人教A版数学必修四讲义第3章3.13.1.2第2课时两角和与差的正切公式Word版含答案

第2课时两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生数学建模和逻辑推理的核心素养.2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算、数据分析和逻辑推理的核心素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？[提示]不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A．eq\f(7,11)B．－eq\f(7,11)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)B[tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(4＋3,1－4×3)＝－eq\f(7,11).]2．已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A．1B．2C．－2D．不确定B[∵A＋B＝45°，∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋tan45°(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝2.]3．已知tanα＝2，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝．－3[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3.]4.eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝．eq\r(3)[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).]两角和与差的正切公式的应用【例1】(1)已知tanα＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝－eq\f(2,5)，则tan(β－2α)＝()A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(1,12)C．－eq\f(9,8)D．eq\f(9,8)(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝．思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)B(2)eq\f(1,7)[(1)由已知可知tan(－α)＝－eq\f(1,2)，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝eq\f(tan（－α）－tan（α－β）,1＋tan（－α）tan（α－β）)＝eq\f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))))＝－eq\f(1,12).(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(1,3)，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,2)，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝eq\f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－eq\f(5π,4))＝eq\f(1,5)，则tanα＝．(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，则tanβ＝．(1)eq\f(3,2)(2)3[(1)因为tan(α－eq\f(5π,4))＝eq\f(1,5)，所以tanα＝tan[(α－eq\f(5π,4))＋eq\f(5π,4)]＝eq\f(tan（α－\f(5π,4)）＋tan\f(5π,4),1－tan（α－\f(5π,4)）tan\f(5π,4))＝eq\f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq\f(3,2).(2)因为cosα＝eq\f(3,5)，α为锐角，所以sinα＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(4,3)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tan（α－β）,1＋tanαtan（α－β）)＝eq\f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1)eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝．(2)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝．思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)eq\r(3)(2)－1[(1)原式＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝eq\r(3).(2)原式＝eq\f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等．要特别注意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα).2．求值：(1)eq\f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)tan23°＋tan37°＋eq\r(,3)tan23°tan37°.[解](1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－eq\f(\r(,3),3).(2)∵tan60°＝eq\r(,3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴tan23°＋tan37°＝eq\r(,3)－eq\r(,3)tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq\r(,3)tan23°tan37°＝eq\r(,3).两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα，tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a，b，c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq\f(b,a－c).【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝．(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：(1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1[∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解]∵eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，∴eq\r(3)(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(5π,6)，∴C＝eq\f(π,6).∵tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴tanB＋eq\f(\r(3),3)＋tanB＝eq\r(3)，tanB＝eq\f(\r(3),3)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(2π,3)，∴△ABC为顶角为eq\f(2π,3)的等腰三角形．1．将本例(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝eq\f(tan68°－tan23°,1＋tan68°tan23°)，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1.2．能否为本例(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解]一般结论：若α－β＝45°(α，β≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)，则tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.证明：∵tan45°＝tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）)；(3)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．应用公式T(α±β)时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，公式的适用条件是α，β，α＋β(或α－β)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)公式的变形应用只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tanα＋tanβ，tanαtanβ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．2．活用公式巧变换(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝taneq\f(π,4)来代换，以达到化简求值的目的．如eq\f(\r(,3)tanα＋\r(,3),1－tanα)＝eq\r(,3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).(2)角的变换：看到两个角的正切值应想到T(α±β)公式看到α＋β，β，α－β应想到凑角，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]等．(3)名的变换：常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或把正切化为正、余弦求解.1．下列说法不正确的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立B．对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)都成立．C．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)D．△ABC中，若tanAtanB＜0，则三角形为钝角三角形B[A对．当α＝0，β＝eq\f(π,3)时，tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,3)))＝tan0＋taneq\f(π,3)，但一般情况下不成立．B错．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．C对．当α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．D对．tanAtanB＜0，则A，B中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形．]2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．4C[∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝4