北师大版高中数学二课时作业检测：模块提升卷（A）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精模块提升卷（A）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面,则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析:当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C2．已知直线x－eq\r（3）y－2＝0，则该直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：直线x－eq\r（3）y－2＝0的斜率k＝eq\f（\r(3)，3），故倾斜角为30°，故选A。答案:A3．点P（2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4,则m的值为（)A．1B．－3C．1或eq\f(5，3）D．－3或eq\f(17，3)解析：利用点到直线的距离公式．答案:D4．已知0〈r〈eq\r（2)＋1，则两圆x2＋y2＝r2与（x－1)2＋(y＋1）2＝2的位置关系是（)A．外切B．相交C．外离D．内含解析：设圆(x－1）2＋（y＋1）2＝2的圆心为O′，则O′（1，－1），两圆的圆心距离|OO′｜＝eq\r（12＋－12)＝eq\r(2）。显然有｜r－eq\r（2)|〈eq\r（2）<eq\r（2)＋r.所以两圆相交．答案:B5．(2017·中山市杨仙逸中学检测）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（)A。eq\f(4\r(3）,3）πB。eq\f（1，2）πC.eq\f(\r(3),3）πD。eq\f（\r（3），6)π解析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥,圆锥的半径为1，高为eq\r(3）,故所求体积为eq\f(1，2)×eq\f(1,3)×π×12×eq\r（3)＝eq\f（\r(3)，6）π,故选D.答案：D6．若直线(1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切,则a的值为()A．1或－1B．2或－2C．1D．－1解析:圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1，0)，半径为1，依题意得eq\f（｜1＋a＋0＋1|，\r(1＋a2＋1））＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1),平方整理得a＝－1,故选D。答案：D7．(2017·银川一中期末）在空间给出下面四个命题（其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)：①m⊥α,n∥α⇒m⊥n②m∥n，n∥α⇒m∥α③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β④m∩n＝A,m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β。其中正确的命题个数有(）A．1个B．2个C．3个D．4个解析:②中m也可能在平面α内,②错，①③④正确，故选C。答案：C8．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD,则PA与BD所成角的度数为（)A．30°B．45°C．60°D．90°解析:利用正方体求解，如图所示:PA与BD所成的角,即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C.答案：C9．(2016·山西运城二模)已知圆（x－2)2＋(y＋1）2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（)A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0解析:直线x－2y＋3＝0的斜率为eq\f(1，2），已知圆的圆心坐标为（2,－1），该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2（x－2）,即2x＋y－3＝0，故选D.答案：D10．在四面体A－BCD中,棱AB,AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的（)A．垂心B．重心C．外心D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．故选A.答案：A11．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3,AC＝4，AB⊥AC，AA1A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r（10）C.eq\f（13，2）D．3eq\r（10)解析:如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝eq\f(1，2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f（1，2）AA1＝6，所以球O的半径为R＝OA＝eq\r（62＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5，2））)2)＝eq\f（13，2)。答案:C12．若过点A（4,0）的直线l与曲线（x－2）2＋y2＝1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为(）A．B．(－eq\r（3）,eq\r（3））C.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3）,3），\f（\r（3），3）)）D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3),3），\f(\r（3）,3）)）解析:设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，因为直线l与曲线（x－2）2＋y2＝1有公共点,所以圆心到直线的距离d小于或等于半径，∴d＝eq\f(|2k－4k|,\r(k2＋1))≤1,解得－eq\f（\r（3），3)≤k≤eq\f(\r（3),3）.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若直线(m＋1）x－y－（m＋5)＝0与直线2x－my－6＝0平行，则m＝________.解析:由题意知：m＋1＝eq\f（2,m）,解得：m＝1或－2.当m＝1时,两直线方程为2x－y－6＝0，两直线重合;当m＝－2时，直线为x＋y＋3＝0，x＋y－3＝0,两直线平行．答案：－214．设四棱台的上下底面都是正方形,侧面是全等的等腰梯形，且棱台的上、下底面边长与高之比为142，体积为14cm3解析:设上底边长为xcm，则下底边长为4xcm,高为2xcm,由题意知:14＝eq\f(1，3)（x2＋4x2＋16x2)×2x，解得：x＝1，即上底边长为1cm，则下底边长为4cm,高为则每个侧面都是上底边长为1cm，下底边长为4cm，高为eq\f(5,2）cm的等腰梯形，侧面积为4×eq\f（1,2)×（1＋4)×eq\f（5,2)＝25cm2,全面积为25＋1＋16＝42cm2答案：42cm15．已知圆C1：x2＋y2＝m与圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0相切，则实数m的值为________．解析：圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4）2＝62.若两圆内切,则｜C1C2|＝|r1－r2|，即eq\r（32＋－42）＝|6－eq\r（m)|，所以｜6－eq\r(m)|＝5，所以eq\r(m）＝1或11，所以m＝1或121。若两圆外切，则|C1C2｜＝r1＋r2，即eq\r(32＋－42）＝6＋eq\r(m)，解得eq\r(m)＝－1(舍去）．综上，m的值为1或121.答案：1或12116．从圆Q：(x－1）2＋（y－1)2＝1外一点P(2，3)向这个圆引切线,则切线长为________．解析：圆心Q（1，1），半径为1,∴切线长l＝eq\r(｜PQ|2－12)＝eq\r（2－12＋3－12－1）＝2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(10分)（2017·河源市高二（上)期中）轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析：如图所示，作出轴截面,因为△ABC是正三角形，所以CD＝eq\f(1，2）AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f（\r（3)，2）×4＝2eq\r（3）。因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq\f(OE,AO）＝eq\f(CD,AC)。设OE＝R,则AO＝2eq\r(3）－R，所以eq\f(R，2\r（3)－R）＝eq\f(1，2),所以R＝eq\f(2\r(3），3).所以V球＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4,3）π·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3），3）)）3＝eq\f(32\r(3）π,27)，所以球的体积等于eq\f(32\r（3)π,27）。18．（12分）直线l在两坐标轴上的截距相等，且P（4,3)到直线l的距离为3eq\r(2），求直线l的方程．解析：（1)当所求直线过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得3eq\r(2)＝eq\f(｜4k－3｜，\r（1＋k2）），解得k＝－6±eq\f（3,2)eq\r(14）.故所求直线的方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－6±\f（3，2）\r(14)）)x。(2)当直线不经过坐标原点时，设所求方程为eq\f(x，a）＋eq\f（y,a）＝1，则x＋y－a＝0。由题意可得eq\f（｜4＋3－a｜，\r（2))＝3eq\r(2)，解得a＝1或a＝13。故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.综上可知，所求直线的方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－6＋\f(3\r（14)，2)）)x或y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－6－\f(3\r(14)，2)))x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0。19．(12分)如图所示,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AD∥BC，AD⊥AB，AB＝eq\r(2),AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点．证明:（1)EF∥A1D1；(2）BA1⊥平面B1C1证明：(1)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1又因为平面B1C1EF∩平面A1D1所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF。（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，又因为B1C1⊥B所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝eq\f（\r(2)，2)，即∠A1B1F＝∠AA1B,故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C20．(12分)求圆心在直线y＝－2x上,并且经过点A(0,1)，与直线x＋y＝1相切的圆的标准方程．解析：因为圆心在直线y＝－2x上,设圆心坐标为(a，－2a),则圆的方程为（x－a)2＋（y＋2a）2＝r2.圆经过点A（0,1）且和直线x＋y＝1相切，所以有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋2a＋12＝r2，,\f（｜a－2a－1｜，\r（2）)＝r,））解得a＝－eq\f（1，3)，r＝eq\f（\r（2）,3）,所以圆的方程为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,3）))2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3）））2＝eq\f(2，9)。21．（12分)已知圆C：x2＋（y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0（m∈R)．(1)判断直线l与圆C的位置关系；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．解析：（1）直线l的方程可改写为y－1＝m(x－1）,因此直线l过定点D（1,1)，又eq\r(12＋1－12）＝1〈eq\r（5)，所以点D在圆C内，则直线l与圆C相交．(2）由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m.又k＝tan120°＝－eq\r(3），所以m＝－eq\r（3）.此时,圆心C（0，1)到直线l：eq\r(3)x＋y－eq\r（3)－1＝0的距离d＝eq\f(｜－\r（3）｜,\r（\r（3）2＋12)）＝eq\f（\r(3)，2)，又圆C的半径r＝eq\r（5）,所以|AB|＝2eq\r（r2－d2）＝2eq\r（5－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),2)))2)＝eq\r（17）。22．（12分)如图所示，在四棱锥V－ABCD中,底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。(1）求证：AB⊥平面VAD;（2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的大小．解析：（1）证明：∵底面ABCD是正方形,∴AB⊥AD。∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD