高中数学 复习专题（含答案）

专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式及线性规划第一讲集合与常用逻辑用语高考考点考点解读集合的概念及运算1.以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围3．以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算命题及逻辑联结词1.命题的四种形式及命题的真假判断2．复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何、不等式相结合考查充要条件的判断1.充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性质相结合考查2．利用充要性求参数值或取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题．(2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用．预测2020年命题热点为：(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．Zeq\o(\s\up7(知识整合),\s\do5(hishizhenghe))1．集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．(3)空集是任何集合的子集.(4)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(5)重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满中条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/p)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/q)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒/q，q⇒/p)A与B互不包含3.简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．4．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0).(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).,Yeq\o(\s\up7(易错警示),\s\do5(icuojingshi))1．忽略集合元素互异性：在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根．2．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．3．混淆命题的否定与否命题：在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.1．(文)(2018·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}[解析]A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A．(理)(2018·全国卷Ⅰ，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(B)A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B．2．(文)(2018·全国卷Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(C)A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．故选C．(理)(2018·全国卷Ⅱ，2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(A)A．9 B．8C．5 D．4[解析]将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A．3．(文)(2018·天津卷，3)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由x3>8⇒x>2⇒|x|>2，反之不成立，故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．故选A．(理)(2018·天津卷，4)设x∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”得0＜x＜1，则0<x3＜1，即“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”⇒“x3＜1”；由“x3＜1”得x＜1，当x≤0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)，即“x3＜1”/⇒“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”．所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要条件．故选A．4．(2018·浙江卷，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．5．(文)(2018·北京卷，4)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B．(理)(2018·北京卷，6)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝eq\r(10)，|3a＋b|＝eq\r(10)，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．故选C．6．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(A)A．A∩B＝{x|x<eq\f(3,2)} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x<eq\f(3,2)} D．A∪B＝R[解析]由3－2x>0，得x<eq\f(3,2)，∴B＝{x|x<eq\f(3,2)}，∴A∩B＝{x|x<2}∩{x|x<eq\f(3,2)}＝{x|x<eq\f(3,2)}，故选A．(理)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(A)A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅[解析]由3x<1，得x<0，∴B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}．∴A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，故选A．7．(2017·全国卷Ⅱ，2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝(C)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}[解析]∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴B＝{1,3}．8．(文)(2017·山东卷，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(B)A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．(理)(2017·山东卷，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(B)A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．eq\x(命题方向1集合的概念及运算)例1(1)(文)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝(A)A．[1,2) B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][解析]∵M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，故选A．(理)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵B＝{x|x<2m}，∴∁RB＝{x|x≥2m}，又∵A⊆∁RB，∴有2m≤2，即m≤1.由选项可知选A．(2)(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，∴A∩B中共有2个元素，故选B．(理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(B)A．3 B．2C．1 D．0[解析]集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B．(3)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(C)A．77 B．49C．45 D．30[解析]由题得A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，如下图所示：因为B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，由A⊕B的定义可得，A⊕B相当于将A集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：所以A⊕B中的元素个数为7×7－4＝45.故选C．『规律总结』(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．Geq\o(\s\up7(跟踪训练),\s\do5(enzongxunlian))1．(文)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(C)A．3 B．4C．5 D．6[解析]由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，故选C．(理)设集合M＝{x|－2<x<3}，N＝{x|2x＋1≤1}则M∩(∁RN)＝(D)A．(3，＋∞) B．(－2，－1]C．[－1,3) D．(－1,3)[解析]集合N＝{x|2x＋1≤1}＝{x|x＋1≤0}＝{x|x≤－1}．故∁RN＝{x|x>－1}，故M∩∁RN＝{x|－1<x<3}．故选D．2．(文)已知集合U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U(A∪B)＝(A)A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|x≤2} D．{x|x≥1}[解析]A∪B＝{x|x≤1}∪{x|x≥2}＝{x|x≤1或x≥2}，所以∁U(A∪B)＝{x|1<x<2}．(理)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(A)A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}[解析]由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}，故选A．3．(文)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有(B)A．1个 B．2个C．4个 D．8个[解析]|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±eq\r(3)(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．(理)已知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>eq\f(1,2)}，则(D)A．A⊆B B．B⊆AC．A∩∁RB＝R D．A∩B＝∅[解析]因为x2－3x＋2<0，所以1<x<2，又因为log4x>eq\f(1,2)＝log42，所以x>2，所以A∩B＝∅.eq\x(命题方向2命题及逻辑联结词)例2(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B)A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假[解析]若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数，若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1，z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．(2)已知命题p：∃x∈R，使sinx＝eq\f(\r(5),2)；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的结论是(A)A．②③ B．②④C．③④ D．①②③[解析]∵eq\f(\r(5),2)>1，∴命题p是假命题．∵x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧(綈q)”为假，“(綈p)∨q”为真，“(綈p)∨(綈q)”为真，所以只有②③正确，故选A．『规律总结』(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．Geq\o(\s\up7(跟踪训练),\s\do5(enzongxunlian))1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(A)A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)[解析]由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．2．以下四个命题中，真命题的个数是(C)①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3[解析]对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2RsinA<2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA<sinB，故A<B是sinA<sinB的充要条件，故④是假命题，选C．3．(2018·北京卷，1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A．eq\x(命题方向3充要条件的判断)例3(1)设θ∈R，则“|θ－eq\f(π,12)|<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的(A)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵|θ－eq\f(π,12)|<eq\f(π,12)，∴－eq\f(π,12)<θ－eq\f(π,12)<eq\f(π,12)，即0<θ<eq\f(π,6).显然0<θ<eq\f(π,6)时，sinθ<eq\f(1,2)成立．但sinθ<eq\f(1,2)时，由周期函数的性质知0<θ<eq\f(π,6)不一定成立．故0<θ<eq\f(π,6)是sinθ<eq\f(1,2)的充分而不必要条件．故选A．(2)若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是(C)A．綈p是q的必要不充分条件B．綈q是p的必要不充分条件C．綈p是綈q的必要不充分条件D．綈q是綈p的必要不充分条件[解析]由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q⇒/p，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q⇒綈p，綈p⇒/綈q，∴綈p是綈q的必要不充分条件，故选C．(3)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(C)A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件[解析]设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，故q<0是q<－1的必要而不充分条件．故选C．(4)已知“x>k”是“eq\f(3,x＋1)<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是(A)A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1][解析]由eq\f(3,x＋1)<1，可得eq\f(3,x＋1)－1＝eq\f(－x＋2,x＋1)<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“eq\f(3,x＋1)<1”的充分不必要条件，所以k≥2.『规律总结』1．判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)：若A＝B，则是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．提醒：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．Geq\o(\s\up7(跟踪训练),\s\do5(enzongxunlian))1．(文)(2018·娄底二模)“a<－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于eq\f(π,4)”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]设直线ax＋y－3＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝－a，若a<－1，得θ角大于eq\f(π,4)，由倾斜角θ大于eq\f(π,4)得－a>1，或－a<0即a<－1或a>0.(理)“a2＝1”是“函数f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)为奇函数”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a2＝1⇒a＝±1，f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)为奇函数等价于f(x)＋f(－x)＝0，即lg(eq\f(2,1－x)＋a)＋lg(eq\f(2,1＋x)＋a)＝0⇔(eq\f(2,1－x)＋a)(eq\f(2,1＋x)＋a)＝1化简得a＝－1，故选B．2．(文)若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是(C)A．a>－2 B．a≤－2C．a>－1 D．a≥－1[解析]由x2－x－2<0知－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|－2<x<a}及A∩B≠∅知a>－1.(理)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(B)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由3a>3b>3，知a>b>1，所以log3a>log3b>0，所以eq\f(1,log3a)<eq\f(1,log3b)，即loga3<logb3，所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条件；但是取a＝eq\f(1,3)，b＝3也满足loga3<logb3，不符合a>b>1.所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件．A组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(C)A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}[解析]∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(B)A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}[解析]全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁RB＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．故选B．2．(2018·蚌埠三模)设全集U＝{x|ex>1}，函数f(x)＝eq\f(1,\r(x－1))的定义域为A，则∁UA＝(A)A．(0,1] B．(0,1)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]全集U＝{x|x>0}，f(x)的定义域为{x|x>1}，所以∁UA＝{x|0<x≤1}．3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(C)A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0[解析]全称命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是特称命题“∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0”．4．设有下面四个命题p1：若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq\x\to(z)2；p4：若复数z∈R，则eq\x\to(z)∈R.其中的真命题为(B)A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．5．已知命题p：在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，则有m＋n＝p＋q，命题q：∃x0>0,2－x0＝ex0，则下列命题是真命题的是(C)A．p∧q B．p∧綈qC．p∨q D．p∨綈q[解析]命题p是假命题，因为当等差数列{an}是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q是真命题，∴p∨q是真命题，故选C．6．设集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝{x|(eq\f(1,2))x≤4}，则M∪N＝(A)A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1}C．{x|x≤－1} D．{x|x≤－2}[解析]因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2<x<－1}，N＝[－2，＋∞)，所以M∪N＝[－2，＋∞)，故选A．7．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(D)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D．8．下列四个命题中正确命题的个数是(A)①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1>0；②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08；④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为eq\f(π,4).A．1 B．2C．3 D．4[解析]①错，应当是綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为eq\f(4－π,4).9．(文)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有(B)A．3个 B．4个C．5个 D．无穷多个[解析]由Venn图可知，阴影部分可表示为(∁UA)∩B．由于∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁UA)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为(B)A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}[解析]分别化简两集合可得A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，故∁UB＝{x|x≥1}，故阴影部分所示集合为{x|1≤x<2}．10．下列命题的否定为假命题的是(D)A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．任意一个四边形的四顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1[解析]设命题p：∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1，则綈p：∃x∈R，sin2x＋cos2x≠1，显然綈p是假命题．11．已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合B＝{y|y＝sin(x－1)}，则(∁UA)∩B为(C)A．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(0，eq\f(1,2)]C．[－1，eq\f(1,2)] D．∅[解析]集合A＝{x|x>eq\f(1,2)}，则∁UA＝{x|x≤eq\f(1,2)}，集合B＝{y|－1≤y≤1}，所以(∁UA)∩B＝{x|x≤eq\f(1,2)}∩{y|－1≤y≤1}＝[－1，eq\f(1,2)]．12．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝eq\f(ex－1,ex＋1)为偶函数，下列说法正确的是(B)A．p∨q是假命题 B．(綈p)∧q是假命题C．p∧q是真命题 D．(綈p)∨q是真命题[解析]对于命题p：y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，令(1－x)(1＋x)>0，得－1<x<1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，因为f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以命题p为真命题；对于命题q：y＝f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(\f(1,ex)－1,\f(1,ex)＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以命题q为假命题，所以(綈p)∧q是假命题．13．已知命题p：x≥1，命题q：eq\f(1,x)<1，则綈p是q的既不充分也不必要条件．[解析]由题意，得綈p为x<1，由eq\f(1,x)<1，得x>1或x<0，故q为x>1或x<0，所以綈p是q的既不充分也不必要条件．14．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0没有零点.[解析]全称命题的否定为特称命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0没有零点．15．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3.[解析]A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}，集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.16．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－2].[解析]由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.00B组1．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝(C)A．{－1} B．{0}C．{－1,0} D．{0,1}[解析]本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算．依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}，选C．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合B＝{y|y＝eq\r(x2＋2x＋5)}，则A∩B＝(C)A．∅ B．(1,2]C．[2，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]由x－1>0，得x>1，故集合A＝(1，＋∞)，又y＝eq\r(x2＋2x＋5)＝eq\r(x＋12＋4)≥eq\r(4)＝2，故集合B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，＋∞)，故选C．3．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b)”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的是(A)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[解析]①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋eq\f(1,log2x)≥2，得x>1；③中由a>b>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．4．设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)≤1”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]“|x|≤4且|y|≤3”表示的平面区域M为矩形区域，“eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)≤1”表示的平面区域N为椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1及其内部，显然NM，故选B．5．(文)若集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]当a＝1时，B＝{x|－2<x<1}，∴A∩B＝∅，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件；当A∩B＝∅时，得a≤2，则“a＝1”不是“A∩B＝∅”的必要条件，故“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．(理)设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的(D)A．既不充分又不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件[解析]当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D．6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是(B)A．3 B．4C．8 D．9[解析]用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B．7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)内单调递减，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是(A)A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，是真命题；命题q：函数y＝2cosx是偶函数，是真命题．则p∧q是真命题．故选A．8．已知条件p：x2－2x－3<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(D)A．a>3 B．a≥3C．a<－1 D．a≤－1[解析]由x2－2x－3<0得－1<x<3，设A＝{x|－1<x