天津第九十二中学高三数学文联考试卷含解析

天津第九十二中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当时，；当且时，，则方程在上的根的个数为A．2 B．5 C．8 D．4参考答案：D2.已知集合为实数集，则集合A∩（?RB）=（）A．R B．（﹣∞，2） C．（1，2） D．≤0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，0] C． D．参考答案：A【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】令t=g（x），x∈，则g′（x）=2xln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈上的值域为，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f≤0对x∈恒成立，可得+（a﹣1）+a≤0，a≤2﹣1=h（t），t∈，即可得出．【解答】解：令t=g（x），x∈，则g′（x）=2xln2﹣2x设g′（x0）=0，则函数在上单调递增，在上单调递减，g（x）在x∈上的值域为，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）．∵f≤0对x∈恒成立，∴f（t）≤0，即+（a﹣1）+a≤0，a≤=2﹣1=h（t），t∈，则h（t）的最小值=2×﹣1=﹣1．∴a≤﹣1．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．3.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知，，，则，，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（

）万元x12345y1015304550

A.60 B.63 C.65 D.69参考答案：B【分析】根据表中数据求出，然后根据线性回归方程中系数的求法得到，进而得到回归方程，然后求出当时的函数值即为所求．【详解】由表中数据可得，，又回归方程中，∴，∴回归方程为．当时，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元．故选B．【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数，属于基础题．6.对于非空集合A，B，定义运算：,已知M=其中a、b、c、d满足a+b=c+d,ab<cd<0,则MN=

A．(a,d)

B．

C．

D．参考答案：D7.已知函数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设随机变量X服从正态分布N（0，1），P(X>1)=p,则P(X>－1)=（）(A)p

(B)

1－p

(C)1－2p

(D)2p

参考答案：B∵P(X<－1)=P(X>1),则P(X>－1)=1－p

.9.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是（

）A．(，+)

B.(，+)

C.(，+)

D.(0，+)参考答案：C略10.若实数满足条件，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如题图所示，过外一点作一条直线与交于两点，切于，弦过的中点。已知，则

。参考答案：略12.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5m44.56及y关于t的线性回归方程，则实验数据中m的值为

．参考答案：3【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵=5，=，∴这组数据的样本中心点是（5，），∵关于y与x的线性回归方程，∴，=0.85×5﹣0.25，解得m=3，∴m的值为3．故答案为3．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．13.关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则=．参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意可知矩阵为，对应的方程组为：，则，代入方程组，即可求得m和n的值，即可求得矩阵的值．【解答】解：矩阵为，对应的方程组为：，解得：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，∴，解得：，=，故答案为：．14.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为

参考答案：415.若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．参考答案：16.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则φ=．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象求出A，点（0，1）在函数图象上，可求出φ．【解答】解：由题设图象知：A=2，可得：f（x）=2sin（ωx+φ）∵点（0，1）在函数图象上，∴1=2sinφ．∴φ=，或φ=+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜π∴φ=故答案为：．17.给出下列命题：①是幂函数②函数的零点有个③展开式的项数是6项④函数图象与轴围成的图形的面积是⑤若，且，则其中真命题的序号是

（写出所有正确命题的编号）.参考答案：⑤略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：℃）t22℃22℃<t28℃28℃<t32℃℃天数612由于工作疏忽，统计表被墨水污染，和数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．（Ⅰ）若把频率看作概率，求，的值；（Ⅱ）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由．

高温天气非高温天气合计旺销1

不旺销

6

合计

附：

0．100．0500.0250．0100.0050．0012.7063．8415.0246．6357.87910．828参考答案：略19.在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．参考答案：（1）因为，，，所以，且．

……3分

因为，所以，即a2??2ab??b2??1，

所以，即．

……6分

（2）因为，所以．

依题意，．

……8分因为，所以．

化简得，，所以．

……12分

因为，所以．

所以，即．

……14分20.（本小题满分12分）已知函数（为参数）（1）若，求函数单调区间；（2）当时，求函数的最小值；（3）求证：参考答案：（1），定义域为当时，，令得所以的单调递增区间为，单调递减区间为------------------------4分（2）①当时，对成立，所以在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为②当时，；令（ⅰ）若，即时，则对成立，所以在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为（ⅱ）若时，在单调递减，在单调递增，在处有极小值。所以在区间上的最小值为综上，得------------------------------------------8分（3）对两边取对数，得即。令，只要证证明如下：由（1）知时，的最小值为所以又因为当时，上式等号取不到，所以------------------------------------①令则在上是增函数-----------------------------------------②所以综合①②，得令则，所以原不等式成立-----------------------------------12分21.已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）时，，

由得，

不等式的解集为.

（Ⅱ）对成立，

又对成立，，

，即.22.已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；

（2）证明：①依题意：f′（x）=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1

则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x（0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；

②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x