专题14圆锥曲线转韦达定理结构斜率和积夹角数量积垂直直径的圆过定点（知识梳理专题过关）（原卷版）

专题14圆锥曲线转韦达定理结构：斜率和积、夹角、数量积、垂直、直径的圆过定点【知识梳理】1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．【专题过关】【考点目录】考点1：斜率和问题考点2：斜率积问题考点3：夹角问题考点4：数量积问题考点5：垂直问题考点6：直径的圆过定点问题【典型例题】考点1：斜率和问题1．（2022·四川省绵阳南山高二期中（文））已知点，直线和交于点P，且它们的斜率之积为．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线与C交于A，B两点，点，求直线与的斜率之和．2．（2022·江苏泰州·高二期中）已知双曲线C过点,.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.3．（2022·江西·赣州市第三高二期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.4．（2022·江苏·扬州市第一高二期中）如图，已知点，点分别在轴和轴上运动，并满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的直线与点的轨迹交于两点，，求直线的斜率之和.5．（2022·河南商丘·高二期中）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，如图，过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，设直线和的斜率为，，证明：为定值，并求出该定值．6．（2022·江苏·宝应县曹甸高级高二阶段练习）已知圆过点且与圆：相切于点，直线：与圆交于不同的两点、.(1)求圆的方程；(2)若圆与轴的正半轴交于点，直线、的斜率分别为，，求证：是定值.考点2：斜率积问题7．（2022·河南·郑州外国语高二期中）已知椭圆C：的下顶点为点D，右焦点为.延长交椭圆C于点E，且满足.(1)试求椭圆C的标准方程；(2)A，B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，AN的斜率分别是，.若直线MN过点，则是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.8．（2022·江苏泰州·高二期中）长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并说明其形状；(2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值．9．（2022·四川·树德高二期中（文））已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；(3)证明：为定值？并求的最大值．10．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知平面内的两点，，，过点A的直线与过点B的直线相交于点C，若直线与直线的斜率乘积为，设点C的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)设P是E与x轴正半轴的交点，过P点作两条直线分别与E交于点M，N，若直线PM，PN斜率之积为－2，求证：直线MN恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．11．（2022·江苏·盐城高二期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程；(2)设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线､的斜率分别为､，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.12．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第高二阶段练习）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，求直线OA与OB的斜率之积．考点3：夹角问题13．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.14．（2022·重庆市云阳江口中高二阶段练习）已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图:（1）若△POM的面积为，求向量与的夹角；（2）证明:直线PQ恒过一个定点.15．（2022·安徽·东至县第二高二阶段练习（理））已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.考点4：数量积问题16．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点，直线上有两点E，F使，点P在线段的延长线上，且.（1）若，求点P的轨迹方程；（2）若在点P的轨迹上存在两点M，N，设，的夹角为.①若，求证：直线过定点，并求定点坐标；②若为锐角，求直线与x轴交点横坐标的取值范围.17．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知椭圆C：过点，，直线l：与椭圆C交于，两点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知点，且A、M、N三点不共线，证明：向量与的夹角为锐角．18．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．(1)求双曲线的方程；(2)设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，①求实数的取值范围；②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（2022·上海市奉贤区奉城高级高二阶段练习）已知经过点且以为一个方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、.（1）求实数的取值范围；（2）若点、均在已知双曲线的右支上，且满足，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使得、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.20．（2022·上海·上外浦东附中高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知向量，且而，动点的轨迹为C.（1）求曲线C的标准方程；（2）若M，N是曲线C上关于x轴对称的任意两点，设，连接交曲线C于另一点E，求证：直线过定点B，并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交曲线C于S，T两点，求的取值范围.21．（2022·上海市向明高二阶段练习）已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.（1）求等轴双曲线的方程；（2）若过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由.22．（2022·上海市杨浦高级高二期末）已知椭圆：的左右焦点分别为、，上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．求椭圆的方程；设，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值；23．（2022·湖北孝感·高二期末（理））已知向量，，且满足.(1)求点的轨迹方程所代表的曲线；(2)若点，，是曲线上的动点，点在直线上，且满足，，当点在上运动时，求点的轨迹方程.24．（2022·福建省永春第一高二阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.25．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.（1）求向量与的数量积；（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.考点5：垂直问题26．（2022·黑龙江·高二期中）已知分别是椭圆

的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是.(1)求C的方程；(2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证：为定值.27．（2022·山东德州·高二期中）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．28．（2022·四川省绵阳南山高二期中（理））已知抛物线的焦点为F，A为E上一点，的最小值为1．(1)求抛物线E的标准方程；(2)过焦点F作互相垂直的两条直线与抛物线E相交于P，Q两点，与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段的中点，求的最小值．29．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．30．（2022·江苏省邗江高二期中）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.31．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值；(3)求的最小值．32．（2022·云南昆明·高二期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．33．（2022·江苏·高二阶段练习）已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．34．（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．35．（2022·江西景德镇·高二期末（文））已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．考点6：直径的圆过定点问题36．（2022·江苏·宿迁高二期中）已知椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.37．（2022·四川·树德高二期中（文））已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．(1)求直线PA与PB的斜率之积；(2)任意过且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．38．（2022·河南信阳·高二期中）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，39．（2022·内蒙古·包头高二期中（理））已知，椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，