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文档简介
11.8函数的连续性与间断点1.8.1函数的连续性1.8.2函数的间断点21.8.1
函数的连续性1.函数在一点的连续的定义
定义1.8.1
设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,如果当自变量的增量
x=x-x0趋于零时,对应的函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零,即那么就称函数y=f(x)在x0点处连续。
对该定义进行分析,可得与此等价的另外一种定义:3
定义1.8.2
设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,如果那么就称函数y=f(x)在x0点处连续。
也可用“-”语言来描述连续的定义:函数f(x)在x0点处连续
>0,>0,使得当x-x0<时,恒有
f(x)-f(x0)<
4定义若,则称f(x)在x0处左连续;若,则称f(x)在x0处左连续;
定理1.8.1
f(x)在x0点处连续的充要条件是f(x)在x0点处既左连续又右连续。52.函数在区间上的连续性
定义1.8.3
若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点处都连续,则称它在开区间(a,b)内连续;若函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在区间端点a处右连续,在b处左连续,则称它在闭区间[a,b]上连续。
函数f(x)在区间I
上连续,可记为f(x)
C(I)。比如f(x)
C[a,b],表示f(x)在闭区间[a,b]上连续。连续函数的图形是一条连续的曲线。6证71.8.2
函数的间断点1.间断点的定义
定义1.8.4
若函数f(x)在x0点处不连续,则称x0为函数f(x)的间断点。注由定义1.8.1知,函数f(x)在x0点处连续,需满足以下条件:82.间断点的分类定义1.8.5
设点x0是函数f(x)的间断点,(1)如果f-(x0)与f+(x0)都存在,则称点x0是函数f(x)的第一类间断点;
(2)凡不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点。下面举例说明:9
解函数在x=2没定义,故在x=2不连续,但
若我们补充函数在x=2处的定义为f(2)=4,它便成为一个连续函数了。
像这样的间断点我们称其为可去间断点。10解
左右极限都存在但不相等,故极限不存在,所以x=0是函数的间断点。
从图形上来看,函数在此处发生了跳跃,我们称之为跳跃间断点。1112解
所以是函数y=tanx的间断点,称为无穷间断点。x0都称为无穷间断点。13振荡间断点。14小结间断点分类第一类间断点(特征:左右极限都存在)可去间断点(左右极限相等)跳跃间断点(左右极限不相等)第二类间断点(特征:左右极限至少有一个不存在)无穷间断点(无穷大)振荡间断点(函数值在该点任一邻域内振荡)
151617(2)分段
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