北师大版高中数学二课时作业6垂直关系8

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业8直线与平面垂直的判定|基础巩固｜(25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知直线l⊥α，α∥β，则（）A．l∥βB．lβC．l⊥βD．以上均有可能解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m,n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a,l⊥b,所以l⊥m，l⊥n,所以l⊥β.答案：C2．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是()A.eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a⊥α,bα））⇒a⊥bB.eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a∥b，⊥α)）⇒b⊥αC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a⊥b,⊥α))⇒a∥α或aαD。eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a∥α,∥α)）⇒a∥b解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D。答案:D3．ABCD－A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确;由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1;从而BD⊥AC1，即选项B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．选D。答案：D4．如图,ABCD－A1B1C1D1①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥平面ACC1,故BD⊥AC1，故②正确；同理AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥平面CB1D1答案：A5．(2017·淮安一中月考）在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA,D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．BC⊥平面PAEC．DF⊥平面PAED．AE⊥平面APC解析：因为D，F分别为AB，AC的中点,所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A项正确．又AB＝AC，PB＝PC,E为BC的中点，所以AE⊥BC，PE⊥BC,所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE，故B、C项正确．由于AE与AP不垂直（否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D.答案：D二、填空题（每小题5分,共15分)6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．

解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC,则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理,可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：47．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α,则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α;④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α。解析：①正确;对于②,若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立;④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．答案:①8．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC,CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．解析：因为PA＝PB＝PC,所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC,所以BC⊥PO。所以BC⊥平面PAO.所以BC⊥AO.同理AC⊥OB。所以O是△ABC的垂心．若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等,从而可判定O是△ABC的内心．答案：外垂内三、解答题(每小题10分，共20分）9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2,CD＝SD＝1。求证：SD⊥平面SAB。证明：∵AB∥CD，BC⊥CD,AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝eq\r(2－12＋22）＝eq\r(5）。∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA。连接BD，则BD＝eq\r（22＋12)＝eq\r（5），∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.10．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC,D为斜边AC的中点．(1）求证:SD⊥平面ABC；（2)若AB＝BC,求证：BD⊥平面SAC。证明：（1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB。又SE∩DE＝E,∴AB⊥平面SDE。又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC。又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC。（2）由于AB＝BC,则BD⊥AC，由(1）可知,SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD,又SD∩AC＝D,∴BD⊥平面SAC。｜能力提升｜（20分钟,40分）11．(2017·太原五中高二月考)已知在矩形ABCD中,AB＝2eq\r(2）,BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是（）A．1B.eq\r（2)C．2eq\r（2)D．4eq\r（2）解析：假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，连接AQ(图略)，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD，又由于PQ⊥QD，所以QD⊥平面APQ，则QD⊥AQ,即∠AQD＝90°，易得△ABQ∽△QCD，设BQ＝x，所以有x(a－x）＝8，即x2－ax＋8＝0,（*)所以当Δ＝a2－32≥0时,(＊)方程有解，因此，当a≥4eq\r(2)时，存在符合条件的点Q，所以a的最小值是4eq\r（2），故选D.答案：D12．矩形ABCD中，AB＝1,BC＝eq\r（2）,PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．解析:tan∠PCA＝eq\f(PA，AC）＝eq\f(1，\r（3))＝eq\f(\r（3），3)，∴∠PCA＝30°。答案：30°13．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,G为CC1中点，O为底面ABCD求证:A1O⊥平面GBD.证明：连接GO，A1G∵DB⊥A1A,DB⊥AC，A1A∩AC＝∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB。在矩形A1ACC1中，设A1A∵tan∠AA1O＝eq\f（\r(2)，2)，tan∠GOC＝eq\f(\r(2)，2)，∴∠AA1O＝∠GOC,则∠A1OA＋∠GOC＝90°，∴A1O⊥OG。∵OG∩DB＝O，∴A1O⊥平面GBD.14．如图，AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足．(1）求证：AN⊥平面PBM；（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直