数值方法 课件 刘智永 第1、2章 插值与逼近、数值微分与数值积分

数值方法“新工科建设”教学探索成果插值与逼近第一章问题介绍01一、问题介绍函数的插值与逼近是科学计算的基本问题之一，广泛应用于曲面拟合、机器学习、微分方程数值求解等领域.一、问题介绍我们通过下面两个例子来进一步说明插值与逼近的概念.一、问题介绍我们通过下面两个例子来进一步说明插值与逼近的概念.例1.2给定表1-1中的数据，试用一条二次抛物线拟合这些数据.一、问题介绍我们把这样的有限维逼近空间V叫作试探空间，Rf叫作试探函数.多项式插值02二、多项式插值二、多项式插值概述从整体逼近的角度而言，我们有下述重要定理.01由定理内容我们知道，只要目标函数连续，具有任意逼近阶数的多项式PN(x)一定存在，但是我们并不知道这样的多项式的具体表达形式.因此，我们需要构造具有逼近性质的多项式试探空间.当然一维情形下，最简单的n次多项式试探空间是二、多项式插值概述下面的定理保证了这个试探空间逼近的有效性.01二、多项式插值概述01二、多项式插值Lagrange插值02其插值函数具有下面的表达形式二、多项式插值Lagrange插值02二、多项式插值Lagrange插值02二、多项式插值Lagrange插值02二、多项式插值Lagrange插值02图1-1给出了7次Lagrange插值曲线，该曲线较好地通过了给定的样本数据(图中的○表示样本数据，曲线为插值曲线).二、多项式插值Newton插值03当我们需要扩充试探空间的时候，之前所有的基函数都没有被保留，这非常不利于大规模数值计算.克服这一缺陷的有效方法之一是Newton插值.选择如下形式的试探空间则Newton插值函数可以写为二、多项式插值Newton插值03可以计算得到二、多项式插值Newton插值03二、多项式插值Newton插值03二、多项式插值Newton插值03二、多项式插值分片线性插值041901年，德国数学家C.Runge构造了一个反例，说明Lagrange插值多项式与Newton插值多项式在逼近一些函数的时候，逼近效果并不是完全随着多项式次数的增加越来越好的.这个反例被称为Runge现象.二、多项式插值分片线性插值04则Lagrange插值与Newton插值失效，表现为：当n增大时，在区间[-5，5]两端附近误差迅速增大(见图1-2).图1-2显示了当n=10时Lagrange插值与Newton插值的效果，明显可以看出，在区间的两端附近插值曲线出现振荡.二、多项式插值分片线性插值04假设f(x)是定义在[a，b]上的目标函数，分片线性插值需要构造若干条首尾相接的折线通过数据对(x0，y0)，…，(xn，yn)，要求这样的插值函数

满足条件：二、多项式插值分片线性插值04二、多项式插值分片线性插值04二、多项式插值Hermite插值05二、多项式插值Hermite插值05二、多项式插值Hermite插值05二、多项式插值Hermite插值05径向基函数插值03三、径向基函数插值概述01三、径向基函数插值概述01三、径向基函数插值概述01三、径向基函数插值再生核空间02三、径向基函数插值再生核空间02三、径向基函数插值再生核空间02三、径向基函数插值再生核空间02三、径向基函数插值误差估计03三、径向基函数插值误差估计03三、径向基函数插值误差估计03三、径向基函数插值误差估计03三、径向基函数插值误差估计03最佳逼近04四、最佳逼近最小二乘拟合01不妨假设这条直线为多项式这样的优化问题称之为最小二乘问题.四、最佳逼近最小二乘拟合01上面的最小二乘问题是容易求解的.我们知道E(a，b)的最小值在其稳定点处达到，因而需要求解方程组这个方程组称为最小二乘问题的法方程组.四、最佳逼近最小二乘拟合01例1.5(超定方程组)一个测量员测量三座山的高度，在地面上测得山的高度分别为x1=1200m，x2=1640m，x3=2300m.为了进一步确定测量的精准程度，测量员先爬上第一座山测量其与第二座山的高度差，发现x2-x1=445m，第一座山和第三座山的高度差x3-x1=1110m；然后到第二座山上，测量得到x3一x2=665m.对以上的观察数据进行全面考虑，则得到一个超定方程组解：使用最小二乘方法可以求解.上面的超定方程组，从而得到四、最佳逼近最佳一致逼近02常用的范数如下：四、最佳逼近最佳一致逼近02四、最佳逼近最佳一致逼近02四、最佳逼近最佳平方逼近03四、最佳逼近最佳平方逼近03四、最佳逼近正交多项式04四、最佳逼近正交多项式04四、最佳逼近正交多项式04常见的正交多项式有以下几类.●Legendre多项式其满足三项递推公式四、最佳逼近正交多项式04常见的正交多项式有以下几类.●Chebyshev多项式其满足三项递推公式四、最佳逼近正交多项式04常见的正交多项式有以下几类.●Laguerre多项式其满足三项递推公式四、最佳逼近正交多项式04常见的正交多项式有以下几类.●Hermite多项式其满足三项递推公式数值方法“新工科建设”教学探索成果数值微分与数值积分第二章问题介绍01一、问题介绍数值微分02二、数值微分Taylor展开求导01二、数值微分Taylor展开求导01二、数值微分插值型求导02二、数值微分插值型求导02下面我们通过Lagrange插值函数的导数来推导f'的具体表达形式.●两点公式f(x)的线性Lagrange插值为二、数值微分插值型求导02下面我们通过Lagrange插值函数的导数来推导f'的具体表达形式.●三点公式f(x)的二次插值多项式为二、数值微分插值型求导02下面我们通过Lagrange插值函数的导数来推导f'的具体表达形式.●三点公式f(x)的二次插值多项式为二、数值微分插值型求导02下面我们通过Lagrange插值函数的导数来推导f'的具体表达形式.●五点公式用类似的办法，我们可以近似计算f'在五个节点上的值数值积分03三、数值积分中点、梯形和Simpson求积公式01三、数值积分中点、梯形和Simpson求积公式01三、数值积分中点、梯形和Simpson求积公式01三、数值积分中点、梯形和Simpson求积公式01三、数值积分中点、梯形和Simpson求积公式01三、数值积分中点、梯形和Simpson求积公式01三、数值积分Newton-Cotes求积公式02三、数值积分Newton-Cotes求积公式02三、数值积分Newton-Cotes求积公式02三、数值积分Newton-Cotes求积公式02三、数值积分复合求积公式03如果区间[a，b]的长度比较大，则可将积分分成若干个片段上的积分之和.比如等距节点分割根据积分的可加性质则有在每一个片段[xi，xi+s].上使用中点公式、梯形公式和Simpson公式，则可得到复合求积公式.三、数值积分复合求积公式03三、数值积分复合求积公式03三、数值积分Romberg求积公式04三、数值积分Gauss求积公式05考虑一种带权函数的求积公式三、数值积分Gauss求积公式05三、数值积分Gauss求积公式05三、数值积分Gauss求积公式05三、数值积分Gauss求积公式05三、数值积分Gauss求积公式05常用的Gauss求积公式有以下几个.●Gauss-Legendre公式三、数值积分Gauss求积公式