北师大版高中数学2-3第三章统计案例.3可线性化的回归分析导学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3可线性化的回归分析自主整理1。在具体问题中，我们首先应该作出原始数据（x,y）的________________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合。2。对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程。高手笔记1。幂函数曲线y=axb.作变换μ=lny,v=lnxc=lna,得线性函数μ=c+bv.2。指数曲线y=aebx.作变换μ=lny,c=lna，得线性函数μ=c+bx.3.倒指数曲线y=aebx。作变换μ=lny,c=lna，v=，得线性函数μ=c+bv。4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx，得线性函数y=a+bv。名师解惑如何根据原始数据求拟合函数？剖析:(1）可先由原始数据作散点图.(2）对于一些函数模型的图形要熟悉.如：①幂函数y=axb型的图象为:②指数曲线y=aebx（3)倒指数曲线y=aebx(4）对数曲线y=a+blnx(3）由散点图找出拟合函数的类型.（4）将非线性函数转化为线性函数.（5）求出回归方程.讲练互动【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足函数关系模型为y=aebx，确定这个函数解析式.月份x123456人数y526168747883分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出。解：设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx。由已知X123456μ=lny3。954。114.224.3044。35674。4188=21，=25。3595，2=91,2=107。334,=90。3413，=3.5，=4。22658,b===0.09，c=-b=4。22658—0.09×3。5=3.91158，∴μ=3.91158+0.09x。∴y=e3。91158·e0.09x。绿色通道:基础模型为指数型，可两边取对数转化为线性函数关系，求出回归方程..变式训练1。某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1。2万件、1.3万件、1.37万件,为了估测以后每个月的产量，可用函数y=aebx来模拟该产品的月产量y与月份x的关系，求模拟函数。解：设μ=lny,c=lna，则μ=c+bx。月份x1234产量y11.21。31。37x1234μ00.18230。26240.3148=10,=0。7595，2=30，2=0.2012，μi=2。411，=2.5,=0。1899,b====0。10245，c=-b=0.1899—0。10245×2.5=—0.066，∴μ=—0。066+0.10245x。y=e-0.066·e0.10245x。【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)画出散点图。(2）能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（3)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常?解：（1)作散点图。（2)从散点图可看出函数模型为y=aebx型.设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.x60708090100110μ1.8132.0672。30162。4972。70942.862x120130140150160170μ3.0413.29063.43753.65973.85544。0082xi=1380，μi=35.5424，xi2=173000,xiμi=4369.249，=115，=2。9619,b==0。0197，c=-b=2.9619-0。0197×115=0。6964，∴μ=0。6964+0.0197x，y=e0.6964·e0。0197x.当x=175时,μ=4。1439，∴y=eμ=e4.1439=63。048.=1。237＞1.2,此男子偏胖。绿色通道:根据给出的数据，画出散点图,选择散点图所符合的函数模型再转化为线性关系解答。变式训练2。一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表:温度x/℃21232527293235产卵个数y/个711212466115325求y与x之间的回归方程.解：（1）画出散点图。两变量符合指数函数y=aebx.令μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.x21232527293235μ1。9462.3983。0453。1784。1904。7455.784=192，=25.286，=5414，μi=733.741，=27。4286，=3。6123.b==0.272,c=-b=-3。843，∴μ=3。843+0。272x。y=e—3.843·e0.272x.同步测控我夯基，我达标1.设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的关系为y=cekx，其中c、k为常量,如果某游客从大气压为1。01×105Pa的海平面地区,到了海拔为2400m、大气压为0。90×105Pa的一个高原地区,则k与c的取值分别是()解析:将和分别代入y=cekx,得答案:A2。我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示.年份1990199119921993产值/亿元18598.421662。526651.934560。5年份1994199519961997产值/亿元46670.057494。966850。573142.7年份199819992000产值/亿元76967。180422.889404。0则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为（）A。y=aekxB。y=a+bxC.y=axbD。y=ae解析:画出散点图观察,可用y=a+bx刻画国民生产总值发展变化的趋势。答案：B3。下列数据x，y符合哪一种函数模型（)x12345678910y22。6933.383.63.844.084。24.3A。y=2+13xB。y=2exC。y=2eD.y=2+lnx解析：取x=1，2，…，10分别代入各解析式判断.答案：D4.指数曲线y=aebx的图象为（）解析:∵y=aebx，∴a＞0时y＞0，排除A、C，且x∈R,排除D,选B.答案：B5。倒指数曲线y=ae的图象为()解析:y=a,当a＞0，b＞0时，图象为A.答案：A6。幂函数曲线y=xb,当b＞1时的图象为(）解析：当b＞1时，图象为A，当0＜b＜1时为B,当b＜0时为C,当b=1时为D。答案:A7。x、y满足x0。20.61。01。21。41.61。82。02.2y0。040。3611.41。92.53.23.984.82则x、y之间符合函数模型____________________________.解析：画出散点图,形如y=xb，其中b=2。答案：y=x28。x、y满足x—2—1.5-1-0。500.51y0.260。350。510.711.11.412。05则x、y之间符合函数模型____________________________.解析：画出散点图，形如y=a·ebx，其中a=2,b=1.答案：y=exln2我综合，我发展9.若x,y满足x0。10.20.30。512345y2096420。940.650。510。45则x,y满足函数关系为____________________________。解析:画出散点图，形如y=,其中b=2.答案:y=10.若x、y满足x0.40。512y0.0820.1350。36780.607x5102030y0.81870.90480。9510。9675则x、y满足函数关系是____________________________.解析：画出散点图，当x无限大时，y逐渐接近于1，符合函数模型y=aebx。其中a=1，b=-1。答案：y=11。为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下:天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190（1）作出y关于x的散点图.（2）写出y关于x的模拟函数。解:（1)作散点图。（2）由散点图知x、y之间满足函数关系为y=aebx。设μ=lny，c=lna,则μ=c+bx.x123456μ1。79182.48493.21893。89184。55395.2470=21,=21。1883,2=91,μi=86.237，=3.5，=3.5314，b====0.69,c=-b=3。5314-0.69×3.5=1.1159,∴c=1.1159+0.69x.∴y=e1.1159·e0.69x。12.我国1950—1959年人口数据资料如下表：年份19501951195219531954时间t01234人数y/万人5519656300574825879660266年份19551956195719581959时间t56789人数y/万人6145662828645636599467207若y与t之间满足y=aebt关系,求函数解析式;若按此增长趋势估计大约在哪一年我国人口达到14亿？解:设μ=lny，c=lna,则μ=c+bt。t0123μ10。918610。938410。959210。9818t4567μ11.006511。026111.048211.0754t89μ11.097311.1155=45，=110.1670，=285，μi=497。5936，=4.5,=11。0167,b===0。0223,c=-b=11.0167—0.0223×4。5=10。9164，∴μ=10。9164+0.0223t.y=e10。9164+0。0223t。令y=140000万,则10.9164+0。0223t=ln140000=11。8494,∴t=41.8385。即大约在1950年后的第42年(即1992年）我国人口达到14亿,由此看来,计划生育是我国的基本国策。我创新，我超越13。在平炉炼钢中，由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含量不断下降。现测得含碳量y（百分比)与熔化时间t（小时)的关系如下表：时间t5.05.25.45.65。86。0含碳量y(百分比)9.737.466。044.352.742。06时间t6.26。46.66.87含碳量y(百分比）1.480.980。570.410。25求回归方程。分析:画出散点图观察样本点分布在一条指数函数曲线