逻辑学判定三段论有效性

三段论（论证形式）有效性判定

引入三段论的背景2.什么是三段论3.五规则法判定三段论有效性4.文恩图法判定三段论有效性5.课堂练习2021/5/912021/5/921.引入三段论的背景 针对以原子命题（符号）为最小组成单位的论证形式，我们学习了真值表方法、归谬赋值法和命题自然演绎法，这些方法都是值得信赖的。然而，这些方法却不是“全能的”。针对另外一些论证，用这些方法，我们无法判定其有效性。请看：2021/5/93

所有中国人都希望中国强大 所有华中大学生是中国人 所以，所有华中大学生希望中国强大 不难看出，这个论证是有效的。若前提为真，则结论必真。但是，若用前面的翻译方法，该论证只能翻译为：2021/5/94pq所以，r根据真值表或归谬赋值法，不难判定该论证形式是无效的。此时，我们需找出该论证更精细的结构。前面学习的关于性质命题的知识，给我们提供了这样的资源。逻辑学家将上述论证翻译为：2021/5/95所有M是P所有S是M所以，所有S是P具有类似这种形式的论证被称作三段论。我们将学习如何判定三段论的有效性。有了这些知识之后，我们会知道，上面论证形式是有效的。具有这种形式的所有论证都是有效的。2021/5/962.什么是三段论 （1）所有中国人都希望中国强大 （2）所有华中大学生是中国人 所以，（3）所有华中大学生希望中国强大三段论论证是以包含一个共同项的两个性质命题为前提，以一个新的性质命题为结论的论证。三段论论证简称为三段论。任何一个三段论都由三个性质命题组成，其中两个是前提，一个是结论。任何一个三段论都有而且仅有三个词项，每个词项在三个命题中重复出现一次。2021/5/97 （1）所有中国人都希望中国强大 （2）所有华中大学生是中国人 所以，（3）所有华中大学生希望中国强大在结论中做主项的词项叫【小项】，通常用S表示。在结论中做谓项的词项叫【大项】，通常用P表示。只在两个前提中出现的共同项叫【中项】，通常用M表示。中项在前提中起桥接作用，把小项和大项桥接起来。三段论中，包含中项和大项的命题叫大前提。包含小项和中项的命题叫小前提。包含小项和大项的命题叫结论。2021/5/98我们将学习如何判断三段论（论证形式）的有效性。主要有两种方法：五规则法和文恩图法。五规则法牵涉步骤较多，相比较而言，文恩图法相对更快捷，也更具操作性（当然，值得一提的是，许多时候，用五规则法判断一个三段论（论证形式）无效却是非常迅速的）。我们将先介绍五规则法，然后集中介绍文恩图法。2021/5/993.五规则法判定三段论有效性 一个三段论是有效的，当且仅当，它遵守下面五条规则（该结果证明书上没有）： 规则一：中项在前提中至少周延一次 规则二：前提中不周延的项在结论中也不得周延。 规则三：两个否定前提推不出结论。 规则四：两个前提中有一个是否定的，则结论是否定的。 规则五：如果结论是否定的，则必有一个前提是否定的。2021/5/910√ 规则一：中项在前提中至少周延一次√ 规则二：前提中不周延的项在结论中也不得周延√

规则三：两个否定前提推不出结论√ 规则四：两个前提中有一个是否定的，则结论是否定的√ 规则五：如果结论是否定的，则必有一个前提是否定的√MAPSAM所以，SAP（1）所有中国人都希望中国强大 （2）所有华中大学生是中国人 所以，（3）所有华中大学生希望中国强大2021/5/911X 规则一：中项在前提中至少周延一次√ 规则二：前提中不周延的项在结论中也不得周延X

规则三：两个否定前提推不出结论√ 规则四：两个前提中有一个是否定的，则结论是否定的√ 规则五：如果结论是否定的，则必有一个前提是否定的√MAPSOM所以，SOP（1）所有中国人都希望中国强大 （2）有的哈佛大学学生不是中国人 所以，（3）有的哈佛大学学生不希望中国强大2021/5/912√ 规则一：中项在前提中至少周延一次√ 规则二：前提中不周延的项在结论中也不得周延√

规则三：两个否定前提推不出结论√ 规则四：两个前提中有一个是否定的，则结论是否定的√ 规则五：如果结论是否定的，则必有一个前提是否定的√MASMIP所以，SIP（1）所有中国人都希望中国强大 （2）有的中国人是软弱的 所以，（3）有的希望中国强大的（人）是软弱的2021/5/913上述五个规则，对于判定三段论的有效性来说，既是必要的，又是充分的。也就是说，遵守了这五条规则，三段论就是有效的。若违反了其中任何一条规则，三段论就不是有效的。这样，我们获得了第一种判定三段论论证形式有效与否的方法：逐个规则检查，看看是否一个三段论形式都遵守，若遵守，则有效，若不遵守，则无效。2021/5/914 通过上面五个规则，可得出下面两个导出规则：

规则六：从两个特称的前提不能得出结论 规则七：如果有一个前提是特称的，则只能得出特称的结论。

注：因为上面五个规则对于判定三段论有效性而言是充分必要条件，这两个导出规则并无实质作用。实际上，两条导出的规则更多用来快速方便地地判断一个三段论论证形式的无效，值得说明的是，不用两个导出规则同样可判定。基于此，我们不着重分析这两个导出规则。2021/5/9154.文恩图法判定三段论有效性文恩图法是判断三段论（论证形式）有效与否更加快捷和直观的方法。这种方法基于前面我们对性质命题的“意义”（即为真条件）的理解，背后的想法是，若前提的“意义”包含结论的“意义”，那么，是有效的，否则是无效的。主要思路是：准确地画出两个前提的文恩图，然后，观察图形，看看“结论的意义”（为真条件）是否已经出现在图形中。（here）2021/5/916主要步骤如下：（1）先把三段论的前提和结论表示为集合演算的公式（2）然后根据前提对应的公式画出文恩图（3）观察图形看看是否结论对应公式的文恩图已经出现在图形中，若是，则有效，若不是，则无效。简言之，三个步骤：解释（为真条件）、画图、判定。2021/5/917回顾：性质命题的意义S∩P¯=0（所有S是P）S∩P=0（所有S不是P）S∩P≠0（有的S是P）S∩P¯≠0（有的S不是P）2021/5/918文恩图法判断三段论有效性实例例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P

2021/5/919例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P

第一步：解释（为真条件）2021/5/920例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P

第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=02021/5/921例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：画图

第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=02021/5/922例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=02021/5/923例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=02021/5/924例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=02021/5/925例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=0第三步：观察判定2021/5/926例1：所有M是P所有S是M所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M¯=0S∩P¯=0第三步：观察判定

S和P¯相交的部分为横线，即为空。S∩P¯=0成立。因此，该三段论形式有效。2021/5/927例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P2021/5/928例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第一步：解释（为真条件）2021/5/929例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=02021/5/930例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：画图第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=02021/5/931例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=02021/5/932例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=02021/5/933例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=02021/5/934例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=0第三步：观察判定

2021/5/935例2：

所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M¯=0S∩P=0第三步：观察判定

S和P相交的部分为横线，即为空。S∩P=0成立。因此，该三段论形式有效。2021/5/936例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P

2021/5/937例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第一步：解释（为真条件）

2021/5/938例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0

2021/5/939例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：画图第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0

2021/5/940例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0

2021/5/941例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0

2021/5/942例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0

2021/5/943例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0第三步：观察判定

2021/5/944例3：所有M是P所有M是S所以，所有S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P¯=0第三步：观察判定

S和P¯相交的部分并非都是为横线，也就是说，未必为空。就是说，S∩P¯=0未必成立。该三段论形式无效。2021/5/945例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P2021/5/946例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第一步：解释（为真条件）2021/5/947例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠02021/5/948例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：画图第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠02021/5/949例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠02021/5/950例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠02021/5/951例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠02021/5/952例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠0第三步：观察判定2021/5/953例4：所有M是P所有M是S所以，有的S是P第二步：画图

M

PS第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0M∩S¯=0S∩P≠0第三步：观察判定

S和P相交的部分并未出现+，即未必非空。就是说，S∩P≠0未必成立。该三段论形式无效。2021/5/954例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P2021/5/955例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第一步：解释（为真条件）2021/5/956例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/957例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：画图第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/958例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：画图

M

P

S第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/959例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：画图

M

P

S第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/960例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：画图

M

P+

S第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠02021/5/961例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：画图

M

P

+S第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠0第三步：观察判定2021/5/962例5：所有M是P有的S是M所以，有的S是P第二步：画图

M

P

+S第一步：解释（为真条件）M∩P¯=0S∩M≠0S∩P≠0第三步：观察判定

S和P相交的部分出现+，即非空。就是说，S∩P≠0成立。该三段论形式有效。2021/5/963例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P

2021/5/964例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第一步：解释（为真条件）

2021/5/965例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M≠0S∩P¯≠0

2021/5/966例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第二步：画图第一步：解释（为真条件）M∩P=0S∩M≠0S∩P¯≠0

2021/5/967例6：所有M不是P有的S是M所以，有的S不是P第二步：画图

M

P

S第一