湘教版（2023） 必修第二册4.1空间的几何体 课件+学案（共6份打包）

第第页湘教版（2023）必修第二册4.1空间的几何体课件+学案（共6份打包）4.1.1几类简单几何体(1)

教材要点

要点一空间几何体

1．空间几何体的定义

如果我们只考虑物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体．

2．空间几何体的分类

多面体旋转体

定义由若干个____________(包括三角形)所围成的封闭体．把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条________旋转而成的几何体．

图形

相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：两个面的公共边；顶点：棱和棱的交点．轴：定直线称为旋转轴．

状元随笔(1)任意一个几何体都是由点、线、面构成的．点、线、面是构成几何体的基本元素．

我们还可以从运动的观点来理解空间基本图形之间的关系．在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．即点动成线，线动成面，面动成体．

(2)多面体与旋转体的异同

相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．

不同点：多面体的表面是平面多边形，旋转体的侧面是曲面，底面为圆．

要点二多面体

多面体定义图形及表示相关概念特殊几何体

棱柱有两个面互相平行，其余各面都是______________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的几何体叫作棱柱．如图可记作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相________的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两个侧面的公共边；顶点：侧棱与底面的公共点．直棱柱：侧面都是________的棱柱；正棱柱：底面是________多边形的直棱柱；长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱；正方体：所有棱长都相等的长方体；平行六面体：两个底面是平行四边形的棱柱．

棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，这样的几何体叫作棱锥．如图可记作：棱锥SABCD侧面：具有一个________的三角形的面；顶点：这个公共点；侧棱：相邻两个侧面的公共边；底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面．正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面放置后，它的顶点又在过正多边形________的铅垂线上．

棱台过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面________的平面去截棱锥，截面和棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台．如图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边．正棱台：由正棱锥截得的棱台．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)棱柱的所有侧棱都平行且相等．()

(2)棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形．()

(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()

(4)正三棱锥也称为正面体．()

2．下面图形中，为棱锥的是()

A.①③B．①③④

C．①②④D．①②

3．下列图形中，是棱台的是()

4．下面属于多面体的是________(填序号)．

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

题型1棱柱的结构特征

例1(1)下面的几何体中是棱柱的有()

A.3个B．4个

C．5个D．6个

(2)(多选)下列关于棱柱的说法中正确的是()

A．所有的面都是平行四边形

B．每一个面都不会是三角形

C．两底面平行，并且各侧棱也平行

D．被平面截成的两部分可以都是棱柱

方法归纳

判断棱柱的两种方法

1．扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

2．举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.

题型2棱锥、棱台的结构特征

例2(1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是()

A．棱台的侧面一定不会是平行四边形

B．棱锥的侧面只能是三角形

C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥

D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥

(2)

如图，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是()

A．三棱锥

B．四棱锥

C．三棱柱

D．三棱台

方法归纳

判断棱锥、棱台形状的两种方法

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

题型多面体的平面展开图

例3(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()

(2)

如图所示，长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？

方法归纳

判断棱柱的两种方法

1．绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．

跟踪训练1(多选)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()

易错辨析凭直观感觉判断几何体致误

例4对如图所示的几何体描述正确的是________(填序号)．

①这是一个六面体；

②这是一个四棱台；

③这是一个四棱柱；

④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；

⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．

解析：因为该几何体有六个面，属于六面体，①正确．因为侧棱的延长线不能交于一点，②错误．如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱，③正确．④⑤都正确，如图(1)(2)所示．

答案：①③④⑤

易错警示

易错原因纠错心得

易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，错选②.解答关于空间几何体概念的判断时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切记勿只凭图形主观臆断．

课堂十分钟

1．(多选)下列命题中，正确的命题是()

A．棱柱的侧面都是平行四边形

B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点

C．多面体至少有四个面

D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

2．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()

A．四边形B．三角形

C．三角形或四边形D．不可能为四边形

3．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()

4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．

5.

如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．

4．1.1几类简单几何体(1)

新知初探·课前预习

要点一

1．形状大小

2．平面多边形定直线

要点二

平行四边形平行平行矩形正公共顶点公共顶点中心平行

[基础自测]

1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×

2．解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．

答案：C

3．解析：由棱台的定义知，A、D项的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B项中两个面不平行，不是棱台，只有C项符合棱台的定义．

答案：C

4．解析：①②属于多面体，③④属于旋转体．

答案：①②

题型探究·课堂解透

例1解析：(1)棱柱有三个特征：1〉有两个面相互平行；2〉其余各面是四边形；3〉侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合．

(2)棱柱的底面不一定是平行四边形，A错误；

棱柱的底面可以是三角形，B错误；

由棱柱的定义易知，C正确；

棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，D正确．所以正确说法的序号是CD.

答案：(1)C(2)CD

例2解析：(1)棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A项正确；由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B项正确；由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，C项正确；如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D项错误．

(2)由题图知，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′BB′C′C.

答案：(1)ABC(2)B

例3解析：(1)因为是对面图案均相同的正方体礼品盒，所以当盒子展开后相同的图案就不可能靠在一起，只有A中没有相同的图案靠在一起．

(2)依题意，长方体ABCDA1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．

展开后，A，C1两点间的距离分别为：＝(cm)，＝4(cm)，＝3(cm)，三者比较得cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．

答案：(1)A(2)见解析

跟踪训练1解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现A、B可折成正四面体，C、D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．

答案：CD

[课堂十分钟]

1．解析：根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B项均为真命题；对于C项，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C项也是真命题；对于D项，只有当截面与底面平行时才对．

答案：ABC

2．解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．

答案：C

3．解析：动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．

答案：C

4．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．

答案：53

5．解析：(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．

(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．

截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．(共34张PPT)

4.1.1几类简单几何体(1)

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点一空间几何体

1．空间几何体的定义

如果我们只考虑物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体．

形状

大小

2．空间几何体的分类

多面体旋转体

定义由若干个____________(包括三角形)所围成的封闭体．把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条________旋转而成的几何体．

图形

相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：两个面的公共边；顶点：棱和棱的交点．轴：定直线称为旋转轴．

平面多边形

定直线

状元随笔

(1)任意一个几何体都是由点、线、面构成的．点、线、面是构成几何体的基本元素．

我们还可以从运动的观点来理解空间基本图形之间的关系．在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．即点动成线，线动成面，面动成体．

(2)多面体与旋转体的异同

相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．

不同点：多面体的表面是平面多边形，旋转体的侧面是曲面，底面为圆．

要点二多面体

多面体定义图形及表示相关概念特殊几何体

棱柱有两个面互相平行，其余各面都是___________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的几何体叫作棱柱．如图可记作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相______的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两个侧面的公共边；顶点：侧棱与底面的公共点．直棱柱：侧面都是______的棱柱；

正棱柱：底面是_____多边形的直棱柱；

长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱；

正方体：所有棱长都相等的长方体；

平行六面体：两个底面是平行四边形的棱柱．

平行四边形

平行

平行

矩形

正

棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，这样的几何体叫作棱锥．如图可记作：棱锥S-ABCD侧面：具有一个________的三角形的面；顶点：这个公共点；侧棱：相邻两个侧面的公共边；底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面．正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面放置后，它的顶点又在过正多边形________的铅垂线上．

公共顶点

公共顶点

中心

棱台过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面________的平面去截棱锥，截面和棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台．如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边．正棱台：由正棱锥截得的棱台．

平行

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)棱柱的所有侧棱都平行且相等．()

(2)棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形．()

(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()

(4)正三棱锥也称为正面体．()

√

√

×

×

2．下面图形中，为棱锥的是()

A.①③B．①③④

C．①②④D．①②

答案：C

解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．

3．下列图形中，是棱台的是()

答案：C

解析：由棱台的定义知，A、D项的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B项中两个面不平行，不是棱台，只有C项符合棱台的定义．

4．下面属于多面体的是________(填序号)．

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

①②

解析：①②属于多面体，③④属于旋转体．

题型探究·课堂解透

题型1棱柱的结构特征

例1(1)下面的几何体中是棱柱的有()

A.3个B．4个

C．5个D．6个

答案：C

解析：(1)棱柱有三个特征：1〉有两个面相互平行；2〉其余各面是四边形；3〉侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合．

(2)(多选)下列关于棱柱的说法中正确的是()

A．所有的面都是平行四边形

B．每一个面都不会是三角形

C．两底面平行，并且各侧棱也平行

D．被平面截成的两部分可以都是棱柱

解析：棱柱的底面不一定是平行四边形，A错误；

棱柱的底面可以是三角形，B错误；

由棱柱的定义易知，C正确；

棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，D正确．所以正确说法的序号是CD.

答案：CD

方法归纳

判断棱柱的两种方法

1．扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

2．举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.

题型2棱锥、棱台的结构特征

例2(1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是()

A．棱台的侧面一定不会是平行四边形

B．棱锥的侧面只能是三角形

C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥

D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥

解析：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A项正确；由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B项正确；由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，C项正确；如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D项错误．

答案：ABC

(2)如图，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是()

A．三棱锥

B．四棱锥

C．三棱柱

D．三棱台

答案：B

解析：由题图知，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.

方法归纳

判断棱锥、棱台形状的两种方法

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

题型多面体的平面展开图

例3(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()

答案：A

解析：因为是对面图案均相同的正方体礼品盒，所以当盒子展开后相同的图案就不可能靠在一起，只有A中没有相同的图案靠在一起．

(2)如图所示，长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？

解析：(1)因为是对面图案均相同的正方体礼品盒，所以当盒子展开后相同的图案就不可能靠在一起，只有A中没有相同的图案靠在一起．

(2)依题意，长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．

展开后，A，C1两点间的距离分别为：＝(cm)，＝4(cm)，＝3(cm)，三者比较得cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．

方法归纳

判断棱柱的两种方法

1．绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．

跟踪训练1(多选)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()

答案：CD

解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现A、B可折成正四面体，C、D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．

易错辨析凭直观感觉判断几何体致误

例4对如图所示的几何体描述正确的是________(填序号)．

①这是一个六面体；

②这是一个四棱台；

③这是一个四棱柱；

④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；

⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．

①③④⑤

解析：因为该几何体有六个面，属于六面体，①正确．因为侧棱的延长线不能交于一点，②错误．如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱，③正确．④⑤都正确，如图(1)(2)所示．

易错警示

易错原因纠错心得

易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，错选②.解答关于空间几何体概念的判断时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切记勿只凭图形主观臆断．

课堂十分钟

1．(多选)下列命题中，正确的命题是()

A．棱柱的侧面都是平行四边形

B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点

C．多面体至少有四个面

D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

答案：ABC

解析：根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B项均为真命题；对于C项，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C项也是真命题；对于D项，只有当截面与底面平行时才对．

2．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()

A．四边形B．三角形

C．三角形或四边形D．不可能为四边形

答案：C

解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．

3．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()

答案：C

解析：动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．

4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．

5

3

解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．

5.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．

解析：(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．

(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．

截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．几类简单几何体(2)

教材要点

要点一旋转体

名称定义相关概念图形表示法

圆柱将________________(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱．轴：边AB所在直线；底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面；侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面；母线：边CD(圆柱有无数条母线)．图中圆柱表示为圆柱AB

圆锥将________________(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥．轴：直角边AB所在直线；顶点：点A；底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面；侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面；母线：斜边AC(圆锥有无数条母线)．图中圆锥表示为圆锥AB

圆台将________________(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台．轴：腰BC所在直线；底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面；侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面；母线：腰AD(圆台有无数条母线)．图中圆台表示为________

球将圆心为O的________(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球．球面：半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面；球的半径：原半圆的半径．图中的球表示为球O

状元随笔(1)以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．

(3)球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．

要点二简单组合体

1．简单组合体的定义

由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．

2．简单组合体的两种基本形式

(1)由简单几何体________而成；

(2)由简单几何体____________一部分而成．

状元随笔要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．()

(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．()

(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()

(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．()

2．(多选)下列说法正确的是()

A．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B．圆锥的侧面展开图是一个扇形

C．圆台的侧面展开图是一个梯形

D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径

3．如图所示，其中为圆柱体的是()

4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是____________________．

题型1旋转体的结构特征

例1(1)(多选)下列命题中正确的有()

A．在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线

B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线

C．在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

D．圆柱的任意两条母线相互平行

(2)下列说法正确的是()

A．球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体

B.球的直径是球面上任意两点间的连线

C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆

D．空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球

方法归纳

1．判断简单旋转体结构特征的方法

(1)明确由哪个平面图形旋转而成．

(2)明确旋转轴是哪条直线．

2．简单旋转体的轴截面及其应用

(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()

A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥

D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

题型2简单组合体的结构特征

例2请描述如图所示的几何体是如何形成的．

方法归纳

判断组合体构成的方法

(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．

(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．

跟踪训练2一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体是()

A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱

C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台

(2)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是________．(填序号)

题型3空间几何体中的计算问题

角度1有关旋转体的侧面展开图的计算

例3如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

方法归纳

解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：

角度2简单几何体中的有关计算

例4如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．

方法归纳

(1)画出圆锥的轴截面．

(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．

角度3球的截面问题

例5已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．

方法归纳

利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．

跟踪训练3已知一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2，求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

易错辨析对旋转体的结构特征理解不到位致错

例6(多选)下列结论中正确的是()

A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球

B．直角三角形绕一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥

C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

解析：半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，故A错误；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；将圆锥截去小圆锥，则截面必须与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确．

答案：BD

易错警示

易错原因纠错心得

(1)混淆球与球面的概念，导致多选了A致错．(2)忽视两个平行截面是否与上、下两个底面平行的问题而错选C.正确理解旋转体的结构特征，尤其对球与球面的理解．

课堂十分钟

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()

A．圆柱B．圆锥

C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

2．旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是()

3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比为1∶4.若截去的圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为()

A．1cmB．3cm

C．12cmD．9cm

4．两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．

5．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

几类简单几何体(2)

新知初探·课前预习

要点一

矩形ABCD直角三角形ABC直角梯形ABCD圆台BC半圆

要点二

2．(1)拼接(2)截去或挖去

[基础自测]

1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

2．解析：A、B、D项正确，C项不正确，因为圆台的侧面展开图是一个扇环．

答案：ABD

3．解析：B、D项不是旋转体，首先被排除．又A项不符合圆柱体的定义，只有C项符合，所以选C.

答案：C

4．解析：由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱．

答案：一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱

题型探究·课堂解透

例1解析：(1)A中所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符合；C项中所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义；BD项符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选BD.

(2)球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，A项正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，B错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，C错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，D项错误．

答案：(1)BD(2)A

跟踪训练1解析：A项以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；B项它们的底面为圆面；C、D正确．

答案：CD

例2解析：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；

②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；

③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．

跟踪训练2解析：(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°得到的旋转体为两个同底的圆锥的组合体．

(2)当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径时，截面如图⑤.

答案：(1)C(2)①⑤

例3解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．

∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，

∴AB′＝＝＝2，

∴蚂蚁爬行的最短距离为2.

例4解析：

设圆台O′O的母线长为lcm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm，4rcm，过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.

所以＝.所以＝＝.

解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9cm.

例5

解析：如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，

则＝8－5＝3即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，

又d1－d2＝1，

∴解得

∴R＝＝＝3，

即球的半径等于3.

跟踪训练3解析：(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．

由题意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰长AB＝12cm，所以圆台的高AM＝＝3(cm)．

(2)如上图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm，

则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

[课堂十分钟]

1．答案：C

2．答案：A

3．解析：

示意图如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x，4x.根据相似三角形的性质可得＝，解得y＝9，所以圆台的母线长为9cm.故选D.

答案：D

4．解析：当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3cm，底面半径为4cm；

当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4cm，底面半径为3cm.

答案：3cm，4cm或4cm，3cm

5．解析：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．(共38张PPT)

几类简单几何体(2)

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点一旋转体

名称定义相关概念图形表示法

圆柱将___________(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱．轴：边AB所在直线；底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面；侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面；母线：边CD(圆柱有无数条母线)．

图中圆柱表示为圆柱AB

矩形ABCD

圆锥将_____________(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥．轴：直角边AB所在直线；顶点：点A；底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面；侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面；母线：斜边AC(圆锥有无数条母线)．

图中圆锥表示为圆锥AB

直角三角形ABC

圆台将_____________(及其内部)绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台．轴：腰BC所在直线；底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面；侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面；母线：腰AD(圆台有无数条母线)．

图中圆台表示为________

直角梯形ABCD

圆台BC

球将圆心为O的_______(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球．球面：半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面；球的半径：原半圆的半径．

图中的球表示为球O

半圆

状元随笔

(1)以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．

(3)球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．

要点二简单组合体

1．简单组合体的定义

由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．

2．简单组合体的两种基本形式

(1)由简单几何体________而成；

(2)由简单几何体____________一部分而成．

状元随笔

要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．

拼接

截去或挖去

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．()

(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．()

(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()

(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．()

×

×

×

√

2．(多选)下列说法正确的是()

A．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B．圆锥的侧面展开图是一个扇形

C．圆台的侧面展开图是一个梯形

D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径

答案：ABD

解析：A、B、D项正确，C项不正确，因为圆台的侧面展开图是一个扇环．

3．如图所示，其中为圆柱体的是()

答案：C

解析：B、D项不是旋转体，首先被排除．又A项不符合圆柱体的定义，只有C项符合，所以选C.

4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是_____________________________．

一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱

解析：由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个正六棱柱中挖去一个等高的圆柱．

题型探究·课堂解透

题型1旋转体的结构特征

例1(1)(多选)下列命题中正确的有()

A．在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线

B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线

C．在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

D．圆柱的任意两条母线相互平行

答案：BD

解析：A中所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符合；C项中所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义；BD项符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选BD.

(2)下列说法正确的是()

A．球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体

B.球的直径是球面上任意两点间的连线

C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆

D．空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球

解析：球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，A项正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，B错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，C错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，D项错误．

答案：A

方法归纳

1．判断简单旋转体结构特征的方法

(1)明确由哪个平面图形旋转而成．

(2)明确旋转轴是哪条直线．

2．简单旋转体的轴截面及其应用

(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()

A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥

D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

答案：CD

解析：A项以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；B项它们的底面为圆面；C、D正确．

题型2简单组合体的结构特征

例2请描述如图所示的几何体是如何形成的．

解析：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；

②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；

③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．

方法归纳

判断组合体构成的方法

(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．

(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．

跟踪训练2(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体是()

A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱

C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台

答案：C

解析：一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°得到的旋转体为两个同底的圆锥的组合体．

(2)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是________．(填序号)

①⑤

解析：当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径时，截面如图⑤.

题型3空间几何体中的计算问题

角度1有关旋转体的侧面展开图的计算

例3如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．

∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，

∴AB′＝＝＝2，

∴蚂蚁爬行的最短距离为2.

方法归纳

解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：

角度2简单几何体中的有关计算

例4如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．

解析：设圆台O′O的母线长为lcm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm，4rcm，过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.

所以＝.所以＝＝.

解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9cm.

方法归纳

(1)画出圆锥的轴截面．

(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．

角度3球的截面问题

例5已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．

解析：如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，

则＝8－5＝3即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，

又d1－d2＝1，

∴解得

∴R＝＝＝3，

即球的半径等于3.

方法归纳

利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．

跟踪训练3已知一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2，求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解析：(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．

由题意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰长AB＝12cm，所以圆台的高AM＝＝3(cm)．

(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm，

则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

易错辨析对旋转体的结构特征理解不到位致错

例6(多选)下列结论中正确的是()

A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球

B．直角三角形绕一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥

C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

答案：BD

解析：半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，故A错误；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；将圆锥截去小圆锥，则截面必须与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确．

易错警示

易错原因纠错心得

(1)混淆球与球面的概念，导致多选了A致错．(2)忽视两个平行截面是否与上、下两个底面平行的问题而错选C.正确理解旋转体的结构特征，尤其对球与球面的理解．

课堂十分钟

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()

A．圆柱B．圆锥

C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

答案：C

2．旋转后形成的几何体如图所示的平面图形是()

答案：A

3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比为1∶4.若截去的圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为()

A．1cmB．3cm

C．12cmD．9cm

解析：示意图如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x，4x.根据相似三角形的性质可得＝，解得y＝9，所以圆台的母线长为9cm.故选D.

答案：D

4．两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．

答案：3cm，4cm或4cm，3cm

解析：当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3cm，底面半径为4cm；当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4cm，底面半径为3cm.

5．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

解析：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．4.1.2空间几何体的直观图

教材要点

要点斜二测画法的规则

(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y＝________(或________)，∠x′O′z′＝90°，∠x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

(3)已知图形中平行于x轴，y轴，或z轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴，y′轴或z′轴的线段．

(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度________，平行于y轴的线段，长度______________．

状元随笔(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；

(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化．

斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．()

(2)两条相交直线的直观图可能是平行直线．()

(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观图中仍垂直．()

(4)正方形的直观图为平行四边形．()

2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()

A．①②B．①②③

C．②⑤D．③④⑤

3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()

A.正方形

B．矩形

C．菱形

D．一般的平行四边形

4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

题型1画水平放置的平面图形的直观图

例1如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．

方法归纳

平面图形的直观图的技巧

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．

跟踪训练1画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．

题型2空间几何体直观图的画法

例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．

方法归纳

(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；

(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出．

跟踪训练2画底面半径为2，高为5的圆柱的直观图．

题型3平面图形与其直观图的关系

例3如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求水平放置的梯形ABCD的直观图的面积．

方法归纳

平面多边形与其直观图面积间的关系

若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．

跟踪训练3如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是()

A．

B．1

C．

D．2

易错辨析忽略斜二测画法的规则致误

例4如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．

解析：方法一延长A′D′交O′x′于点E′.如图，画平面直角坐标系xOy，取OE＝O′E′，过点E作EF∥y轴，在EF上截取AE＝2A′E′，

AD＝2A′D′＝8，再过点D作DC∥x轴，过点A作AB∥x轴，并截取DC＝D′C′＝2，AB＝A′B′＝5.连接BC，得直观图A′B′C′D′的原四边形ABCD.由作法得S四边形ABCD＝×(2＋5)×8＝28.

方法二因为A′D′＝4，所以梯形A′B′C′D′的高为2，故S梯形A′B′C′D′＝×2×(2＋5)＝7，则S四边形ABCD＝2×S梯形A′B′C′D′＝28.

答案：28

易错警示

易错原因纠错心得

忽略与y轴平行的线段即A′D′长度的变化而致误．错误答案：14.在斜二测画法中，与y轴平行的线段长度为原来的一半，且∠x′O′y′变为45°，做题时千万不要忽略这点．

课堂十分钟

1．(多选)利用斜二测画法得到的直观图有以下结论，其中正确的是()

A．三角形的直观图是三角形

B．平行四边形的直观图是平行四边形

C．正方形的直观图是正方形

D．菱形的直观图是菱形

2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()

3.

水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个()三角形．

A．等边

B．三边互不相等的

C．三边中只有两边相等的等腰

D．直角

4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．

5．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，求这个平行四边形的面积．

4．1.2空间几何体的直观图

新知初探·课前预习

要点

(2)45°135°(3)平行(4)不变取原来的一半

[基础自测]

1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√

2．解析：由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．故选C.

答案：C

3．解析：如图，在原图形OABC中，

应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，

CD＝C′D′＝2cm，

所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，

故四边形OABC是菱形，故选C.

答案：C

4．解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5.

答案：2.5

题型探究·课堂解透

例1解析：画法步骤：

(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.

(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

跟踪训练1解析：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．

(3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．

例2解析：(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．

跟踪训练2解析：画法：(1)画轴．画出x轴，y轴，z轴．

(2)在z轴上取点O′，使OO′等于5个单位长度，过O′作x轴的平行线O′x′，过O′作y轴的平行线O′y′.在x轴，x′轴上分别取点A，B，A′，B′，使OA＝OB＝O′A′＝O′B′＝2个单位长度，在y轴，y′轴上分别取C，D，C′，D′，使OC＝OD＝O′C′＝O′D′＝1个单位长度，画两个圆(椭圆形)，即底面圆O和底面圆O′.

(3)连线．连接AA′，BB′，并擦去辅助线，则得到圆柱OO′.

例3

解析：方法一在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，水平放置的梯形ABCD的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作D′E′⊥A′B′于E′，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形A′B′C′D′的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.

方法二因为梯形ABCD的面积为＝，所以直观图的面积为＝.

跟踪训练3解析：

如图所示，因为Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中斜边O′B′＝2，所以O′A′＝，

根据斜二测画法的规则，可得OB＝O′B′＝2，OA＝2O′A′＝2，

所以直角△OAB的面积为S＝×2×2＝2.

答案：D

[课堂十分钟]

1．解析：由斜二测画法规则知：A项正确；平行性不变，故B项正确；正方形的直观图是平行四边形，C项错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故D项错误．

答案：AB

2．解析：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，如图①，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先作出对应的A点和B点，

再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图如图②所示，故选C.

答案：C

3．解析：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，

∵A′O′＝，∴AO＝，

∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，

∴AB＝AC＝＝2，

∴△ABC为正三角形．

答案：A

4．解析：因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，

按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.

答案：45°或135°

5．解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.(共34张PPT)

4.1.2空间几何体的直观图

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

教材要点

要点斜二测画法的规则

(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y＝________(或________)，∠x′O′z′＝90°，∠x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

(3)已知图形中平行于x轴，y轴，或z轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴，y′轴或z′轴的线段．

(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度________，平行于y轴的线段，长度______________．

45°

135°

平行

不变

取原来的一半

状元随笔

(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；

(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化．

斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．()

(2)两条相交直线的直观图可能是平行直线．()

(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观图中仍垂直．()

(4)正方形的直观图为平行四边形．()

√

×

×

√

2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()

A．①②B．①②③

C．②⑤D．③④⑤

答案：C

解析：由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．故选C.

3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()

A.正方形

B．矩形

C．菱形

D．一般的平行四边形

答案：C

解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2cm，

所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，故选C.

4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

2.5

解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5.

题型探究·课堂解透

题型1画水平放置的平面图形的直观图

例1如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．

解析：画法步骤：

(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.

(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

方法归纳

平面图形的直观图的技巧

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上