据检验结果做出的判断，即决绝H0或不拒绝H0，并不是百分之百正确，可能发生两类错误。我们以样本均数与总体均数比较的t检验为例说明。1.拒绝了实际上成立的H0，即样本原本来自μ=μ0的总体，由于抽样的偶然性得到了较大的t值，因t≥t0.05，按照α＝0.05的显著性水平拒绝了H0而接受了H1，这类错误为第一类错误。如下图B。2.不决绝实际上不成立的H0，即样本原本来自μ≠μ0的总体，H0：μ=μ0是不成立的，但由于抽样的偶然性，得到了较小的t值。因为t≤ta按照α＝0.05的显著性水平不拒绝H0，这为第二类错误，如下图C，犯第二类错误的概率为β。β值的大小一般很难确切的估计，但知道在样本含量不变的前提下，α越小，β越大；反之，α越大，β越小。同时减小α和β的唯一方法是增加样本含量，因为增加了样本含量后，均数的抽样误差小，样本均数的代表性强，也就是样本均数接近总体均数，因而可使犯第一类错误的和第二类错误的概率减少。μ1μ01—βα1-αβ临界值判断正确判断正确判断错误（Ⅱ类错误）判断错误(Ⅰ类错误)DCBA无效假设不成立（即样本来自μ≠µο的总体）无效假设成立（即样本来自μ=µο的总体）拒绝H0，认为样本不来自μ=µο的总体不拒绝H0，认为样本来自μ=µο的总体实际情况Aμ1μ01—βα1-αβ临界值判断正确判断正确判断错误（Ⅱ类错误）判断错误(Ⅰ类错误)DCBA无效假设不成立（即样本来自μ≠µο的总体）无效假设成立（即样本来自μ=µο的总体）拒绝H0，认为样本不来自μ=µο的总体不拒绝H0，认为样本来自μ=µο的总体实际情况Ⅰ型错误与Ⅱ型错误的关系二、犯两类错误的原因我们知道犯第一类错误的概率α为统计量T的观测值落在决绝域中的概率α，由于可以调节拒绝域的大小，从而检验统计量T的观测值落入拒绝域这一小概率事件发生的概率α可由我们控制，因此我们可以控制犯第一类错误的概率大小。但对第二类错误，却不好似第一类错误那么简单。下面我们来研究一下犯第二类错误的原因。我们知道在原假设H0是不成立时，统计量T的观测值也有可能落入接受域中。这是因为我们的检验统计量T是子样X1、X2、……Xn的函数。T的分布是由子样X1、X2、……Xn的联合分布决定的。而子样X1、X2、……Xn的联合分布是由母体的分布决定的。关于母体的分布我们做出原假设H0与备择假设H1，不管原假设与备择假设中那一个是正确的，检验统计量都会相应的确定一个分布。由于检验统计量T在H0成立条件下与在H1成立条件下的分布是不一样的，从而检验统计量T在数轴上同一个区间上取值的概率H0成立条件下与在H1成立的条件下也就不一样。在原假设成立的情况下，我们得到的检验统计量T服从某一分布，依据此分布我们得出T的观测值以很大的概率1－α落在实数轴的某一区间上，这一区间即为接受域。这里所说的T以很大的概率1－α落在某一区间的含义为：T的密度曲线上包括峰值及峰值左右各有一大部分在内的密度函数曲线部分与其下面对应的坐标轴上的区间之间的面积为1－α。问题是如果H0是假的，H1才是真的，从而检验统计量T服从的真实分布是由H1确定的某个分布。那么检验统计量T落在上面所确定的接受域中的真实概率实际上应当是根据检验统计量T在H1成立下所确定的分布计算出来的一个数值β。这个β正是我们犯第二类错误的概率。这是因为在H0为假时，检验统计量的观测值以概率β落在接受域中，而我们根据T的观测值落入接受域中已做出了接受H0的决策。β的值一般比较小，这是因为在H0为假时，检验统计量T的真实分布既然是由H1确定的某一个分布，而不是由H0确定的分布，其密度函数曲线的峰值部分必然偏离接受域上方，从而β的值必然是比较小的。需要注意的一点是：当H1成立时，一般来说我们并不知道检验统计量T的确切分布是什么，即使知道T的分布类型，也不知道T的分布中的参数到底取什么值。因此我们并不知道β的值到底有多大。当然，在给定了α后，我们可挑选检验法即挑选检验统计量T使得β尽量小，即寻找一致最优势检验；但是在备择假设是复合备择假设或较为复杂的其它备择假设的情况下，也是无法控制犯第二类错误的概率β。在某些情况下，增加样本容量可以减少β，这是因为在某些情况下增加样本容量以后，检验统计量T的方差变小了，使得T的密度曲线高窄峰，从而在备择假设H1为真时，检验统计量T的观测值落入接受域中的概率也变小。三、假设检验中应注意的一些事项假设检验时也应注意一些事项。首先，要有严密的抽样研究设计；样本必须是从同质总体中随即抽取的；要保证组间的均衡性和资料的可比性。第二，根据现有的资料的性质设计类型、样本含量大小，正确选用检验方法。第三，对差别有无统计学意义的判断不能绝对化，因检验水准只是人为规定的界限，是相对的。差别有统计学意义时，是指无效假设H0被接受的可能性只有5%或不到5%，甚至不到1%，根据小概率事件一次不可能拒绝H0，但尚不能排除有5%或1%出现的可能，所以可能产生第一类错误；同样，若不拒绝H0，可能产生第二类错误。第四，统计学上差别显著与否，与实际意义是有差别的。如应用某药治疗高血压，平均降压0.5Kpa并得出差别有高度统计学意义的结论。从统计学高度，说明该药有降压作用，但实际上，降低0.5Kpa是无临床意义的。四、假设检验的功效下面在说一下假设检验的功效。犯第二类错误的概率β是在假设检验中原假设错误但却接受了它的概率，也就是备择假设正确却拒绝了它的概率。由此可得备择假设正确并接受了它的概率为1－β，称为假设检验的功效。一般来说，随着备择假设值与原假设值离差的增大，犯第二类错误的概率会变小，检验的功效则会增大。由两类错误的关系可得，对