直线和圆的位置关系第三课时

24.2.2直线和圆的位置关系〔第三课时〕1.BA1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？2、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数.50°130°复习回忆2.

OABP思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，那么∠OAP=90°,连接OP，可知A、B除了在⊙O上，还在怎样的圆上?.探究新知3.··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线如图，⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称探究新知4.切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，把线段PA，PB的长叫做点P到⊙O的切线长.O·PABO5.切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？OPAB切线是一条与圆相切的直线;2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.切线和切线长的区别：6.

OABP观察与思考①PA、PB有怎样的数量关系？②OP与∠APB又有怎样的关系？PA=PB∠OPA=∠OPB7.请证明你所发现的结论.APOB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点

∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB：如图，PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB

∠OPA=∠OPB8.∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB,OP平分∠APB.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:切线长定理。PBAO9.探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.BAPOCE(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PBAB⊥OP(2)写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCD切线长定理的辨析10.△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP(4)写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB(3)写出图中所有的全等三角形(5)还有哪些等量关系？BAPOCED11.反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建根本图形.与圆的切线相关的添加辅助线的方法：(1)分别连结圆心和切点(2)连结两切点(3)连结圆心和圆外一点BAPOCED

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。12.(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.例1：，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.〔1〕写出图中所有的垂直关系；〔2〕写出图中所有的全等三角形.〔3〕如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(3)设OA=xcm,那么PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半径OA的长为3cm.例题解析13.例2：如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：AC∥OPD证明：连接AB交OP于D∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA＝PB，∠1＝∠2(切线长定理〕12∴OD⊥PB，∠ADP＝90°(？〕∵BC是⊙O直径，∴∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠ADP∴AC∥OP.(？〕14.如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.探究新知15.．o外心〔外接圆圆心〕：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内心〔内切圆圆心〕：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC16.例3：△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.【解析】设AF=x(cm),那么AE=x(cm)∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cmBD=BF=AB-AF=(9-x)cm由BD+CD=BC可得

(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).例题解析17.例4：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CD证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BCDLMNABCOP补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．例题解析18.切线的6个性质：〔1〕切线和圆只有一个公共点；〔2〕切线和圆心的距离等于圆的半径；〔3〕切线垂直于过切点的半径；〔4〕经过圆心垂直于切线的直线必过切点；〔5〕经过切点垂直于切线的直线必过圆心；〔6〕切线长定理.通过本课时的学习，需要我们掌握：谈谈你的收获课堂小结19.检测反响题一1.:△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O是内心，求∠BOC的度数。2.圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点