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文档简介
广东佛山市禅城区2023年高三第四次周考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.123.若(),,则()A.0或2 B.0 C.1或2 D.14.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.5.在原点附近的部分图象大概是()A. B.C. D.6.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.7.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.78.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.9.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l相交10.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.11.设集合、是全集的两个子集,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若向量与向量平行,则实数___________.14.(5分)已知,且,则的值是____________.15.若,则=______,=______.16.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,为的中点,.(1)求线段的长.(2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值.18.(12分)正项数列的前n项和Sn满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.19.(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.20.(12分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.21.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求证:(2)求证:.22.(10分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
转化为,构造函数,利用导数研究单调性,求函数最值,即得解.【详解】由,可知.设,则,所以函数在上单调递增,所以.所以.故的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.2、B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B3、A【解析】
利用复数的模的运算列方程,解方程求得的值.【详解】由于(),,所以,解得或.故选:A【点睛】本小题主要考查复数模的运算,属于基础题.4、C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.5、A【解析】
分析函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】令,可得,即函数的定义域为,定义域关于原点对称,,则函数为奇函数,排除C、D选项;当时,,,则,排除B选项.故选:A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象,一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.6、B【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.7、B【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度,都大于0,由基本不等式可知,此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用,基本不等式的用法,属于中档题.8、C【解析】
根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.9、D【解析】
通过条件判断直线l与平面α相交,于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面α,且l⊄α可知直线l与平面α相交,于是ABC错误,故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系,直线与直线的位置关系,难度不大.10、A【解析】
建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.11、C【解析】
作出韦恩图,数形结合,即可得出结论.【详解】如图所示,,同时.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件,注意数形结合方法的应用,属于基础题.12、C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题可得,因为向量与向量平行,所以,解得.14、【解析】
由于,且,则,得,则.15、10【解析】
①根据换底公式计算即可得解;②根据同底对数加法法则,结合①的结果即可求解.【详解】①由题:,则;②由①可得:.故答案为:①1,②0【点睛】此题考查对数的基本运算,涉及换底公式和同底对数加法运算,属于基础题目.16、(-4,2)【解析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)的长为4(2)【解析】
(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,根据向量垂直关系计算得到答案.(2)计算平面的法向量为,为平面的一个法向量,再计算向量夹角得到答案.【详解】(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,所以.,因为,所以,即,解得,所以的长为4.(2)因为,所以,又,故.设为平面的法向量,则即取,解得,所以为平面的一个法向量.显然,为平面的一个法向量,则,据图可知,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18、(1)(2)见解析【解析】
(1)因为数列的前项和满足:,所以当时,,即解得或,因为数列都是正项,所以,因为,所以,解得或,因为数列都是正项,所以,当时,有,所以,解得,当时,,符合所以数列的通项公式,;(2)因为,所以,所以数列的前项和为:,当时,有,所以,所以对于任意,数列的前项和.19、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)依题意可得,考虑到,则有再分类讨论可得;(2)要证明,即证,即证.利用基本不等式即可得证;【详解】解:(1)由及,得,考虑到,则有,它可化为或即或前者无解,后者的解集为,综上,的取值范围是.(2)要证明,即证,由,得,即证.因为(当且仅当,时取等号).所以成立,故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,基本不等式的应用,属于中档题.20、(1)(2)见证明【解析】
(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】(1)解:当时,不等式可化为.当时,,,所以;当时,,.所以不等式的解集是.(2)证明:由,,得,,,又,所以,即.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.21、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)先根据绝对值不等式求得的最大值,从而得到,再利用基本不等式进行证明;(2)利用基本不等式变形得,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个不等式,再进行不等式相加,即可得答案.【详解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即两边开平方得.同理可得,.三式相加,得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和推理论证能力.22、(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】
(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程,求出交点坐标,因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径,列出方程组求解即可.【详解
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