鲁科版物理必修二新素养讲义第4章第1节匀速圆周运动快慢的描述Word版含答案

第1节匀速圆周运动快慢的描述1.知道匀速圆周运动的概念及特点．2.理解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念，会用公式进行计算．3．理解线速度、角速度、周期之间的关系．[学生用书P56]一、描述匀速圆周运动的物理量定义大小国际单位(符号)线速度做匀速圆周运动的物体通过的弧长s跟所用时间t的比值v＝eq\f(s,t)米每秒(m/s)角速度做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的角度φ跟所用时间t的比值ω＝eq\f(φ,t)弧度每秒(rad/s)周期周期性运动每重复一次所需要的时间T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πr,v)秒(s)频率单位时间内运动重复的次数f＝eq\f(1,T)赫兹(Hz)转速转速是单位时间内的转动次数n＝f＝eq\f(ω,（2π）)转每秒(r/s)若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？提示：秒针的周期T秒＝1min＝60s，分针的周期T分＝1h＝3600s.由ω＝eq\f(φ,t)＝eq\f(2π,T)得eq\f(ω秒,ω分)＝eq\f(T分,T秒)＝eq\f(60,1).二、线速度、角速度、周期的关系1．线速度与角速度的关系：物体以半径r做圆周运动，在时间T内通过的弧长为2πr，半径转过的角度为2π，线速度v＝eq\f(2πr,T)，角速度ω＝eq\f(2π,T)，所以v＝rω．当r一定时，v∝ω；当ω一定时，v∝r；当v一定时，ω∝eq\f(1,r)．2．线速度与周期或频率的关系设做匀速圆周运动的物体，半径为r，在一个周期内通过的弧长为2πr，因此有v＝eq\f(2πr,T)＝2πf·r．当r一定时，v∝eq\f(1,T)或v∝f．3．角速度与周期或频率的关系做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为2π，则有ω＝eq\f(2π,T)＝2πf．角速度与周期一定成反比，与频率一定成正比，即ω∝eq\f(1,T)或ω∝f．(1)由公式ω＝eq\f(v,r)可知，做圆周运动半径大的物体，角速度一定小．()(2)飞轮转动的角速度越大，轮上同一点的线速度也越大．()(3)由公式r＝eq\f(v,ω)可知，物体转动的半径与它的线速度大小成正比．()提示：(1)×(2)√(3)×

对圆周运动及其物理量的理解[学生用书P57]1．匀速圆周运动的特点(1)圆周运动一定是变速运动．因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变速运动．(2)做圆周运动的物体一定具有加速度，它受的合力一定不为零．2．描述圆周运动的各物理量间的关系大小国际单位制单位(符号)各物理量在图中示意联系线速度v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\o(AB,\s\up8(︵)),Δt)米每秒(m/s)都是描述匀速圆周运动快慢的物理量，v＝eq\f(2πr,T)＝ωr＝2πfr＝2πnr角速度ω＝eq\f(Δθ,Δt)弧度每秒(rad/s)周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πr,v)秒(s)频率f＝eq\f(1,T)赫兹(Hz)转速n＝f＝eq\f(ω,2π)转每秒(r/s)3.分析物体线速度、角速度、周期间关系的方法(1)描述物体做圆周运动的线速度、角速度、周期及半径四个量中，若知道两个量可求出另外两个，应用的公式为v＝ωr＝eq\f(2πr,T).(2)分析线速度v、角速度ω、半径r间数值关系时，有如下三种情况．①当半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比．②当角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比．③当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比．如图所示命题视角1匀速圆周运动特点的考查(多选)关于物体做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．在相等的时间里通过的路程相等B．在相等的时间里通过的弧长相等C．在相等的时间里发生的位移相等D．在相等的时间里运动半径转过的角度相等[解析]对于做匀速圆周运动的物体，由匀速圆周运动的定义知，在相等时间内通过的弧长相等，B选项正确；弧长就是物体运动的轨迹长度即路程，所以A选项也正确；匀速圆周运动中相等时间内转过的角度也相等，D选项正确；相等时间内的位移，即为运动的弧长所对应的弦，由于位移为矢量，各段弦长相等，但方向不同，所以位移大小相等而方向不同，C选项错误．[答案]ABD命题视角2各物理量关系的计算做匀速圆周运动的物体，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求：(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小．[解题探究](1)如何计算匀速圆周运动的线速度？(2)线速度与角速度、周期间有怎样的关系？[解析](1)由线速度的定义式v＝eq\f(s,t)得v＝eq\f(s,t)＝eq\f(100,10)m/s＝10m/s.(2)由v＝rω得ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(10,20)rad/s＝0.5rad/s.(3)由ω＝eq\f(2π,T)得T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,0.5)s＝4πs.[答案](1)10m/s(2)0.5rad/s(3)4πseq\a\vs4\al()(1)角速度ω、线速度v、半径r之间的关系是瞬时对应关系．(2)公式v＝ωr适用于所有的圆周运动；关系式T∝eq\f(1,n)适用于具有周期性运动的情况．1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是()A．因为v＝ωR，所以线速度v与轨道半径R成正比B．因为ω＝eq\f(v,R)，所以角速度ω与轨道半径R成反比C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比D．因为ω＝eq\f(2π,T)，所以角速度ω与周期T成反比解析：选CD.ω一定时，线速度v与轨道半径R成正比，选项A错误．v一定时，角速度ω与轨道半径R成反比，选项B错误．在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，选项C、D正确．常见传动装置及其规律[学生用书P57]1．同轴转动同轴的圆盘上各点图示相同量角速度：ωA＝ωB周期：TA＝TB不同量线速度：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)2.皮带传动两轮边缘或皮带上各点图示相同量边缘点线速度：vA＝vB不同量角速度：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)周期：eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)3.齿轮传动两齿轮啮合传动图示相同量边缘点线速度：vA＝vBA、B为两齿轮边缘点不同量角速度：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)周期：eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)命题视角1同轴转动装置如图所示，圆环以过其直径的直线AB为轴匀速转动．已知其半径R＝0.5m，周期T＝4s，求环上P点和Q点的角速度和线速度大小．[解题探究](1)P点和Q点绕直径AB的运动轨迹的圆心是否是O点？如何表示它们的半径？(2)P点和Q点的角速度有何关系？[解析]由题意知P点和Q点的角速度相同，ωP＝ωQ＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)rad/s≈1.57rad/s，P点和Q点绕直径AB做匀速圆周运动，其轨迹的圆心不同，P点和Q点的轨迹半径分别为rP＝Rsin30°＝0.25m，rQ＝Rsin60°＝eq\f(\r(3),4)m，故二者线速度大小分别为vP＝ωPrP≈0.39m/s；vQ＝ωQrQ≈0.68m/s.[答案]P点角速度为1.57rad/s，线速度为0.39m/sQ点角速度为1.57rad/s，线速度为0.68m/s命题视角2传送带(齿轮)装置如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上．其中过O1的轴与电动机相连，此轴的转速为n1，求：(1)B齿轮的转速n2；(2)A、B两齿轮的半径之比r1∶r2；(3)在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比φA∶φB；(4)B齿轮半径为r2，B齿轮外缘上一点在时间t内通过的路程sB.[解题探究](1)齿轮传动装置中，两轮的相同量是什么？(2)线速度、角速度周期、转速及半径的关系？[解析](1)在齿轮传动装置中，各齿轮的齿数是不同的，齿轮的齿数对应齿轮的周长，在齿轮传动进行转速变换时，单位时间内每个齿轮转过的齿数相等，相当于每个接合的齿轮边缘处的线速度大小相等，因此齿轮的转速与齿数成反比，所以B齿轮的转速n2＝eq\f(z1,z2)n1.(2)A齿轮边缘的线速度大小v1＝ω1r1＝2πn1r1，B齿轮边缘的线速度大小v2＝ω2r2＝2πn2r2，两齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即v1＝v2，所以有2πn1r1＝2πn2r2，则两齿轮的半径之比r1∶r2＝n2∶n1＝z1∶z2.(3)在时间t内，A、B转过的角度分别为φA＝ω1t＝2πn1t，φB＝ω2t＝2πn2t，所以两齿轮转过的角度之比φA∶φB＝n1∶n2＝z2∶z1.(4)B齿轮外缘上一点在时间t内通过的路程为sB＝v2t＝ω2r2t＝eq\f(2πz1n1r2t,z2).[答案](1)n2＝eq\f(z1,z2)n1(2)r1∶r2＝z1∶z2(3)φA∶φB＝z2∶z1(4)sB＝eq\f(2πz1n1r2t,z2)命题视角3皮带运动如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一转轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系为rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．[思路点拨](1)A、B两轮之间属于皮带传动，a、b两点线速度大小相等．(2)B、C两轮之间属于同轴传动，b、c两点角速度相等．(3)v、ω的关系式：v＝ωr.[解析]A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，A、B两轮边缘上点的线速度大小相等，即va＝vb，故va∶vb＝1∶1B、C两个轮子固定在一起，绕同一转轴转动，它们上面的任何一点具有相同的角速度，即ωb∶ωc＝1∶1因为ω＝eq\f(v,r)，va＝vb，rA＝2rB所以ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2又因为v＝rω，ωb＝ωc，rC＝2rB所以vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2综上可知：ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2va∶vb∶vc＝1∶1∶2.[答案]1∶2∶21∶1∶2eq\a\vs4\al()求解传动问题的方法(1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点．①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)；②同轴转动(各点角速度相等)；③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)．(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系．(3)用“通式”表达比例关系．①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝eq\f(v,r)，即ω∝eq\f(1,r)；③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．圆周运动中相遇和多种问题的分析方法[学生用书P59]1．首先明确两个物体的运动性质，是匀速圆周运动、平抛运动还是匀变速直线运动．2．建立起两个物体运动的关系，往往是时间关系和位移关系，这是解题的关键．3．同时注意圆周运动的周期性，分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上加上2kπ，具体k的取值应视情况而定．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v及圆盘转动的角速度ω的大小．[解析]小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝eq\f(1,2)gt2则运动时间t＝eq\r(\f(2h,g))又因为水平位移为R，所以小球的初速度v＝eq\f(R,t)＝Req\r(\f(g,2h))在时间t内圆盘转动的角速度ω＝eq\f(n·2π,t)＝2πneq\r(\f(g,2h))(n＝1，2，3，…)．[答案]Req\r(\f(g,2h))2πneq\r(\f(g,2h))(n＝1，2，3，…)2.如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．求力F多大可使A、B两物体的速度相同．解析：因为B物体在力F作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A与B速度相同，则只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能．设A、B运动时间t后两者速度相同(大小相等，方向相同)．对A物体有t＝eq\f(3,4)T＋nT＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))eq\f(2π,ω)(n＝0，1，2，…)，vA＝rω.对B物体有F＝ma，a＝eq\f(F,m)，vB＝at＝eq\f(F,m)t.令vB＝vA得，eq\f(F,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))eq\f(2π,ω)＝ωr(n＝0，1，2，…)．解得F＝eq\f(2mrω2,（4n＋3）π)(n＝0，1，2，…)．答案：F＝eq\f(2mrω2,（4n＋3）π)(n＝0，1，2，…)

[随堂检测][学生用书P59]1．下列关于匀速圆周运动的说法，正确的是()A．匀速圆周运动是一种平衡状态B．匀速圆周运动是一种匀速运动C．匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动D．匀速圆周运动是一种速度大小不变的运动解析：选D.匀速圆周运动的速度大小不变，方向时刻改变，选项D正确．2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是()A．线速度大的角速度一定大B．线速度大的周期一定小C．角速度大的半径一定小D．角速度大的周期一定小解析：选D.由v＝rω，得ω＝eq\f(v,r)，显然只有当半径r一定时，角速度与线速度才成正比，故A错．由v＝eq\f(2πr,T)，得T＝eq\f(2πr,v)，只有当半径r一定时，周期与线速度才成反比，故B错．由ω＝eq\f(v,r)，得线速度一定时，角速度与半径成反比，故C错．由ω＝eq\f(2π,T)，得T＝eq\f(2π,ω)，显然周期与角速度成反比，角速度大的周期一定小，故D对．3．甲沿着半径为R的圆形跑道匀速跑步，乙沿半径为2R的圆形跑道匀速跑步，在相同时间内，甲、乙各跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则()A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2解析：选C.甲、乙跑步的周期相同，因为ω＝eq\f(2π,T)，则角速度相同，即ω1＝ω2；又因v＝ωR，所以线速度之比v1∶v2＝R1∶R2＝1∶2，即v1＜v2.故选项C正确．4．(多选)变速自行车靠变速齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则()A．该车可变换两种不同挡位B．该车可变换四种不同挡位C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1解析：选BC.由题意知，当A轮通过链条分别与C、D连接时，自行车有两种速度，当B轮分别与C、D连接时，又有两种速度，所以该车可变换四种挡位，选项B正确；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即eq\f(ωA,ωD)＝eq\f(1,4)，选项C正确．5.如图所示，直径为d的圆纸筒，以角速度ω绕O轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a、b两个弹孔，且Oa、Ob间的夹角为α，则子弹的速度为多少？解析：子弹通过圆纸筒做匀速直线运动的时间为t1＝eq\f(d,v)，两个弹孔与圆心连线夹角等于α的条件是在相同时间内圆纸筒转过的角度φ＝(2n＋1)π－α，则由角速度定义可知时间t2＝eq\f(φ,ω)＝eq\f(（2n＋1）π－α,ω)(n＝0，1，2，3…)．由于子弹做匀速直线运动和圆纸筒做圆周运动具有等时性，所以eq\f(d,v)＝eq\f(（2n＋1）π－α,ω)(n＝0，1，2，3…)，得子弹的速度为v＝eq\f(ωd,（2n＋1）π－α)(n＝0，1，2，3…)．答案：eq\f(ωd,（2n＋1）π－α)(n＝0，1，2，3…)[课时作业][学生用书P122(单独成册)]一、单项选择题1．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中改变的是()A．速度 B．速率C．角速度 D．转速解析：选A.速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度也是矢量，在阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上A正确．2．做匀速圆周运动的物体()A．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定B．如果物体在0.1s转过30°，则角速度为eq\f(5π,4)rad/sC．若半径r一定，则线速度与角速度成反比D．若半径为r，周期为T，则线速度v＝eq\f(2πr,T)解析：选D.线速度v＝eq\f(s,t)，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向在不断地改变，故不能说v恒定，选项A错误；角速度ω＝eq\f(φ,t)，反映质点与圆心连线转动的快慢，国际单位为rad/s，B中ω＝eq\f(\f(π,6),0.1)rad/s＝eq\f(5π,3)rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq\f(1,r)；ω一定时，v∝r，选项C错误；物体转动一周的时间为T，由线速度与角速度的定义，在特殊情况下(转一周)的线速度与角速度的表达式分别为：v＝eq\f(2πr,T)，ω＝eq\f(2π,T)，也可得到v＝ωr，选项D正确．3.如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个小木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心eq\f(1,3)r的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是()A．两木块的线速度相等B．两木块的角速度不相等C．M的线速度是N的线速度的3倍D．M的角速度是N的角速度的3倍解析：选C.由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝eq\f(1,3)r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项C正确．4．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为()A.eq\f(r1ω1,r3) B.eq\f(r3ω1,r1)C.eq\f(r3ω1,r2) D.eq\f(r1ω1,r2)解析：选A.靠摩擦传动的轮子边缘的线速度大小相等，故v1＝v2＝v3，而v1＝ω1r1，v3＝ω3r3，所以ω3＝eq\f(ω1r1,r3)，A正确．5．某一型号的电动滚轮铭牌上标有“120r/min”等额定参数，由此可知()A．滚轮正常转动时的转速为2r/sB．滚轮正常转动的周期为2sC．滚轮正常转动的频率为120HzD．以上说法都对解析：选A.铭牌上所标注的参数即为正常转动的转速n.单位换算n＝120r/min＝2r/s，选项A正确；由转速n可知滚轮每秒转动2圈，则周期T＝eq\f(1,2)s＝0.5s，选项B错误；而转动频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,0.5)Hz＝2Hz，选项C错误．6．甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是()A．它们的半径之比为2∶9B．它们的半径之比为1∶2C．它们的周期之比为2∶3D．它们的周期之比为3∶1解析：选A.由题意可得：v＝rω，所以r＝eq\f(v,ω)，r甲∶r乙＝eq\f(v甲,ω甲)∶eq\f(v乙,ω乙)＝2∶9，A对，B错；T＝eq\f(2π,ω)，所以T甲∶T乙＝eq\f(1,ω甲)∶eq\f(1,ω乙)＝1∶3，C、D错．二、多项选择题7．图示为自行车的传动装置示意图，A、B、C分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的一点，则在此传动装置中()A．B、C两点的线速度相同B．A、B两点的线速度相同C．A、B两点的角速度与对应的半径成正比D．B、C两点的线速度与对应的半径成正比解析：选BD.大齿轮与小齿轮间是皮带传动，A、B两点的线速度相同，角速度与对应的半径成反比，B正确，C错误．小齿轮与后轮是同轴转动，B、C两点的角速度相同，线速度与对应的半径成正比，A错误，D正确．8．球沿半径为2m的轨道做匀速圆周运动，若周期为πs，则()A．小球的线速度是4m/sB．经过eq\f(π,4)s，小球的位移大小是πmC．经过eq\f(π,4)s，小球转过的圆心角为eq\f(π,2)radD．以上说法均不正确解析：选AC.由ω＝eq\f(2π,T)得ω＝eq\f(2π,π)rad/s＝2rad/s，则v＝rω＝2×2m/s＝4m/s.经过t＝eq\f(π,4)s，小球转过的角度φ＝ωt＝2×eq\f(π,4)rad＝eq\f(π,2)rad，则位移大小为eq\r(2)r＝2eq\r(2)m，故选项A、C正确．9．一走时准确的钟表，时针、分针和秒针都做匀速转动，下列关于它们的说法，正确的是()A．分针的周期是秒针周期的60倍B．分针的角速度是秒针角速度的60倍C．时针的周期是分针周期的12倍D．时针的角速度是分针角速度的12倍解析：选AC.秒针转动一周时间T1＝1min＝60s，分针转动一周时间T2＝1h＝60min＝3600s，时针转动一周时间T3＝12h＝43200s，所以T2