培优专题28与解直角三角形有关的重难点题型-原卷版

培优专题28与解直角三角形有关的重难点题型类型一：求非直角三角形的面积1．（2019·山东泰安·九年级期中）.如图，已知:在△ABC中，∠A=60°,∠B=45°,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）．2．（2020·浙江嘉兴·九年级期末）如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝4．（1）用尺规作△ABC的外接圆O；（2）求△ABC的外接圆O的半径；（3）求扇形BOC的面积．3．（2020·江西抚州·九年级期末）如图，在中，，，夹边的长为6，求的面积．类型二：求线段的长或三角函数值4．（2022·四川广元·中考真题）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．5．（2022·新疆·模拟预测）根据新冠疫情的防疫需要，需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时是45°，长为20cm．（参考数据：，，，，结果精确到1cm）（1）求固定点到窗框的距离；（2）若测得，求的长度．6．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．类型三：解决不规则图形的面积7．（2021·安徽淮南·八年级期末）已操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？8．（2020·山东烟台·九年级期中）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？9．（2019·江苏·海安市城南实验九年级期末）如图，的角平分线，，、所对的边记为、.（1）当时，求的值；（2）求的面积（用含，的式子表示即可）；（3）求证：，之和等于，之积.类型四：求物体的高度10．（2021·全国·九年级专题练习）邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西南约50公里处，紧邻丹江口水库南水北调渠首，面积32.5平方公里．公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底层剖面和地质构造为主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图1）．双休日期间，小明携带测量工具随妈妈到杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度，如图2，小明在坡角为的斜坡C处测得峰顶A的仰角为，沿斜坡CD走到平坦地面上点D处，测得峰顶A的仰角为．（1）求主峰到地面的高度AB（结果保留整数，参考数据）（2）妈妈借助某项功能得到杏山主峰海拔为，所测水平地面的海拔为，请你算出小明测量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法．11．（2022·河南南阳·二模）宝轮寺塔——中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”．当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度（）进行测量．因塔底部无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角（）为45°，因广场面积有限，无法再向点的正后方移动，故操控无人机飞到点正上方10米的处测得塔尖的仰角为32°，，，，四点在同一个平面内，求塔高（）为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）12．（2020·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）智能如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，显示，，，求此时CD的高．（结果保留根号）（，，）类型五：求两地间的距离13．（2021·全国·九年级课时练习）根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取整数）．（提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积）14．（2022·四川广元·九年级期末）如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有两村庄，现要在两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通，现测得，．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计进行说明15．（2022·山东威海·中考真题）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．类型六：航海问题16．（2021·山东·泰安市泰山区大津口九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）17．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？18．（2022·黑龙江·大庆市祥阁九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A出发向东航行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）类型七：运动变化问题19．（2020·广东梅州·九年级期末）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动.过点作于点(点不与点重合)，作，边交射线于点.设点的运动时间为秒.(1)用含的代数式表示线段的长.(2)当点与点重合时，求的值.(3)设与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式.20．（2023·河北·九年级专题练习）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．(1)求的半径；(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；(3)①点P的运动路径长是___________；②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．21．（2021·北京房山校区九年级期中）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．（1）依题意，补全图形；（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．类型八：方案设计问题22．（2022·江苏无锡·模拟预测）小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现:我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小,楼房的影子会最长,如果这一天正午有太阳照射,那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层,层高3米,南､北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你,你将建议父母选择第几层以上？说明你的理由．（该市区所在纬度约是32.5°N,冬至日的正午太阳高度角为90°﹣32.5°﹣23.5°＝34°．sin34°≈0.6,cos34°≈0.8,tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y=－60(n－15)2＋16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元,请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．23．（2021·陕西·九年级专题练习）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究．过程如下：问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.560）；窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51，cos30.560≈0.86，tan30.560≈0.59，sin77.440≈0.98，cos77.440≈0.22，tan77.440≈4.49）．24．（2022·山西·九年级专题练习）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)．课题测量旗杆的高度成员组长：×××

组员：×××，×××，×××测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一直线上，点E在GH上．测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数25.6°25.8°25.7°∠GDE的度数31.2°30.8°31°A，B之间的距离5.4m5.6m…………任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是______m．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出旗杆GH的高度．(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么?（写出一条即可）类型九：新定义问题25．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵，∴，∴(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．26．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“某某”模式时，表示，如“看电视”模式时．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，，初始状态时．(1)求“125°阅读”模式下的度数．(2)求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．(3)小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：，，）27．（2021·四川凉山·一模）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：，，，，利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：．请根据上述材料，结合你所学的知识选择适当的公式解答下面问题：(1)计算：；；(2)为了纪念红军长征胜利五十周年，1986年1月1日彝海结盟纪念碑在西昌市中心顺利落成，成为西昌市标志性建筑物之一（图1），某校课外兴趣活动小组学生用所学知识来测量该建筑物的高度，如图2，某同学站在离纪念碑底A距离3米的C处，测得纪念碑顶点B的仰角为75°，该同学的眼睛D点离地面的距离DC为1.6米，请帮助他求出纪念碑的高度．（精确到0.1米，参考数据，）类型十：几何综合问题28．（2021·全国·九年级课时练习）如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量