可压缩气体的伯努利方程

可压缩气体的伯努利方程

在普通物理教材和教学中，我们只讨论了不可压缩的伯努利方程。讨论液体和低速气体的运动可以是有效的，但不能处理高速和高速气体的流动。在这项工作中，我们使用可压缩气体的伯努利方程来讨论高速气流的实际问题。1容器内空气的极值工业生产中常用的储液器通常有一个进液口和一个排气口.以储水容器为例,如图1所示.开始容器内有一个大气压的空气,在注水过程中容器内气压会升高.容器内气压的最大值是很重要的参量,决定了容器的强度设计.下面讨论储水容器内气压的极值.首先建立储水容器内气压变化所满足的微分方程.设储水容器容积为V0,开始容器内充满与环境大气相同的空气,气压、温度、密度分别为pa、Ta、ρa.设t时刻容器内的气压、体积、温度、密度分别为p、V、T、ρ.设t—t+dt时间内注入的水的体积为dV水,排出的空气体积为dV,并设整个排气过程为等熵过程,把空气当作理想气体,则对于留在容器内t时刻体积为(V-dV)、压强为p的那些空气,在t+dt时刻体积压缩为(V-dV水)、压强为(p+dp),于是由等熵过程的泊松(Poisson)公式有即于是得其中γ为比热容比.设t时刻注入水和排出空气的体积流量分别为q水、q,则由于容器内空气进入排气管后体积膨胀,所以这里的排出空气体积流量q不等于排气管中的空气体积流量qe.将上式代入式(1)得其中定义气压极值pm为使dp/dt=0的气压.由式(2)可知,当q水-q=0时容器内气压达到极值pm,即为容器内气压为极值的条件.体积流量取决于进水管和排气管中流体的流速.流速要用伯努利方程计算.排气管中空气的流速可以达到声速,因此要应用适用于可压缩流体的普遍伯努利方程.2ue钢结构及密度的拟合普通物理教材中一般不讲普遍的伯努利方程.下面简要介绍如何由欧拉方程推导普遍的伯努利方程.适用于理想流体(无粘滞性的流体)的欧拉方程为其中f为流体所受单位质量的保守体积力.对定常流动,有于是式(5)为讨论同一条流线上各点的参量关系.用dr=vdt点积方程的两边得化简为其中ue788为单位质量的势函数,-due788=f·dr.式(6)就是理想流体定常流动时沿流线上点的参量所满足的微分方程,也就是普遍的伯努利方程.式(6)也可以由热力学第一定律在绝热条件下导出.在普通物理学中当考虑内能后也可以推导出式(6).若流体不可压缩,则ρ为常数,式(6)为即式(7)就是不可压缩流体所满足的最常见的伯努利方程.如果是可压缩理想气体,并且流动过程中等熵,则由泊松(Poisson)公式以及ρV=常数,得到则于是由式(6),可压缩理想气体在等熵定常流动过程中沿流线的微分方程为即有了可压缩流体的伯努利方程式(6),才可以严格讨论在什么情况下可以近似应用不可压缩流体的伯努利方程(7)计算气体的流动.对式(6)两边沿流线从点1到点2积分,得当1、2两点的气体相对压差较小时,密度ρ的变化也较小,于是其中ρ∈[ρ2,ρ1].因此得到这也就是应用式(7)得到的结果.3均有空气在大气中表达空气和容器内充放电时声速的变化水可以看作不可压缩流体,忽略重力势能的影响,由式(7)得到注水的流速同样忽略重力势能的影响,取容器内空气流速为零,则由式(9)得到排气管内空气流速为其中pe、ρe、分别为排气管内空气的压强、质量密度、声速.推导中还用到式(8).定义气压比刚开始注水时,容器内气压p较低,β较小,排气管内空气流速也较低,排气管内气压pe等于环境大气压pa.排气管内空气(pe,Te)来自容器内初始状态的空气(pa,Ta),由于整个流动过程是等熵的,所以排气管内空气和容器内初始状态的空气有关系:peγ-1Te-γ=Paγ-1Ta-γ.这样,当排气管内气压pe等于pa时,排气管内声速ce也等于环境大气声速ca.随着注水的进行,容器内气压不断增加,排气管内空气流速也不断增加,直到排气管内空气流速达到声速.空气流速达到声速是临界状态,此时容器内压强称为临界压强pc,比值β称为临界比值βc.临界状态下,仍有pe=pa,ce=ca.于是由式(11)令ve=ce得对空气,γ=1.4,于是空气的临界参量当p继续升高,β>βc时,由流体力学收缩管实验结论,排气管内空气流速一直保持为声速,不可能超声速(如果想获得超声速气流,必须用一种截面积先减小后增大的拉瓦尔喷管).此时排气管内气压pe要随之升高,保持与p不变的比值关系,即pe≡p/βc.排气管内气压不再与环境气压相同而是高于环境气压,空气从排气管进入大气后还要再一次膨胀.虽然空气流速一直等于声速,但是由于pe在增加因此声速也在提高.容器内压强为p(>pc)时排气管内的声速(流速)为其中R=8.31J/(mol·K)为气体普适常量,M=28.9×10-3kg/mol为空气的摩尔质量,Te为排气管内温度.由理想气体的等熵关系pγ-1T-γ=常数,得所以由式(12)得于是容器内压强为p(气压比为β>βc)时排气管内的声速(流速)为其中Ta为环境温度,若取Ta=293K,则ca=343m/s.4分离出极值空气所对应的氮气极值方程容器内的水和注水管中的水其密度相同,所以注水的体积流量为(设注水管截面积为S水)其中定义注水压强比排气管里空气的体积流量(设排气管截面积为Se)如前所述,排出气体的体积流量q不等于排气管里气体的体积流量qe.但是由于是定常流动,在同一流管中质量流量q质量是相同的,于是由式(8)得若p≤pc(β≤βc)时,pe=pa,则若p>pc(β>βc)时,pe/p=βc-1这样,气压极值条件式(4)就是关于极值气压所对应的气压比βm的方程.解出βm,就得到气压pm极值问题是采用式(17)和式(18)两个关系式中的哪一个?这可以用尝试的方法解决.例如先用式(17)计算,如果结果βm≤βc,那么计算正确;否则就要改用式(18)计算.下面先由式(17)计算极值气压比βm.假设βm≤βc.将式(15)、式(17)代入式(4)得设进水管、排气管半径分别为r水、re,则有取γ=1.4、ca=343m/s、ρ水=1.00×103kg/m3、pa=1.013×105N/m2,得如果re/r水较大,极端情况是容器敞口,则βm→1.取α=10计算不同re/r水比值情况下的βm,结果如下:其中re/r水=15/40的情况,已经不属于式(19)解决的问题.取re/r水=12.5/40,计算不同α情况下的βm,结果如下:由此可见,在re/r水=12.5/40情况下,从α=4.3起βm>βc都超出式(19)解决的问题的范畴.取γ=1.4、βc=1.8929、ca=343m/s、ρ水=1.00×103kg/m3、pa=1.013×105N/m2,得考虑一个实际的例子:r水=40mm、re=12.5mm,α=4.3、5.3、7、10.将r水、re代入计算得可见都有βm>βc,所以计算有效.5容器内气量变化1)以储液罐排气管内空气流速的计算为例,说明在气体相对压差较小时,用不可压缩流体的式(7)和等熵气体的式(9)来计算流速近似相等.按式(7)计算流速其中相对压差为Δβ=β-1.当Δβue04d1时,于是按式(9)计算的流速(见式(13))可以近似为两式的计算结果近似相等.2)由上述计算可知,决定气压极值的是注水压强p水(即α)、排气管半径re与注水管半径r水的比值,与容器的容积无关.由式(19)或式(20)可以很容易地计算出气压极值.3)关于储水容器注水过程中容器内气压的最大值.由式(2)可以定性讨论注水过程中容器内气压变化的规律.开始注水时,q水最大、V最大而q=0,dp/dt>0,容器内气压p增加;随p增加q水减少而q增加,但如果q仍然小于q水则仍然有dp/dt>0,于是p继续增加…….这时可能有两种情况.第一种情况是直到容器充满时q仍然小于q水,于是容器即将充满的瞬时气压即为最大气压,最大气压小于上面计算的气压极值.这种情况下,整个注水过程中容器内气压一直增加,不可能出现减少现象.第二种情况是容器充满前达到q水=q,这时容器内气压达到最大值也就是气压极值pmax.由于q水、q都是p的单值函数,在气压达到极值pmax后dp/dt=0,气压p不变,q水、q也都不变,即仍然保持q水=q状态.所以气压p达到极值后就不再改变,直到将容器注满,也不会出现气压减少的现象.综上所述,容器内气压不会超过气压极值.因此气压极值可以作为储液容器强度计算的重要参考数据.4)要想了解注水过程中容器内气压变化的详细情况,就要将式(3)、式(15)、式(17)[或者式(18)]代入式(2),得到一个完整的关于p随时间变化的微分方程.可以用数值积分的方法得到p(t)-t函数图形.但是