复合期权理论与方法的研究进展

复合期权理论与方法的研究进展

0复合控制权理论复合权重是记录权重的权利，其研究起源于黑鹤科和斯皮尔在权重价格方面的创新。他们将股票视为写在公司价值上的期权,若公司价值是写在公司债券上的期权,则股票便可表示为写在公司债券上的复合期权。自Geske导出了简单的两期复合欧式期权模型封闭形式的解以后,复合期权模型得到了广泛的应用。复合期权模型的本质是一系列权利的嵌套,适合于描述涉及序列决策的问题。譬如许多R&D项目都具有多期特性,只有在前期的研究目标达到时才能进入下一期。高科技项目的风险投资也是典型的多期投资,若运作过程中预定的目标没有达到,风险投资者也可以选择放弃下一期投资。企业在进行战略决策时,考虑的往往不仅是直接的预期的现金流,而且还会关注项目是否会为企业开启未来投资机会或者让企业在未来的竞争中处于有利地位。这些序列决策问题都可以采用复合期权模型来描述。实践中还有很多的重要课题,如金融资产和实物资产价值评估、并购策略、企业治理和激励机制设计等都涉及到了复合期权模型。关于复合期权理论、方法与应用的研究一直是众多学者关注的热点。简单复合期权理论模型主要基于Black-Scholes框架的,其前提假设非常严格,因此在实际应用上存在很大的局限性。现有的复合期权理论研究主要围绕如何对简单复合期权模型进行扩展,大致可以从两个方面上进行归纳。其一是从简单的二期复合向多期复合的推广。这在理论上并不困难,难点在于计算期权价值和最优策略的复杂性会随着期数的增加而迅速增加,导致了传统的解析定价方法遇到很大困难。Dixit和Pindyck将多期序列投资看成是多期复合期权,分别采用动态规划方法和相机权益分析(CCA)方法建立定价的偏微分方程,在一定的边界条件下求得复合期权价值函数以及执行阈值的解析解,但是只有在某些特定的边界条件下才能获得解析解,大多数情形仍然需要数值求解。Alvarez和Stenbacka基于马尔科夫泛函的格林表示提出一种对复合期权通用的计算方法,该方法能够提供系统的方法来计算复合期权价值函数和刻画期权的最优执行规则。Lin则直接将简单复合期权模型的结论推广到多期的情形,给出了欧式多期复合期权解的一般形式,且对求解的各种解析近似方法进行了比较。该方法的不足就在于在解的形式中存在着嵌套的高维正态积分,欲求得问题最终的数值解,仍需耗费大量的计算资源。其二是对描述标的资产价值运动过程的随机微分方程的改进。在简单复合期权理论中,仅考虑单因素标的资产情形,且假设标的资产价值的运动可以用几何布朗运动来描述。由于在复合期权情形下,期权价值对于标的资产价值运动参数的敏感性被放大,因此简单的几何布朗运动假设显得不切实际。Buraschi和Dumas放松了这个假设,研究了标的资产价值服从一般的扩散过程情形下复合期权的定价,导出了一个由欧式期权价格边界上的前向积分表达的解析定价公式。Geman,EIKaroui和Rochet以及Elettra和Rossella也放松了几何布朗运动假设,引入更有适应性的变波动率,并同时考虑资产价值和利率两个因素,将复合期权模型扩展到两因素情形。该文沿用传统的解析求解方法导出两期欧式复合看涨期权的解析定价公式,但该公式的形式与简单复合期权是类似的,也包含有高维积分,当扩展到多期情形后会带来计算上的困难。Herath和Park采用写在多个互不相关资产上的多期复合期权模型来定价将多期投资,并采用二项式网格方法来定价,但其定价方法过于简单,既没有考虑解的精确性和收敛性也没有考虑最优执行阈值的确定。由于问题的复杂性,复合期权定价模型仅在有限的情况下可获得解析解。许多学者采用现代数值技术进行求解。Trigeorgis将二项式定价方法变形,提出一种所谓的“对数变形的二项式数值分析方法”来定价复合期权,在数值计算中可以获得很好的一致性,稳定性和有效性。Breen混和了二项式模型和Geske和Johnson模型,提出了一种“加速二项式期权定价模型方法”,达到比传统二项式模型更快的速度,而且适用于更大的范围的期权定价模型。本文将简单复合期权模型同时在两个方面上进行扩展,在Lin文给出的常波动率多期复合实物期权模型基础上,探讨如何引入变波动率。由于波动率是变的,经典的多期复合期权解析求解框架已是不可行的,难以获得解的一般形式,本文提出采用数值方法来求解。二项式期权定价方法虽然简单实用,但在多期情形下计算收敛速度较慢,而且计算量随着期数的增加而迅速增加。本文采用Dixit和Pindyck的思路,运用CCA方法建立定价的偏微分方程,并提出相应的边界条件。但与之不同的是,由于边界条件的复杂性难以从方程中求得解析解,本文提出采用有限差分数值方法来求解。在本文的最后给出模型在风险投资定价上的一个应用,结果表明这种扩展是非常有意义的。1n期复合实物的资金来源和模型在一个多期项目投资中,投资者在每一期所拥有的投资权利可以看成一个期权,其价值包含两部分:该期产生的现金流价值和进行下一期投资的权利价值。投资者在期末获得该期现金流,还可以选择是否执行期权。若执行期权,即以一定的执行价格(投资成本)来购买下一期的期权(投资权利),项目得以继续进行;如果放弃执行,即保留投资成本而放弃后续的投资,那么项目就此永久放弃,重复此决策过程直至到期日。这一系列的投资权利可以看作是一个多期欧式复合实物期权。Lin采用了常波动率多期复合实物期权模型来评价高科技项目投资决策(图1)。模型假设投资决策时间点预先给定,决策只能在每一期的期末(即下一期期初)做出。且只有在到期日才产生现金流。图中,tk,Ik(k=0,…,n)分别表示给定的决策时间点和在该时间点投资者需支付的投资成本;Vt表示在任一时间点t上标的项目的价值;Ck表示tk时刻投资者的支付函数。当k=0,…,n-1时,Ck=max(Fk-Ik,0),Fk表示在第k期(即tk到tk+l,之间)期权(投资机会)价值,若Fk≥Ik,投资者将会支付投资成本Ik,来购买价值Fk为下一期的投资期权,反之投资者将会放弃项目投资。Cn=max(Vn-In,0)表示投资者的最终支付,若Vn≥In投资者将支付In购买价值为Vn的标的资产,反之投资者将放弃交易。假设标的项目价值Vt服从几何布朗运动:dVt/Vt=αVdt+σVdz,其中αV和αV分别表示Vt的瞬时期望回报率和瞬时期望波动率,dz表示标准维纳过程。Lin假定市场上存在着均衡交易的“酷似证券”(twinsecurity)。且与标的项目价值期望收益率之间有收益率亏空δ:δ=r+ρVMλMσV-αV,其中r表示无风险利率;ρVM表示酷似证券与市场证券组合收益率之间的相关系数;λM表示为市场证券组合的风险市场价格。依据风险中性定价理论,便可在所谓的“风险中性环境”中研究任何衍生资产的定价。任何衍生资产(无论是否可交易)的价值就是在风险中性测度下未来现金流的期望值在无风险利率下的折现。由于期权Fk(·)(k=0,…,n-1)是写在标的项目价值Vt上的欧式相机权益,因此通过对终端支付进行折现就能够逐期回溯得到多期复合实物期权的价值。Lin在文中给出n期复合实物期权的封闭形式的解:Fi=Vie-δ(tn-ti)Φn-i(Ηn-i;Rn-i)-n-i∑J=1e-rτJΙJ+iΦJ(ΚJ;RJ),(i=0,⋯,n-1)Fi=Vie−δ(tn−ti)Φn−i(Hn−i;Rn−i)−∑J=1n−ie−rτJIJ+iΦJ(KJ;RJ),(i=0,⋯,n−1)其中:ΦJ(H;R)=1(2π)J2|R|1/2R)=1(2π)J2|R|1/2∫hn-∞hn−∞…∫h1-∞h1−∞e-12xΤR-1xdx1⋯dxJ,(J=1,⋯,n)e−12xTR−1xdx1⋯dxJ,(J=1,⋯,n);RJ=(Rmn)∈RJ×J;Rmn=√τmτn(m=1,2,⋯JRmn=τmτn−−−√(m=1,2,⋯J;n=1,2,…J);τJ=ti+J-ti;HJ≡(hi,1,hi,2,…,hi,J-1,hi,J)′∈RJ×1;KJ≡(ki,1,ki,2,…,ki,J-1,ki,J)′∈RJ×1;hi,j={ln(ViV*i+j)+(r-δ+12σ2V)(ti+j-ti)σV√ti+j-ti(j=1,2,⋯,n-i-1)ln(ViΙn)+(r-δ+12σ2V)(tn-ti)σV√tn-ti(j=n-i);ki,j=hi,j-σV√ti+j-ti;V*i+j是ti+j时的执行阈值,满足:Fi+j(Xi+j)=Ii+j。从解的形式可以看出,为了从中得到问题最终的数值解,须计算高维积分ΦJ(J=1,…,n),同时为了求解Xi+j,必须求解非线性的高维嵌套积分函数的根:Fi+j(Xi+j)-Ii+j=0。因此虽然解的一般形式已经给出,但是实际上为了得到问题最终的解仍须耗费巨大的计算资源,尤其对于期数较多的情形,难以保证计算过程的收敛,不易得到问题的数值解。2风险中性测度的仿真结果尽管Lin给出的常波动率多期复合实物期权模型能够反映投资的多期特性,但是其模型的常波动率假设仍是不切实际的。本文通过引入标的资产价值的多期运动过程,来反映标的资产在各阶段具有的不同的风险收益特性。为描述简单起见,假设整个运作过程只有在到期日才产生现金流。到期日之前出现现金流的情形也可以采用同样的方法进行分析,没有本质的区别。同样假设投资决策时间点预先给定,决策只能在每一期的期末做出。在任何决策点,只有当期权的价值高于该时刻投资成本时该期权才会被执行,即进行下一期投资,否则放弃项目。重复此过程直到期末。图中,Vk(k+1)(t)(k=0,…,n-1)表示在第k个阶段内任一时间点t(t∈[tk,tk+1])上标的资产的价值;其他符号意义同前。与Lin所作的常波动率假设不周,下面假设Vk(k+1)(t)服从如下过程:dVk(k+1)/Vk(k+1)=αk(k+1)dt+σk(k+1)dzk(1)其中,αk(k+1)和σk(k+1)分别表示瞬时期望回报率和瞬时期望波动率,dzk表示标准维纳过程,且var(dzk,dzk′)=0(k,k′=0,1,…,n-1;k≠k′)。假定αk(k+1)和σk(k+1)可随k变化,借以描述标的资产价值在不同的阶段所具有的不同的风险收益特征(图2)。假定在任一阶段市场上都存在着对应的均衡交易的“酷似证券”,且与标的资产价值期望收益率之间有收益率亏空δk(k+1):δk(k+1)=r+ρkMλMσk(k+1)-αk(k+1)其中ρkM表示k阶段酷似证券与市场证券组合收益率之间的相关系数。然后依据风险中性定价理论,将(1)变换到风险中性测度下:dVk(k+1)/Vk(k+1)=(r-δk(k+1))dt+σk(k+1)dz由于投资决策时间点预先给定,实际上Fk(Vk(k+1),t)是一个写Vk(k+1)上,到期日为Tk+1=tk+1-tk的一个欧式相机权益。应当说明的是,尽管本模型与Lin的模型很类似,但是由于变参数αk(k+1)和σk(k+1)的引入,通过对终端条件折现逐期回溯的解析求解过程变得异常复杂,难以解的一般形式。本文沿用Dixit和Pindyck的思路,首先由CCA方法导出任一阶段实物期权价值Fk(Vk(k+1),t)(k=0,…,n-1;t∈[tk,tk+1])应当满足的控制方程:∂Fk∂t+12σ2k(k+1)V2k(k+1)∂2Fk∂Vk(k+1)2+(r-δk(k+1))×Vk(k+1)∂Fk∂Vk(k+1)-rFk=0,(k=0,⋯,n-1)(2)由于在多期复合期权中,前后的期权之间有复合的关系,其终端条件和边界条件的提法是互不相同的。首先考虑最后一期,可以看出Fn-1(·)类似于一个写在连续分红股票上的欧式看涨期权,因此其终端条件的提法是:Fn-1(Vn,Τn)=max(Vn-Ιn,0)(3)当标的资产价值为0时,期权的价值也为0,因此下边界条件的提法为:Fn-1(0,t)=0(4)当标的资产价值足够大时,期权可以被认为几乎肯定被执行,因此如果不考虑类似分红因素的影响,期权价值与标的资产价值之间的差异就是最终支付成本的折现。因此上边界条件的提法为:Fn-1(V(n-1)n,t)[V(n-1)n-Ιne-r(Τn-t)]e-δ(n-1)n(Τn-1)→1,当V(n-1)n→+∞.(5)现在往回溯考虑Fk(·)(k=n-2,n-3,…,1,0)的终端条件和边界条件的提法。Fk(·)是写在Vk(k+1)上的欧式相机权益,后一期期权Fk+1(·)对Fk(·)的影响全部反映在其终端条件上:Fk(Vk+1,Τk+1)=max(Fk+1(Vk+1)-Ιk+1,0)(6)复合期权的价值随标的资产价值单调增加,故期权Fk(·)的执行阈值V*k满足方程:Fk(V*k,0)=Ιk.(k=0,1,⋯,n-1).(7)与(4)(5)的提法同理,可以提出Fk+1(·)相应的上下边界条件。下边界条件的提法为:Fk(0.t)=0.(8)上边界条件的提法为:Fk(Vk(k+1),t)[Fk+1(Vk(k+1),0)-Ιk+1e-r(Τk+1-t)]e-δk(k+1)(Τk+1-t)→1,当Vk(k+1)→+∞.(9)由于多期复合期权中期权前后嵌套,后期期权的价值函数进入了前期期权的终端条件,欲得到方程(2)～(9)的封闭形式的解是非常困难的。注意到模型的求解区域是规则的半带状区域(t,Vk(k+1))∈{[tk,tk+1],[0,+∞]},而且边界条件和终端条件都是第一类边界条件,因此采用有限差分方法来求解问题将是非常简单而有效的。3fkzk的差分格式上一节已经给出了变波动率多期复合实物期权的定价控制方程,以及各期期权满足的终端条件和边界条件,本节将详细描述有限差分方法求解过程。首先做变换zk(k+1)=ln(Vk(k+1)),并代入(2)～(9)式,并将(t,zk(k+1)空间划分成均匀网格:Τk+1=ΙΔt,ˉzk(k+1)-[ΖΖ(Ζ]z[ΖΖ)]k(k+1)=JΔzk(k+1).其中,t∈[tk,tk+1];zk(k+1)∈[zk(k+1),ˉzk(k+1)],I,J为网格划分的网格数;ˉzk(k+1)=ln(ˉVk(k+1)),zk(k+1)=ln(Vk(k+1)),ˉVk(k+1)([ΖΖ(Ζ]V[ΖΖ)]k(k+1))是数值计算过程中需要给定的最大(小)标的资产价值,通常取一个很大(小)的正数。计算过程中采用如下的隐式差分格式:∂Fk∂t≈Fi+1k,j-Fik,jΔt;∂Fk∂zk(k+1)≈Fik,j+1-Fik,j-12Δzk(k+1);∂2Fk∂zk(k+1)2≈Fik,j+1-2Fik,j+Fik,j-1Δzk(k+1)2其中,Fik,j≡Fk(zk(k+1)+jΔzk(k+1),iΔt)。将上述差分格式代入方程并忽略高阶项就可以得到差分方程:αFik,j+1+βFik,j+γFik,j-1=Fi+1k,j,(i=0,⋯,Ι-1;j=1,⋯,J-1;k=0,1,⋯,n-1)(10)其中:α≜-σk(k+1)2Δt2Δzk(k+1)2-(r-δk(k+1)-12σk(k+1)2)2Δzk(k+1);β≜σk(k+1)2Δtδzk(k+1)2+rΔt+1;γ≜(r-δk(k+1)-12σk(k+1)2)Δt2Δzk(k+1)-σk(k+1)2Δt2Δzk(k+1)2将(10)式改写成矩阵形式:[βγαβγαβγ⋱⋱⋱αβγαβ](Fik,1Fik,2Fik,3⋰Fik,J-2Fik,J-1)=(Fi+1k,1-αFik,0Fi+1k,2Fik,3⋰Fi+1k,J-2Fi+1k,J-1-Fik,J),(i=0,⋯,Ι-1)(11)终端条件(3)和边界条件(4)(5)变为:FΙn-1,j=max(e[ΖΖ(Ζ]Ζ[ΖΖ)](n-1)n+jΔz(n-1)n-Ιn,0),(j=0,⋯,J)(12)Fin-1,0=0,(i=0,⋯,Ι)(13)Fin-1,J=[eˉz(n-1)n-Ιne-r(Τn-iΔt)]e-δ(n-1)n(Τn-iΔt),(i=0,⋯,Ι)(14)对于k=(n-2,n-3,…,1,0),终端条件(6)变为:FΙk,j=max(F0k+1,j-Ιk+1,0),(j=0,⋯,J)(15)此时可以求得阈值为:V*k=ez*k(k+1)=ezk(k+1)+j*Δzk(k+1)(k=0,1,…,n-1),其中j*使得:F0k,j*=Ιk(16)边界条件(8)(9)变为:Fik,0=0,(i=0,⋯,Ι)(17)Fik,J=F0k+1,Je-δk(k+1)(Τk+1-iΔt)-Ιk+1e-(δk(k+1)+r)(Τk+1-iΔt)‚(i=0,⋯,Ι)(18)这样,将方程组(11)及边界条件(12)～(18)联立就构成了模型的有限差分方法求解方程组,逐期回溯就可以快速的求解出变波动率多期复合实物期权在网格点(t,zk(k+1))上的价值。由于本文所采用的差分格式是隐式差分格式,稳定性和一致性是有保证的,误差随着网格数I和J的增加而逐渐减小。当I和J逐渐增加,有限差分方法的计算结果就会收敛到问题的解。当I和J足够大时可以近似认为本文采用的有限差分方法的解就是变波动率多期复合实物期权的价值。4多期复合实物管理权模型风险投资是一项高风险、高收益的投资活动,在实际运作中通常是以多轮融资的模式进行的。这种模式是与风险投资的高风险高收益特性、投资的不可逆性以及信息不对称的特点相对应的。它赋予了风险投资家更多的柔性来应对研发和经营活动中的不确定性、减少由于信息不对称带来的经营风险、以及对经理人产生更大的激励。多期投资模式是风险投资活动的重要特征之一。正由于风险投资所具有的高收益高风险特征及多期投资模式,传统的基于NPV的评估方法在风险投资定价问题上是不适用的。正如Dixit和Pindyck所说:“…thesimpleNPVruleisnotjustwrong;itisoftenverywrong”。而实物期权(RealOption)方法恰当的反映出了在不确定性环境下投资者所拥有的管理柔性和策略柔性,为投资项目和策略提供了更为合理的评估,已成为了一种强有力的定价工具。多期投资决策问题(或称序列投资决策问题)通常采用一类特殊的实物期权模型——多期复合实物期权模型——来描述。朱东辰等采用多期复合期权模型来评估风险投资中的风险企业价值,但该文仅给出模型,而未能对计算方法和结论进行深入的分析和讨论。风险投资活动一般分为种子阶段、创建阶段、成长阶段、扩张阶段和成熟阶段(图3)。风险企业在每一个阶段的任务和目标不一样,也就决定了每一个阶段的风险企业价值的风险收益特性是有很大差别的。风险企业在初期的任务是新产品的研发,故初始阶段面临的不确定性主要是技术成功和技术完善的不确定性。相对于后期在经营和市场上的不确定性而言,这些不确定性更大,风险企业价值的波动更难以预测。因此直接采用已有的模型来评估风险投资是有缺陷的。本文的分析结论也表明了如果对所有阶段中风险企业的价值运动均采用相同的波动率参数,那么模型会明显低估投资价值,同时高估了期初的执行阈值和低估了后期的执行阈值。因此,风险投资的实物期权模型除了要反映出风险投资项目的多期特性外,应当进一步适当的反映出风险投资在不同阶段所具有的不同风险收益特性。本文提出的变波动率多期复合实物期权模型具有很强的适应性。如果令各阶段的参数相同,即令αi(i+1)=αV及σi(i+1)=σV,那么模型就会退化到常波动率多期复合实物期权模型。下面首先在退化情形下对比本文采用的有限差分方法和Lin采用的解析近似计算方法,然后讨论引入变波动率的意义,最后分析变波动率模型对波动率的敏感性。由于风险投资的阶段一般分为种子阶段、创建阶段、成长阶段、扩张阶段和成熟阶段等五个阶段,因此取阶段数n为5,并假定每一阶段的时间间隔Tk都是1.5年(k=1,2,…,n)。4.1解析近似方法模型计算的其他参数见表1。令αi(i+1)=αV及σi(i+1)=σV。在σV=0.1、σV=0.5、σV=0.9的三种情形下分别采用有限差分方法和Lin所采用的解析定价方法计算的复合实物期权价值及执行阈值。解析近似方法中数值积分的容许误差取为10-5;有限差分方法计算中取I=50,J=200,Vk(k+1)=0.01‚ˉVk(k+1)=10000(k=0,1,⋯,n-1)。期权价值以及执行阈值的计算结果在附录中给出。从结果来看符合得很好,绝对差别约在10-1的量级,相对误差小于3%。同时,在计算速度方面,有限差分算法要比解析近似计算方法快得多,计算时间的对比如图4所示。解析近似方法涉及到1维到n积分的数值计算,且要进行1维到(n-1)维积分函数的求根,非常耗时,计算时间随着期数n的增加迅速增加;而利用有限差分算法则非常快,计算时间随期数n的增加呈线性增加,且一次计算能够得到所有网格点上的价值。4.2模型2:常波动率模型如前所述,在风险投资的实践中前后各阶段的特性是不一样的,如种子期投资的风险就远远大于成熟期,因此用来描述风险投资的模型必须要反映出这种特点。在本小节的讨论中假设变波动率模型中第一期的波动率最大,其后依次递减:σ01=0.9,σ12=0.5,σ23=0.3,σ34=0.2,σ45=0.1,并采用常波动率模型作为参照。由于常波动率模型不允许波动率上的波动,故选取一个平均波动率(σV=0.4)来进行对比。其他的参数设置同上小节。计算结果如图5所示,可以发现常波动率模型显著低估了这个多期复合实物期权的内在价值。执行阀值的计算结果见表2。可以发现,如果对所有阶段的风险企业价值运动过程均采取相同波动率参数,则在期初(种子期和创建期)会高估了执行的阈值,人为设置了进入障碍,白白浪费投资机会;而在后期(成长期、扩张期和成熟期)则又放低了执行阈值,带来了过大的投资风险。因此常波动率模型在实际运用中是有缺陷的,而引入变波动率恰恰能够弥补这个缺陷。4.3波动率对复合实物内部长期股权价值的影响Lin在常波动率多期复合实物期权模型中,发现当标的风险企业的价值较小的时候价值随着波动率的增加而增加,而当风险企业价值较大的时候却随着波动率的增加而减少。这个现象与金融期权理论的结论是不同的。在本文提出的变波动率多期复合实物期权模型中,我们也发现了类似的现象。考虑一下三种情形。情形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的波动率依次上浮0.1。●情形Ⅰ:σ01=0.6,σ12=0.5,σ23=0.3,σ34=0.2,σ45=0.1;●情形Ⅱ:σ01=0.7,σ12=0.6,σ23=0.4,σ34=0.3,σ45=0.2;●情形Ⅲ:σ01=0.8,σ12=0.7,σ23=0.5,σ34=0.4,σ45=0.3。三种情形下复合实物期权价值的数值计算结果变化如图6所示。从计算结果可以发现,当标的风险企业价值较小的时候,复合实物期权的价