函数与方程章末归纳整合（人教A版必修1）

章末归纳整合

1．方程的根与函数的零点方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点判断法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意由f(a)·f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点．当f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．3．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择．4．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化．另一方面，要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力．一、函数的零点与方程根的关系确定函数零点的个数有两个基本方法，一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二是判断区间(a，b)内是否有零点，可应用f(a)·f(b)<0判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．【例1】

若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是(

)A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．∅解析：分三种情况，在同一坐标系中画出y＝|ax|和y＝x＋a的图象如图：结合图象可知方程|ax|＝x＋a有两个解时，有a>1.答案：A二、函数模型及应用把握函数模型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．三、函数与方程思想函数与方程有密切的联系，例如函数f(x)的零点对应着方程f(x)＝0的根．方程的问题可以利用它对应的函数的性质来解决，而函数的许多问题则需要方程来解决．函数的思想是从变量出发研究的整体性质，而方程则是从未知数的角度出发研究函数在某一状态下的性质，函数问题和方程问题可以相互转化．【例3】

如图，二次函数y＝－mx2＋4m的顶点坐标为(0,2)，矩形ABCD

的顶点B，C在x轴上，A，D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．(1)求二次函数解析式．(2)设A点坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于x的函数解析式，并求x的取值范围．四、数形结合思想的应用函数的解析式与函数图象是函数的两种不同表现形式，因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等．【例4】

求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解．解：设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出它们的图象如图所示，两图象有两个交点，一交点的横坐标显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0；x＝2时，log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.综上，原不等式的所有整数解集为{－2，－1,0,1}．五、分类讨论思想现实世界丰富多彩，同一问题存在各种不同的方面，那么就需要对同一问题的不同方面分类分别研究，函数中常涉及关于参数的问题，有的参数在不同的取值范围内的值会引起函数性质的不同变化，如对数函数、指数函数的底数、二次函数的二次项系数等．【例5】

某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服53元，手套3元一副，该企业联系了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠办法．商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套；商店二：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套若干(不少于75副)，若你是企业老板，你选择哪一家商店？解：设需要手套x副，付款数为y元．商店一的优惠办法：y1＝75×53＋3·(x－75)＝3x＋3750(x≥75)．商店二的优惠办法：y2＝(75×53＋3x)×95%＝2.85x＋3776.25(x≥75)．令y1＝y2，即3x＋3750＝2.85x＋3776.25，解得x＝175，即购买175副手套时，两商店优惠相同．令y3＝y1－y2，即y3＝0.15x－26.25，当75≤x<175时，y3<0，即y1<