定点加法减法运算(共10张PPT)

2.2定点加法减法运算负数用补码表示后，可以和正数一样来处理。这样，运算器里只需要一个

加法器就可以了，不必为了负数的加法运算，再配一个减法器。补码加法的公式是[x]补+[y]

补=[x+y]

补

(mod

2)

(2.17)现分四种情况来证明。假设采用定点小数表示，因此证明的先决条件是I

x|

<1,|y|<1,|

x+y|<1。(1)x>0,y>0,

则

x+y>0。相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码和原码是一样的，

可得：[x]补+[y]补=

x+y=[x+y]

补

(mod

2)(2)x>0,y<0,

则

x+y>0

或

x+y<0。相加的两数一个为正，

一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义，[x]

补=

X,

[y]

补=2+y[x]补+[y]补=x+2+y=2+(x+y)当x+y>0

时，2+

(x+y)>2,

进位2必丢失，又因(

x+y)>0,故

[x]

补+[y]=

x+y=[x+y]补

(mod

2)当x+y<0

时，2+

(x+y)<2,

又因(x+y)<0,故

[x]

补+[y]=2+(x+y)=[x+y]

补

(mod

2)(3)x<0,y>0,

则

x+y>0

或

x+y<0。这种情况和第2种情况一样，把

x

和y

的位置对调即得证。

(4)x<0,y<0,

则

x+y<0。相加两数都是负数，则其和也一定是负数。[x]

补=2+

x,

[y]

补=2+

y[x]

补

+[y]

补

=

2

+

x+2+y=2+(2+x+y)上式右边分为”2”和(2+

x+y)

两部分.既然(x+y)

是负数，而其绝对值又小于1,那么(2+

x+y)

就一定是小于2而大于1的数，进位”2”必丢失.又因

(x+y)<0,

所以[x]

补

+[y]

补=2+(x+y)=[x+y]

补

(mod

2)至此我们证明了，在模2意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补

码.这是补码加法的理论基础，其结论也适用于定点整数[x+y]

补

0.1110所

以

x+

y=+0.

1110[例9]

x=+0.

1011,y=-0.0101,

求

x+y[解：]

[x]

补=0.

1011,

[y]

补=1.1011[x]

补

0.1011

补

1.1011J

补

10.0110所以

x+y=0.0110由以上两例看到，补码加法的特点：一是符号位要作为

数

的一部

分一起

参加运算，二是要在模2

的

意义下相加，即

超

过2的进位要丢掉。[例8]

x=0.

1001,y=0.0101,

求

x+y。[解：]

[x]

补=0.

1001,[y]

补=0

.0101[x]

补

0.1001+[y]

0.0101负数的减法运算也要设法化为加法来做，其所以使用这种方

法而不使用直接减法，是因为它可以和常规的加法运算使用同

一加法器电路，从而简化了计算机的设计。数用补码表示时，减法运算的公式为[x-y]

补

=[x]

补-[y]

补=[x]

补+[-

y]

补

(2.18)只要证明[-

y]

补

=

-[y],

上式即得证。现证明如下：[x+y]

补=[x]

补+[y]

补

(mod

2)[y]

补

=

[x+y]-

[x]

补

(2.19a)[x-y]

补

=[x+

(

一

y)]

补

=[x]

补

+

[

—

y]

补[-y]

补

=[x—y]

补-[x]

补

(2.19

b)将式(2.19a)与(2.19b)相加，得[-y]

补+[y]

补=[x+y]

补+[x-y]

补—[x]

补-[x]

补=[x+y+x-y]

补-[x]补—[x]

补=[x+x]

补

-[x]

补

-[x]

补

=

0故

[-

y]

补

=

-[y]

补

(mod

2)

(2.20)从[y]

补求[-

y]

补的法则是：对

[y]

补包括符号位“求反且最末位加1”,即可得到[-y]

补。写成运算表达

式

，

则

为

[

-

y]

补

=

—[y]

补+2

-n

(2.21)[例10]已知x₁=-0.1110,x₂=+0.1101,求：[x₁

]

补，[-x₁

]补，[x₂

]

补，[一x₂

]补。[解：][x₁

]

补=1.0010[-x₁

]

补=-[x₁

]

补+2-⁴=0.1101+0.0001=0.1110[x₂

]

补=0.1101[-x₂

]

补=-[x₂

]+2-⁴=1.0010+0.0001=1.0011[例11]

x=+0.1101,y=+0.0110,

求x-y。[解：]

[x]

补=0.1101

[y]

补=0.0110,

[-

y]补=1.1010[x]补

0.1101十[一y]补

1.1010[x—y]

补

10.0111所以

x-y=+0.0111[例12]

x=+0.

1011,y=+0.

1001,

求x+y。[解：]

[x]补=0.1011

[y]补=0.1001[x]补

0.1011十[y]补

0.1001[x+y]

补

1.0100两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。[例13]

x=-0.

1101,y=-0.

1011,

求x+y。[解：]

[x]补=1.0011

[y]

补=1.0101[

x]补

1.0011[y]

1.0101在定点小数机器中，数的表示范围为

|x

|<1.

在运算过程中如出现大

于1的现象，称为“溢出”。在定点机中，正常情况下溢出是不允

许的。[x+y]

补

0.1000两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。之所以发生错误，是因为运算结果产生了溢出。两个正数相

加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。而两

个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下

溢。为了判断"溢出"是否发生，可采用两种检测的方法。第一种方法是采用双符号位法，这称为"变形补码"或“模4补码”,从而可使模2补码所能表示的数的范围扩大一倍。变形补码定义为下式也同样成立：[x]

补+

[y]

补=[x+y]

补

(mod

4)或用同余式表示为[x]

补

=

4

+

x(mod

4)(2.22)为了得到两数变形补码之和等于两数之和的变形补码，同样必须：1.两个符号位都看作数码一样参加运算2.

两数进行以4位模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。采用变形补码后，如果两个数相加后，其结果的符号位出现“01”或

“10”两种组合时，表示发生溢出。这是因为两个绝对值小于1的数相加，

其结果不会大于或等于2,所以最高符号位永远表示结果的正确符号。例14:x=+0.

1100,y=+0.

1000,

求

x+y。[解：]

[x]=00.1100,[y]

补=00.100000.1100

00.100001.0100两个符号位出现“01”,表示已溢出，即结果大于+1。[例15]

x=-0.1100,y=-0.1000,

求x+y。[解：]

[x]补=11.0100,

[y]

补=11.1000[x]

补

11.0100

11.100010.1100两个符号位出现“10”,表示已溢出，即结果小于-1。由此可以得出如下结论：1.

当以模4补码运算，运算结果的二符号位相异时，表示溢出；相

同时，表示未溢出。故溢出逻辑表达式为

V=SSp,

其中S和Sp

分别为最高符号位和第二符号位。此逻辑表达式可用异或门

实现。2.

模4补码相加的结果，不论溢