湘教版（2023）必修第二册 1.4向量的分解与坐标表示 课件+学案 （共4份打包）

第第页湘教版（2023）必修第二册1.4向量的分解与坐标表示课件+学案（共4份打包）1.4.1向量分解及坐标表示

教材要点

要点一平面向量基本定理

1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则

(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即________，其中x，y是实数．

(2)实数x，y由________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.

2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．

状元随笔平面向量基本定理的理解

是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基．

(2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解．

(3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．

要点二平面向量的正交分解与坐标表示

1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．

2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．

3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________．

状元随笔标准正交基是平面向量的一组特殊的基．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．()

(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．()

(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．()

(4)基向量可以是零向量．()

2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是()

A．与B．与

C．与D．与

3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝()

A．(a－b)B．2b－a

C．(b－a)D．2b＋a

4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________．

题型1对平面向量基本定理的理解

例1(1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有()

A．e1，e2一定平行

B．e1，e2的模相等

C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

(2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是()

A．e2和e1＋e2B．2e1－4e2和－e1＋2e2

C．e1和e1－e2D．e1＋2e2和2e1＋e2

方法归纳

对基的理解

(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．

(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．

跟踪训练1如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是()

A．B．

C．D．

题型2平面向量基本定理的应用

角度1用基表示平面向量

例2如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量.

方法归纳

用基表示向量的两种基本方法

用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．

角度2利用平面向量基本定理求参数

例3在三角形ABC中，点E，F满足＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝________．

方法归纳

(1)利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次，然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有

(2)充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．

跟踪训练2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量＝a，＝b，试用基{a，b}表示.

题型3平面向量的坐标表示

例4在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐标．

方法归纳

始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定．一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角．

跟踪训练3

(1)如图，{e1，e2}是一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为()

A．(1，3)

B．(3，1)

C．(－1，－3)

D．(－3，－1)

(2)如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示为()

A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j

易错辨析对基成立的条件理解有误

例5已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，则向量a与b共线的条件为()

A．λ＝0B．e2＝0

C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

解析：设a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，则e1＝，此时e1∥e2；若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0.∵0与任意向量平行，∴a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.故选D.

答案：D

易错警示

易错原因纠错心得

忽略基的条件“两个向量不共线”导致错误．平面内任意一对不共线的向量都可以组成表示该平面内所有向量的一组基，一定要注意“不共线”这一条件，还要注意零向量不能作为基．

1．4.1向量分解及坐标表示

新知初探·课前预习

要点一

1．不共线(1)v＝xe1＋ye2(2)v＝xe1＋ye2

要点二

1．互相垂直2.单位{i，j}3.(rcosα，rsinα)

[基础自测]

1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×

2．解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故AC满足题意．

答案：AC

3．解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.

答案：B

4．解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．

答案：(2，－3)

题型探究·课堂解透

例1解析：(1)D选项符合平面向量基本定理．故选D.

(2)e1、e2是平面内所有向量的一组基，

e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基；

e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基；

2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基；

因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基．

答案：(1)D(2)ACD

跟踪训练1解析：由基的概念可知，作为基的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基向量，与不共线，可作为基向量．

答案：B

例2解析：易得＝＝b，＝＝a，

由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.

由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.

所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基，

所以解得所以＝a＋b.

例3解析：依题意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.

答案：－

跟踪训练2解析：方法一设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b，

所以＝＝＝a－b，

＝＝a＋b.

方法二设＝x，＝y，则＝＝y，又

所以

解得

即＝a－b，＝a＋b.

例4解析：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．

a1＝|a|cos45°＝2×＝，

a2＝|a|sin45°＝2×＝，

b1＝|b|cos120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．

跟踪训练3解析：(1)因为e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．

(2)记O为坐标原点，则＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，

所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.

答案：(1)A(2)C(共29张PPT)

1.4.1向量分解及坐标表示

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点一平面向量基本定理

1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则

(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即__________，其中x，y是实数．

(2)实数x，y由___________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.

2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．

不共线

v＝xe1＋ye2

v＝xe1＋ye2

状元随笔

平面向量基本定理的理解

是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基．

(2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解．

(3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．

要点二平面向量的正交分解与坐标表示

1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．

2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．

3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________．

状元随笔

标准正交基是平面向量的一组特殊的基．

互相垂直

单位

{i，j}

(rcosα，rsinα)

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．()

(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．()

(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．()

(4)基向量可以是零向量．()

×

√

×

×

2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是()

A．与B．与

C．与D．与

答案：AC

解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故AC满足题意．

3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝()

A．(a－b)B．2b－a

C．(b－a)D．2b＋a

答案：B

解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.

4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________．

(2，－3)

解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．

题型探究·课堂解透

题型1对平面向量基本定理的理解

例1(1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有()

A．e1，e2一定平行

B．e1，e2的模相等

C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

答案：D

解析：D选项符合平面向量基本定理．故选D.

(2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是()

A．e2和e1＋e2B．2e1－4e2和－e1＋2e2

C．e1和e1－e2D．e1＋2e2和2e1＋e2

答案：ACD

解析：e1、e2是平面内所有向量的一组基，

e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基；

e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基；

2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基；

因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基．

方法归纳

对基的理解

(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．

(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．

跟踪训练1如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是()

A．B．

C．D．

答案：B

解析：由基的概念可知，作为基的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基向量，与不共线，可作为基向量．

题型2平面向量基本定理的应用

角度1用基表示平面向量

例2如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量.

解析：易得＝＝b，＝＝a，

由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.

由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.

所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基，

所以解得所以＝a＋b.

方法归纳

用基表示向量的两种基本方法

用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．

角度2利用平面向量基本定理求参数

例3在三角形ABC中，点E，F满足＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝________．

－

解析：依题意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.

方法归纳

(1)利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次，然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有

(2)充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．

跟踪训练2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量＝a，＝b，试用基{a，b}表示.

解析：方法一设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b，所以＝＝＝a－b，

＝＝a＋b.

方法二设＝x，＝y，则＝＝y，又

所以解得

即＝a－b，＝a＋b.

题型3平面向量的坐标表示

例4在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐标．

解析：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．

a1＝|a|cos45°＝2×＝，

a2＝|a|sin45°＝2×＝，

b1＝|b|cos120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．

方法归纳

始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定．一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角．

跟踪训练3

(1)如图，{e1，e2}是一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为()

A．(1，3)

B．(3，1)

C．(－1，－3)

D．(－3，－1)

答案：A

解析：因为e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．

(2)如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示为()

A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j

解析：记O为坐标原点，则＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，

所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.

答案：C

易错辨析对基成立的条件理解有误

例5已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，则向量a与b共线的条件为()

A．λ＝0B．e2＝0

C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

解析：设a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，则e1＝，此时e1∥e2；若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0.∵0与任意向量平行，∴a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.故选D.

答案：D

易错警示

易错原因纠错心得

忽略基的条件“两个向量不共线”导致错误．平面内任意一对不共线的向量都可以组成表示该平面内所有向量的一组基，一定要注意“不共线”这一条件，还要注意零向量不能作为基．?1．4.2向量线性运算的坐标表示

教材要点

要点一平面向量加、减、数乘运算的坐标表示

文字叙述符号表示

加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________

减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________

数乘一个实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标若a＝(x，y)，则λa＝__________

向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)

状元随笔(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，则＝(3，3)，＝(3，3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．

(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．

要点二中点坐标公式

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为____________．

要点三向量共线的坐标表示

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________．

状元随笔已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

(1)当≠0→时，＝λ.

这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．

(2)x1y2－x2y1＝0.

这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()

(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()

(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．()

(4)点的坐标与向量的坐标相同．()

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于()

A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)

3．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是()

A．(2，－1)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(1，－2)

4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，则点P的坐标为________．

平面向量线性运算的坐标表示

例1已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

方法归纳

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．

(2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．

跟踪训练1(1)已知向量a＝，a＋3b＝(5，－3)，则b＝()

A．(－3，2)B．(3，－2)

C．(3，0)D．(9，6)

(2)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()

A．(1，－1)B．(－1，1)

C．(－4，6)D．(4，－6)

平面向量坐标运算的应用

例2如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.

方法归纳

建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示将几何问题转化为代数问题，可以很容易地解决一些平面几何问题．

跟踪训练2如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P为CD的中点，点Q在BC上，且BQ＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求的值．

向量共线的坐标表示及应用

角度1向量共线的判定

例3判断下列各组中的向量是否平行：

(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；

(2)a＝(1，2)，b＝.

方法归纳

向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．

角度2利用向量共线的坐标表示求参数

例4已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值为()

A．B．C．1D．2

方法归纳

根据向量共线的条件求参数问题的两种思路

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)列方程组求解．

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．

角度3三点共线问题

例5(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：A，B，C三点共线；

(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？

方法归纳

利用向量解决三点共线问题的一般思路：(1)利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ；(2)利用向量运算的坐标表示得出两向量共线，再结合两向量过同一点，可得两向量所在的直线必重合，即三点共线．

跟踪训练3已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

易错辨析转换向量关系失误

例6平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．

解析：设O为坐标原点，∵＝，∴＝)．∴＝2＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．

又∵||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－.

设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，

得解得

∴点E的坐标为.

答案：

易错警示

易错原因纠错心得

不能将“||＝||，且E在DC的延长线上”转化为“＝－”而导致失误．在将模的关系转换为向量之间的关系时，均需要从方向角度加以分析，若不能确定，则需要分类讨论．

课堂十分钟

1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是()

A．(－4，2)B．(－4，－2)

C．(4，2)D．(4，－2)

2．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)且a∥b，则m＝()

A．－2B．2C．－D．

3．已知平面直角坐标系内一点P，向量＝，向量＝，那么MN中点坐标为()

A．B．

C．D．

4．设A，B，且＝3，则点D的坐标是________．

5．已知向量＝i－2j，＝2i＋μj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数μ的值，使A，B，C三点共线．

1．4.2向量线性运算的坐标表示

新知初探·课前预习

要点一

(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)

要点二

要点三

x1y2－x2y1＝0

[基础自测]

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．

答案：B

3．解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．

答案：B

4．解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，

即解得

答案：(3，4)

题型探究·课堂解透

例1解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

∴实数m的值为－1，n的值为－1.

跟踪训练1解析：(1)设b＝(m，n)，

因为a＝(－4，3)，所以a＋3b＝(－4，3)＋3(m，n)＝(－4＋3m，3＋3n)，

又a＋3b＝(5，－3)，

所以，

解得m＝3，n＝－2.

故b＝(3，－2)．

(2)因为向量4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．

答案：(1)B(2)D

例2证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．

设||＝1，则||＝1，||＝2.

因为CE⊥AB，而AD＝DC，

所以四边形AECD为正方形，

从而可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．

又因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，

＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，

所以＝，

因此∥，即DE∥BC.

跟踪训练2解析：如图，分别以边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，

点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，P(2，3)，B(4，0)，C(4，3)，Q(4，2)．

∵＝(4，3)，＝(2，3)，＝(4，2)，

由＝λ＋μ，得(4，3)＝(2λ＋4μ，3λ＋2μ)，

∴解得

∴＝.

例3解析：方法一(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，

∴a与b不平行．

(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.

方法二(1)∵≠，∴a与b不平行．

(2)∵＝，∴a∥b.

例4解析：方法一由题意得

a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，

2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．

∵(a＋2b)∥(2a－2b)，

∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.

方法二假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，

∴方程组显然无解，

∴a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，∴假设不成立，∴a，b共线，∴＝2，解得λ＝.

答案：A

例5解析：(1)因为＝＝(4，8)，

＝＝(6，12)，

所以＝，即与共线．

又与有公共点A，故A，B，C三点共线．

(2)若A，B，C三点共线，则共线．

又＝＝(4－k，－7)，

＝＝(10－k，k－12)，

所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.

解得k＝－2或k＝11.

跟踪训练3解析：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．

因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，

＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．

因为A，B，C三点共线，所以∥.

所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.

[课堂十分钟]

1．解析：3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(4，－2)．

答案：D

2．解析：∵a∥b，a＝(－2，3)，b＝(3，m)，

∴－2m－9＝0，解得m＝－.

答案：C

3．解析：由题意M点坐标为(2，－3)＋(1，2)＝(3，－1)，N点坐标为(2，－3)＋(－2，0)＝(0，－3)，

所以MN中点坐标为[(3，－1)＋(0，－3)]＝(，－2)．

答案：A

4．解析：∵A，B＝3，

所以＝＝＝，即＝，

∴＝＝＋3＝＋3＝.

答案：(－7，9)

5．解析：方法一∵A，B，C三点共线，即共线，

∴存在实数λ，使＝λ，即i－2j＝λ(2i＋μj)．

可得解得故当μ＝－4时，A，B，C三点共线．

方法二依题意得i＝(1，0)，j＝(0，1)，∴＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，＝2(1，0)＋μ(0，1)＝(2，μ)．

∵A，B，C三点共线，即共线，∴1×μ－2×(－2)＝0，解得μ＝－4.故当μ＝－4时，A，B，C三点共线．(共37张PPT)

1.4.2向量线性运算的坐标表示

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点一平面向量加、减、数乘运算的坐标表示

文字叙述符号表示

加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________

减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________

数乘一个实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标若a＝(x，y)，则λa＝__________

向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

(x1＋x2，y1＋y2)

(x1－x2，y1－y2)

(λx，λy)

状元随笔

(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，则＝(3，3)，＝(3，3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．

(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．

要点二中点坐标公式

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标

为____________．

要点三向量共线的坐标表示

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________．

x1y2－x2y1＝0

状元随笔

已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

(1)当≠0→时，＝λ.

这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．

(2)x1y2－x2y1＝0.

这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()

(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()

(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．()

(4)点的坐标与向量的坐标相同．()

×

×

√

×

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于()

A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)

答案：B

解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．

3．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是()

A．(2，－1)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(1，－2)

答案：B

解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．

4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，则点P的坐标为________．

(3，4)

解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，

即解得

题型探究·课堂解透

题型1平面向量线性运算的坐标表示

例1已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

∴实数m的值为－1，n的值为－1.

方法归纳

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．

(2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．

跟踪训练1(1)已知向量a＝，a＋3b＝(5，－3)，则b＝()

A．(－3，2)B．(3，－2)

C．(3，0)D．(9，6)

答案：B

解析：设b＝(m，n)，

因为a＝(－4，3)，所以a＋3b＝(－4，3)＋3(m，n)＝(－4＋3m，3＋3n)，

又a＋3b＝(5，－3)，所以，解得m＝3，n＝－2.

故b＝(3，－2)．

(2)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()

A．(1，－1)B．(－1，1)

C．(－4，6)D．(4，－6)

答案：D

解析：因为向量4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．

题型2平面向量坐标运算的应用

例2如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.

证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．

设||＝1，则||＝1，||＝2.

因为CE⊥AB，而AD＝DC，

所以四边形AECD为正方形，

从而可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．

又因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，

＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，

所以＝，

因此∥，即DE∥BC.

方法归纳

建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示将几何问题转化为代数问题，可以很容易地解决一些平面几何问题．

跟踪训练2如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P为CD的中点，点Q在BC上，且BQ＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求的值．

解析：如图，分别以边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，

点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，P(2，3)，B(4，0)，C(4，3)，Q(4，2)．

∵＝(4，3)，＝(2，3)，＝(4，2)，

由＝λ＋μ，得(4，3)＝(2λ＋4μ，3λ＋2μ)，

∴解得

∴＝.

题型3向量共线的坐标表示及应用

角度1向量共线的判定

例3判断下列各组中的向量是否平行：

(1)a＝(1，3)，b＝(2，4)；

(2)a＝(1，2)，b＝.

解析：方法一(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a与b不平行．

(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.

方法二(1)∵≠，∴a与b不平行．

(2)∵＝，∴a∥b.

方法归纳

向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．

角度2利用向量共线的坐标表示求参数

例4已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值为()

A．B．C．1D．2

答案：A

解析：方法一由题意得

a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，

2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．

∵(a＋2b)∥(2a－2b)，

∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.

方法二假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，

∴方程组显然无解，

∴a＋2