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文档简介
节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题2021/5/91一、可分离变量的微分方程形如的方程,称为可分离变量的微分方程.分离变量,得:①设
y=
(x)
是方程①的解,则有恒等式:两边积分,得即:设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有2021/5/92当
G(y)与F(x)可微且
G'(y)=g(y)
0时,说明由②确定的隐函数y=
(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)
0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=
(y)也是①的解.2021/5/93一、可分离变量的微分方程形如的方程,称为可分离变量的微分方程.求解步骤:(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解2021/5/94例1
求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、典型例题解得2021/5/95例2
求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得2021/5/96解分离变量,得两端积分,得解得2021/5/97解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:2021/5/98解
根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分
:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.
t
足够大时2021/5/99解分离变量,解得然后积分
:2021/5/910可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定:2021/5/911分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解,还需根据初值条件定常数.2021/5/912(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)
根据几何关系列方程,2)
根据物理规律列方程,3)
根据微量分析平衡关系列方程.(2)
利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)
求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤2021/5/913思考与练习求方程的通解
:提示:方程变形为2021/5/914练习题2021/5/9152021/5/916练习题答案2021/5/917例9
有高为1m
的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度2021/5/918设在微小的时间间隔水面的高度由
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