《子空间的交与和》

§6子空间的交与和主要内容子空间的交子空间的和目录下页返回结束子空间的交与和的性质维数公式1整理ppt一、子空间的交首页上页下页返回结束2整理ppt子空间的交的运算规律:1)交换律

V1∩V2=V2∩V1；2)结合律(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)

.由结合律，我们可以定义多个子空间的交：它也是子空间.首页上页下页返回结束3整理ppt二、子空间的和

定义8设V1,V2是线性空间V的两个子空间,所谓V1与V2的和，是指由所有能表示成

1+

2，而

1

V1，

2

V2的向量组成的子集合，记作V1+V2，即V1+V2={

|

=

1+

2,

1

V1,

2

V2

}首页上页下页返回结束4整理ppt首页上页下页返回结束5整理ppt注：首页上页下页返回结束6整理ppt子空间的和的运算规律1)交换律

V1

+V2=V2

+V1；2)结合律(V1+V2)+V3=V1+(V2

+V3)

.由结合律，我们可以定义多个子空间的和：的向量组的子空间.它是由所有表示成

1+

2+…+

s,

i

Vi

(i=1,2,…,s)首页上页下页返回结束7整理ppt三、子空间的交与和的性质1.设V1,V2,W都是子空间，那么由W

V1与W

V2可推出W

V1∩V2;而由W

V1与W

V2可推出W

V1+V2.2.对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的:1)V1

V2；2)V1∩V2=V1；3)V1+V2=V2.首页上页下页返回结束8整理ppt首页上页下页返回结束9整理ppt例2设V1=L(

1,

2),V2=L(

1,

3)是R3两个不同的2维子空间，求V1∩V2和V1+V2，并指它们的几何意义.解因为V1和V2是两个不同的子空间，所以

1,

2,

3线性无关，从而V1=V2与题设矛盾.于是由子空间的交与和的定义可得V1∩V2=L(

1),V1+V2=L(

1,

2,

3)=R3.否那么3可由1,2线性表示其几何意义是：V1=L(

1,

2)是向量

1,

2所确定的平面，V2=L(

1,

3)是向量

1,

3所确定首页上页下页返回结束10整理ppt的平面，个3维空间.V1∩V2是这两个平面的交线，V1+V2是整xoyz

1

2

3V1V2V1∩V2首页上页下页返回结束11整理ppt例3设V1,V2分别是P3中齐次方程组与首页上页下页返回结束12整理ppt的解空间.首页上页下页返回结束的解空间，那么V1∩V2就是齐次方程组13整理ppt首页上页下页返回结束14整理ppt四、维数公式首页上页下页返回结束15整理ppt首页上页下页返回结束16整理ppt首页上页下页返回结束17整理ppt首页上页下页返回结束18整理ppt首页上页下页返回结束19整理ppt从维数公式可以看到,和的维数往往要比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于4.由此说明这两张平面的交是一维的直线.首页上页下页返回结束20整理ppt推论如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2

必含有非零的公共向量.证由假设维(V1+V2)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)>n.但因V1+V2是V的子空间而有维(V1+V2)

n,所以维(V1∩V2)>0.这就是说，V1∩V2中含有非零向量.首页上页下页返回结束21整理ppt解因为V1+V2=L(

1,

2,

3

)+L(

1,

2)=L(

1,

2,

3

,

1,

2),所以向量组

1,

2,

3

,

1,

2的一个极大无关组就首页上页下页返回结束22整理ppt是V1+V2的一组基.把向量组

1,

2,

3

,

1,

2中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵A，对A进行初等行变换，化成行最简形：行变换首页上页下页返回结束23整理ppt由A的行最简形矩阵

1,

2,

1线性无关，且

2=

1-3

2+4

1.于是

1,

2,

1是V1+V2的一组基，维(V1+V2)=3；又由A的行最简形知

1,

2是V1的一组基,维(V1)=2,维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)-维(V1+V2)=2+2-3=1.

1,

2是V2的一组基，维(V2)=2.所以首页上页下页返回结束24整理ppt由

2=

1-3

2+4

1得

1-3

2