第15章 住房的合理定价

Matlab数学建模案例分析住房的合理定价2021/5/91第十五章Matlab数学建模案例分析二十一世纪，房价问题一直备受关注，受多方面因素影响，房价一直处于持续的上升阶段，导致很多收入低的人群，无法购房，然而有钱的人，则购买好几套房子，因此合理的房价模型显得尤为重要，能够综合的评定该阶段房价的合理值，从而更加好的稳固经济发展。本章主要研究该地区人均GDP与房价的关系，然后建立该地区历年的平均房价预测模型，对该地区房价有一定的建议作用。本文开始根据历年住房的平均价格建立了房价与时间的函数关系，由此预测了2010的房价。之后根据各组数据分别建立了两个模型并讨论了房价与GDP的关系。最后根据题目的要求，在基本假设及多个条件的约束下建立了2010房价的最优化模型。问题一中，我们先依据直观的散点图确定了要使用的函数，并根据最小二乘法的思想使用MATLAB中的统计工具箱拟合出了房价关于时间的函数。然后计算了函数与现实房价的误差，并对误差进行了矩估计和区间估计，得出了它的Gauss分布函数。最后预测了2010年的房价可能的区间。2021/5/92第十五章Matlab数学建模案例分析问题二中，由于GDP和房价之间的关系不易确定，即我们无法直接断定究竟GDP是房价的函数还是房价是GDP的函数。因此我们对应两种假设分别建立了两个模型，同样利用统计工具箱进行多变量非线性拟合，并得出各自的函数关系，最后以误差的大小决定模型的优劣。问题三中，考虑到人的收入是不一样的，相对富有的人群可能会购买多于一套的住房，而经济条件差的人群可能一套也购买不起。基于这个原因，我们将所谓的“平均房价”分为了两部分，一部分是购买第一套住房的价格；另一部分是购买多于一套住房的价格，这样就建立起了一个相对“不平等”的房价模型。这样做的好处是，它可以既基本维持总体平均房价（即保障了国家的税收和房地产商的收入），又减轻了中低收入人群购房的压力。最后我们得到了一个非线性最优化模型，使用LINGO软件很容易求解。2021/5/93第十五章Matlab数学建模案例分析15.2问题提出民以食为天，民以安居为乐。目前国内的房地产业面临前所未有的困境，原因在于房价太高，而需房者收入太低。2010年3月5日，温家宝总理在第十一届人大三次会上作的政府工作报告上讲,在2010年要“促进房地产市场平稳健康发展。要坚决遏制部分城市房价过快上涨势头，满足人民群众的基本住房需求”。所以如何使得百姓买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱性产业得以健康地发展是放在我们面前的一大难题。请根据以上数据完成下列三个问题：（1）根据该地区历年的平均房价建立模型预测2010年的平均房价。（2）研究该地区人均GDP与房价的关系。（3）试建立2010年该地区的合理房价模型使得百姓、房地产商、政府都比较满意（如果你的模型需要，你可以在网上查阅并使用有关的数据）。2021/5/94第十五章Matlab数学建模案例分析表15-1某地区各年的平均房价、人均GDP、职工平均年收入等数据时间：年平均房价：元/平米人均GDP：元平均年收入：元1997767354051561998895378351381999995391665262000111742397434200112614922847520021437556096882003164063991070320041957784211384200522449116123432006248910879136302007280113475155582008309616737184722009350018745198202021/5/95第十五章Matlab数学建模案例分析15.5问题分析问题一的要求是根据现有的数据预测2010年的平均房价，而要预测房价，可以理解为找到时间和房价之间的内在联系，即找到二者之间的函数关系。可以立即想到的办法是，先将这几年的房价按照时间顺序做出散点图，以给我们一个直观的印象。而后，可以根据这个直观的印象确定所要使用的预测函数并用这个函数去“适合”这些数据点，最后，在决定了函数（即模型）之后，还需要讨论模型的误差。问题二的要求相对比较模糊，如果说在问题一中显然房价是时间的函数的话，那么问题二中我们很难决定到底GDP是房价的函数亦或者房价是GDP的函数。所以我们基本的思路是，分别建立两个模型并且求解，最后以误差的大小来决定取舍。对问题三，由于房地产开发商和老百姓处于利益的对立面，一部分的人有能力购买多套住房，而广大的老百姓一套也买不起，所以基本的思路是这样：国家应该出面对购买多于一套住房的人加收一定的房产税，而这些税收的一部分则用于补贴那些购买第一套住房的人。2021/5/96第十五章Matlab数学建模案例分析图15-1拟合图从图15-1中可以直观的看出，房价和时间（年份）的关系更加接近于一个二次函数，这暗示了我们应该为此建立一个二次函数的回归模型。2021/5/97第十五章Matlab数学建模案例分析15.6.3问题一模型的求解%%由于使用二维拟合，故P1应该为3*13的矩阵，第一列为1，第二列为Y，第三列为Y的平方P1(:,1)=1;P1(:,2)=P';P1(:,3)=(P.^2)';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y',P1)2021/5/98第十五章Matlab数学建模案例分析图15-2多元回归拟合图2021/5/99第十五章Matlab数学建模案例分析clc,clear,closeallx=-300:1:300;y=zeros(length(x));y=39/10000.*exp(-1/(2*102^2)*x.^2);plot(x,y)ylabel('概率')title('房价误差的正态分布图')图15-3正态分布2021/5/910第十五章Matlab数学建模案例分析要研究房价和GDP的关系和研究房价和年份的关系有点不同，在问题一中，很显然的我们知道房价是随着年份在变化的，即可以不用怀疑的将房价看成了时间的函数。但是在本问之中，房价和GDP的关系变得微妙了起来。从经济学家对GDP的定义可以看出房价会影响GDP，而GDP也会影响房价。也即它们是相互影响的，如果这样去考虑问题并且建立模型将会把我们引入一个类似“先有鸡还是先有蛋”的死循环。所以我们不妨先将GDP看成房价的函数，再把房价看成GDP的函数，从而比较哪种假设更加合理。这里需要特别注意的是，无论是建立p(g)的模型还是g(p)的模型，都不能忽略时间（即年份）的影响，所以我们接下来要建立两个模型：2021/5/911第十五章Matlab数学建模案例分析直观的来看，GDP对时间的散点图比较近似一条指数曲线，而GDP对房价的散点图近似一条直线。所以我们不妨设将两个式子合并，则我们得到：这就是第二个模型，将房价看成是GDP的函数。最小值通过MATLAB提供的统计工具箱进行求解。2021/5/912第十五章Matlab数学建模案例分析Y=0:12;GDP=[35403783391642394922556063997842911610879134751673718745];P=[7678959951117126114371640195722442489280130963500];figure,subplot(121),plot(P,GDP,'bo')holdona=polyfit(P,GDP,2)GDP1=a(1,1)*P.^2+a(1,2)*P+a(1,3);error1=sum(abs(GDP-GDP1))%误差plot(P,GDP1,'rs')xlabel('房价（元）')ylabel('GDP')%模型二a=polyfit(GDP,P,2)P1=a(1,1)*GDP.^2+a(1,2)*GDP+a(1,3);error2=sum(abs(P-P1))%误差subplot(122)plot(GDP,P,'bo')holdonplot(GDP,P1,'rs')2021/5/913第十五章Matlab数学建模案例分析图15-5拟合图2021/5/914第十五章Matlab数学建模案例分析15.8问题三表15-5房价的增长速率以及收入的增长速率年份房价房价增长率收入收入增长率收入/房价1997767/5156/6.72199889516.685138-0.355.74199999511.17652627.016.552000111712.26743413.916.652001126112.898475146.722002143713.95968814.316.742003164014.131070310.486.522004195719.32113486.365.822005224414.66123438.425.52006248910.921363010.435.472007280112.531555814.155.552008306910.531847218.735.962009350013.05198207.295.66房价的年均增长率为：13.49%，收入的年均增长率为：11.87%2021/5/915第十五章Matlab数学建模案例分析第三，我们假定城镇住房需求（对普通人）的价格弹性在0.5—0.6之间，我们不妨对普通人取0.6，即：对于Q2，根据假设，可以知道，由于房价的变化对富人的购房计划没有影响，但会影响到普通人的消费，故2010年房屋的销售量可以用下式来描述：根据我们对房价的条件，并结合问题一以及本问问题分析中的数