微积分(刘迎东)第十章习题答案

./10.1第一型曲线积分习题10.1设在面有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为。用第一型曲线积分分别表达这曲线弧对轴、对轴的转动惯量解：这曲线弧的质心坐标解：计算下列第一型曲线积分：〔1其中为圆周解：〔2其中为连接及两点的直线段。解：〔3其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界。解：〔4其中为圆周,直线及轴在第一象限所围成的扇形的整个边界。解：〔5其中为曲线上相应于从变到的这段弧。解：〔6其中为折线,此处依次为点解：所以<7>其中为摆线的一拱解：〔8其中为曲线解：<9>其中为曲线解：<10>其中为圆周解：<11>其中为由三点所连接的闭折线。解：〔12其中为螺旋线解：〔13其中为抛物线自点到点的一段；解：〔14其中为摆线的弧；解：〔15其中为圆周解：求半径为的半圆形金属丝〔设线密度为常数对位于圆心的质点〔设质量为的引力。解：设圆心为原点,金属丝占据上半圆周。则求物质曲线的质量,其线密度解：求半径为,中心角为的均匀圆弧〔线密度的质心。解：设圆心在原点,关于轴对称,则；设螺旋形弹簧一圈的方程为其中,它的线密度。求它关于轴的转动惯量它的质心。解：〔1〔210.2第二型曲线积分习题10.2设为面直线上的一段。证明：证明：设则设为面轴上从点到点的一段直线。证明：证明：则计算下列第二型曲线积分：〔1其中为抛物线上从点到点的一段弧；解：〔2其中为圆周及轴所围成的在第一象限的区域的整个边界〔按逆时针方向绕行；解：圆周的参数方程为所以〔3其中为圆周上对应从到的一段弧；解：〔4其中为圆周〔按逆时针方向绕行；解：〔5其中为曲线上对应从到的一段弧；解：<6>其中为从点到点的一段直线；解：〔7其中为有向闭折线,此处依次为点解：〔8其中为抛物线上从点到点的一段弧；解：〔9其中为沿逆时针一周；解：<10>其中为如图10.8由点到点的四条不同的路径；解：〔11其中为如图10.9的三角形；解：〔12其中为用平面截球面所得的截痕,从轴的正向看去,沿逆时针方向；解：〔13其中为曲线上由到的一段弧；解：计算其中为由点到点的下列四条不同路径：直线解：抛物线解：抛物线解：立方抛物线解：计算其中分别为下列两种情形：连接的直线段。解：连接的折线段。解：计算其中分别为下列两种情形：〔1连接的直线段。解：〔2连接的折线段。解：计算其中为以为顶点的正方形闭路。解：计算其中为星形线在第一象限中自点到的一段。解：计算其中为依参数增加方向进行的曲线：解：计算其中,分别为下列两种情形：〔1自到的直线段；〔2由直到的折线段。解：<1><2>计算其中为球面在第一卦限部分的边界线由点至再至的一段。解：弹性力的方向向着坐标原点,力的大小与质点到坐标原点的距离成正比。设质点在力作用下沿椭圆依逆时针方向运动一周,求弹性力做的功。解：计算其中为圆周其方向为从轴正向看去,这圆周是沿逆时针方向进行的。解：设在光滑曲线上连续。试证下面的估计式：其中为积分路径的长度,证明：计算其中分别为抛物线上从点到点的一段弧；解：从点到点的直线段；解：先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线；解：曲线上从点到点的一段弧；解：一力场由沿横轴正方向的恒力所构成。试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功。解：设轴与重力的方向一致,求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所做的功。解：,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中为在面沿直线从点到点；解：沿抛物线从点到点；解：沿上半圆周从点到点；解：设为曲线上相应于从变到的曲线弧。把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。解：切向量为,单位化为所以10.3格林公式及其应用习题10.3计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性：〔1其中为由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线；解：〔2其中为由四个顶点分别为和的正方形区域的正向边界；解：利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积：星形线椭圆圆椭圆双纽线计算曲线积分其中为圆周的方向为逆时针方向。解：,所以取则有计算下列曲线积分：〔1其中为摆线上对应从到的一段弧。解：设直线段,则〔2其中为上半圆周沿逆时针方向。解：设直线段,则证明下列曲线积分在整个面与路径无关,并计算积分值：〔1解：易得,所以曲线积分在整个面与路径无关,<2>解：易得,所以曲线积分在整个面与路径无关,〔3解：易得,所以曲线积分在整个面与路径无关,利用格林公式,计算下列曲线积分：〔1其中为三顶点分别为和的三角形正向边界；解：<2>其中为正向星形线解：<3>其中为在抛物线上由点到的一段弧；解：记〔4其中为在圆周上由点到点的一段弧；解：记<5>其中为椭圆解：<6>其中为圆周解：<7>其中为的边界,其中解：〔8其中为区域与的边界；解：<9>其中为区域与的边界；解：<10>其中为由点经至的上半圆周解：令,则设一变力为这变力确定了一个力场。证明质点在此场移动时,场力所做的功与路径无关。证明：易得所以结论成立。计算曲线积分其中,,为任意的逐段光滑的曲线。解：易得,所以设是以逐段光滑曲线为边界的平面有界闭区域,在上有连续的偏导数,则有关系式其中为曲线的外法向量的方向余弦。此公式是格林公式的另一种形式。证明：设正方向切向量为,则,于是曲线积分是否与路径无关？若与路径无关,求其原函数。并计算由点到的曲线上的积分。解：易得所以积分与路径无关。设为封闭曲线,为任一固定的方向,则有其中为的外法线单位法向量。证明：设,则计算曲线积分其中为封闭曲线,为它的外法线方向。解：为曲线包围的面积。证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数。证明：易得结论成立。设在半平面有力构成力场,其中为常数,。证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。证明：,所以结论成立。设函数在具有一阶连续导数,是上半平面的有向分段光滑曲线,其起点为,终点为。记证明曲线积分与路径无关；当时,求的值。证明：设则,所以曲线积分与路径无关；〔216.验证下列在整个平面是某一函数的全微分,并求这样的一个：〔1解：。〔2解：〔3解：〔4解：〔5解：17.设有一变力在坐标轴上的投影为这变力确定了一个力场。证明质点在此场移动时,场力所做的功与路径无关。证明：所以结论成立。18.判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程,求出它的通解：〔1解：〔2为常数。解：〔3解：〔4解：〔5解：<6>解：不是全微分方程。〔7解：。<8>解：不是全微分方程。19.确定常数,使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求。解：可解得由积分得再由得所以20.设在闭区域上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线为的正向边界曲线。证明：〔1其中为的外法向的方向导数。〔2〔3<4>其中其中分别为沿的外法线向量的方向导数,符号称作二维拉普拉斯算子。证明:〔1〔2,所以〔3相减即得〔421.设在有界闭区域上调和,即且在上满足拉普拉斯方程。证明<1>其中为的边界,为的外法线方向；〔2若在上取值为零,则在上恒为零。证明：〔1〔2所以,为常数,又因为边界上为零,所以在上恒为零。10.4第一型曲面积分习题10.4设有一分布着质量的曲面,在点处它的面密度为,用第一型曲面积分表示这曲面对于轴的转动惯量。解：计算曲面积分其中为抛物面在面上方的部分,分别如下：〔1解：<2>解：<3>解：计算其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；解：锥面被平面和所截得的部分；解：计算下列对面积的曲面积分：〔1其中为平面在第一卦限中的部分；解：〔2其中为平面在第一卦限中的部分；解：〔3其中为球面上的部分；解：〔4其中为界于平面及之间的圆柱面解：另一解法：〔5其中为由平面及三个坐标平面所围成四面体的整个边界。解：求抛物面壳的质量,此壳的面密度为。解：求面密度为的均匀半球壳关于轴的转动惯量。求均匀曲面的质心的坐标。解：计算其中为螺旋面解：所以计算其中为圆锥表面的一部分,其中为常数解：所以求一段均匀圆柱面与对原点处单位质量的引力〔面密度。解：10.5第二型曲面积分习题10.5设流体速度场为常数,一半径为的球面球心在原点。求流体从球面部流出的流量。解：设流体速度场求单位时间流过曲面其中的流量,曲面的法向量与轴的夹角为钝角〔图10.28。解：设向量场求,其中由和组成〔图10.29,为侧的单位法向量。解：同3题,设向量场求其中由和组成,为侧的单位法向量。解：计算下列第二型曲面积分：〔1其中为球面的下半部分的下侧；解：〔2其中为柱面被平面及所截得的在第一卦限的部分的前侧；解：〔3其中为连续函数,为平面在第四卦限部分的上侧；解：〔4其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；解：〔5其中为曲面的下侧；解：〔6其中,为球面的外侧；解：〔7其中为球面的外侧；解：〔8其中为锥面及平面所围立体的整个边界之外侧；解：<9>其中为椭球面的外侧；解：由轮换对称性,得<10>其中为柱面被平面及所截部分的外侧；解：〔11其中为圆锥面的外表面；解：〔12其中为的上半球面被柱面所截下部分的上侧；解：<13>其中为螺旋面的上侧；解：于是把第二型曲面积分化成第一型曲面积分,其中〔1为平面在第一卦限的部分的上侧；解：法向量为单位化为,所以〔2为抛物面在面上方的部分的上侧；解：法向量为单位化为,所以10.6高斯公式通量与散度习题10.6利用高斯公式计算曲面积分：〔1其中为平面所围成的立体的表面的外侧；解：〔2其中为球面的外侧；解：〔3其中为上半球体的表面的外侧；解：〔4其中为介于和之间的圆柱体的整个表面的外侧；解：〔5其中为平面所围成的立方体的全表面的外侧；解：〔6其中为由柱面与平面所围立体边界的外侧；解：〔7其中为锥面与部分的外侧,为侧的单位法向量；解：令,取上侧,则〔8其中为椭球面的外侧；解：,作变换得计算下列曲面积分：〔1其中为锥面的外侧；解：设取上侧,则<2>其中为半球面的上侧；解：设取下侧,则〔3其中为球面的外侧；解：设取左侧,取后侧,则设是常向量,为任意的逐块光滑闭曲面的外侧,为侧的单位法向量。证明证明：设,则计算其中,为球面外侧单位法向量。解：计算其中为闭曲面外侧单位法向量,闭曲面为下面三种情形：〔1解：〔2解：令取侧。则〔3不包含原点的闭曲面。设是三维调和函数,即满足且有二阶连续的偏导数。证明〔1其中,为的外法向方向导数；证明：<2>若在边界面上恒为零,则在区域上恒为零〔为的边界面。证明：所以,为常值函数,而其在边界上为零,所以在整个区域上为零。求下列向量穿过曲面流向指定侧的通量：〔1其中为圆柱的全表面,流向外侧；解：〔2其中为立方体的全表面,流向外侧；解：〔3其中为以点为球心,半径的球面,流向外侧；解：〔4其中为闭区域的边界曲面,流向外侧。解：求下列向量场的散度：〔1解：〔2解：〔3解：设是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,依次表示沿的外法线方向的方向导数。证明其中为空间闭区域的整个边界曲面。这个公式叫做格林第二公式。证明：所以利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力〔即浮力的方向铅直向上,其大小等于这物体所排开的液体的重力。证明：建立坐标系,使液面为平面,轴竖直向上。设物体表面法向量为则这就是阿基米德原理。10.7斯托克斯公式环流量与旋度习题10.7利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分：〔1其中为圆周若从轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向；解：令为以圆周为边界的圆盘,则〔2其中为椭圆若从轴正向看去,这椭圆是取逆时针方向；解：令为以椭圆为边界的平面区域,则<3>其中为圆周若从轴正向看去,此圆周是取逆时针方向；解：令为以圆周为边界的圆盘,则<4>其中为圆周若从轴正向看去,此圆周是取逆时针方向；解：令为以圆周为边界的圆盘,则求下列向量场的旋度：〔1解：〔2解：〔3解：