套卷山东省滕州市第二2015届高三第一学期期末考试数学理试题

山东省滕州市第二2015届高三第一学期期末考试数学理试题说明：本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答请写在答题卷相应的位置．全卷共150分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足（2+i）z=5（其中i为虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设全集，集合，则A．B． C． D．3．若是偶函数，则a的值为A． B． C． D．4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A． B． C． D．5．根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为输入xIfx≤50Theny=0．5*xElsey=25+0．6*（x-50）EndIf输出yA．61 B．31 C．30 D．256．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为零件数x（个）1020304050加工时间y（min）65■758189A．75 B．62 C．68 D．817．能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是A． B．C． D．8．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．8 B． C． D．9．设，则二项式展开式中的项的系数为A．20 B． C．160 D．10．如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点P走过的路程的函数关系分别记为，定义函数对于函数，下列结论正确的个数是①．②函数的图象关于直线对称．③函数值域为． ④函数增区间为．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．已知向量，若．则锐角=▲▲▲．12．已知实数x,y满足，则的最大值为_______．13．已知P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为椭圆右顶点，若平分线与的平分线交于点，则_______．14．已知函数，给出下列四个命题：①函数是周期函数．②函数既有最大值又有最小值．③函数的图像有对称轴．④对于任意，函数的导函数．其中真命题的序号是_______．（请写出所有真命题的序号）三、选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．本题共5分）15．（1）（极已知曲线的极坐标方程为：，曲线C上的任意一个点P的直角坐标为，则的取值范围为_______．（2）若存在实数使得成立，则实数的取值范围为_______．四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和．17．（本小题满分12分）已知角A、B、C是的三个内角，若向量，，且．（1）求的值；（2）求的最大值．18．（本小题满分12分）某市SKIPIF1<0四所报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0人数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问SKIPIF1<0四所各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的SKIPIF1<0名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生自同一所的概率；（3）在参加问卷调查的SKIPIF1<0名学生中，从自SKIPIF1<0两所的学生当中随机抽取两名学生，用SKIPIF1<0表示抽得SKIPIF1<0的学生人数，求SKIPIF1<0的分布列和期望．19．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点．（1）证明：面面；（2）求面与面夹角的余弦值．20．（本小题满分13分）已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为F1（0,3），M（x,4）（x＞0）为椭圆C上一点，△MOF1的面积为eq\f(3,2)．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数．（1）若，求证：当时，；（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围；（3）求证：．2014-2015学年度山东省滕州市第二高三第一学期期末考试数学理试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求。）题号12345678910答案ADACBCABDC二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．12．13．14．②③三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。15．（1）（2）四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）解：（1）设等差数列的公差为（），则………………2分解得…4分∴．………………5分（2）由，∴，………………6分．∴．…8分∴………………10分．………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）……3分………………6分（2）……………9分（A,B均是锐角，即其正切均为正）所求最大值为。………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）由题意知，四所报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为SKIPIF1<0．∴应从SKIPIF1<0四所抽取的学生人数分别为SKIPIF1<0．……………4分（2）（3）由（1）知，在参加问卷调查的SKIPIF1<0名学生中，自SKIPIF1<0两所的学生人数分别为SKIPIF1<0．依题意得，SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，……………8分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．……………11分∴SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……………12分19．（本小题满分12分）解以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面．又在面上，故面⊥面．……………5分（Ⅱ）解：在上取一点，则存在使要使为所求二面角的平面角．面与面夹角的余弦值．……………12分20．（本小题满分13分）解：（1）因为椭圆C的一个焦点为F1（0,3），所以b2＝a2＋9．则椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2＋9)＝1．因为x＞0，所以＝eq\f(1,2)×3×x＝eq\f(3,2)，解得x＝1．故点M的坐标为（1,4）．因为M（1,4）在椭圆上，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(16,a2＋9)＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1（不合题意，舍去），则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,18)＝1．………………6分（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y＝4x＋m（因为直线OM的斜率k＝4）．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x＋m，,\f(x2,9)＋\f(y2,18)＝1，))消去y化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0．进而得到x1＋x2＝－eq\f(8m,18)，x1x2＝eq\f(m2－18,18)．因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ＝（8m）2－4×18×（m2化简得m2＜162，解得－9eq\r(2)＜m＜9eq\r(2)．因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以＝0，所以x1x2＋y1y2＝0．又y1y2＝（4x1＋m）（4x2＋m）＝16x1x2＋4m（x1＋x2）＋m2x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m（x1＋x2）＋m2＝eq\f(17(m2－18),18)－eq\f(32m2,18)＋m2＝0．解得m＝±eq\r(102)．由于±eq\r(102)∈（－9eq\r(2)，9eq\r(2)），所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋eq\r(102)或y＝4x－eq\r(102)．…………13分21．（本小题满分14分）解：（1）f（x）＝ex－eq\f(1,2)x2，则h（x）＝f′（x）＝ex－x，∴h′（x）＝ex－1＞0（x＞0），∴h（x）＝f′（x）在（0，＋∞）上递增，∴f′（x）＞f′（0）＝1＞0，∴f（x）＝ex－eq\f(1,2)x2在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）＞f（0）＝1．（…………4分）（2）f′（x）＝ex－2kx，下面求使（x＞0）恒成立的k的取值范围．若k≤0，显然f′（x）＞0，f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增；记φ（x）＝ex－2kx，则φ′（x）＝ex－2k，当0＜k＜eq\f(1,2)时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′（x）＞0，则φ（x）在（0，＋∞）上单调递增，于是f′（x）＝φ（x）＞φ（0）＝1＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当k≥eq\f(1,2)时，φ（x）＝ex－2kx在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，＋∞）上单调递增，于是f′（x）＝φ（x）≥φ（ln2k）＝eln2k－2kln2k，由eln2k－2kln2k≥0得2k－2kln2k≥0，则eq\f(1,2)≤k≤eq\f(e,2)，综上，k的取值范围为（－∞，eq\f(e,2)]．…………9分另解：（2），下面求使（x＞0）恒成立的k的取值范围．）恒成立。记在上单调递减，在上单调递增。综上，k的取值范围为（－∞，eq\f(e,2)]．（…………9分）（3）由（1）知，对于x∈（0，＋∞），有f（x）＝ex＞eq\f(1,2)x2＋1，∴e2x＞2x2＋1，则ln（2x2＋1）＜2x，从而有ln（eq\f(2,n4)＋1）＜eq\f(2,n2)（n∈N*），于是ln（eq\f(2,14)＋1）＋ln（eq\f(2,24)＋1）＋ln（eq\f(2,34)＋1）＋…＋ln（eq\f(2,n4)＋1）＜eq\f(2,12)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(2,n2)＜eq\f(2,12)＋eq\f(2,1×2)＋…＋eq\f(2,（n－1）×n)＝2＋2（1－eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)）＝4－eq\f(2,n)＜4，故（eq\f(2,14)＋1）（eq\f(2,24)＋1）（eq\f(2,34)＋1）…（e