高中数学人教A版（2023）必修2 第六章 平面向量基本定理及其坐标表示（一）章节综合练习题（答案+解析）

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平面向量基本定理及其坐标表示

一、选择题

1．（2023高三上·广州月考）在中，为的重心，满足，则（）

A．B．C．0D．-1

2．（2023高一下·黔西期末）如图，在中，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（）.

A．2B．C．3D．4

3．（2022高一下·如皋月考）若向量，，则（）

A．B．C．D．

4．（2022高二上·九龙期末）在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（）

A．（3，1，﹣2）B．（-3，1，2）

C．（-3，1，-2）D．（3，-1，2）

5．（2023高一下·湖州期中）已知点，则向量（）

A．B．C．D．

6．给出下面几种说法：

①相等向量的坐标相同；②若向量满足，则③若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；④的充要条件是且.其中正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

7．已知向量满足，则（）

A．B．C．3D．4

8．（2023高三上·深圳月考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，则（）

A．B．C．D．

9．（2023高一下·海南期末）已知向量，，且，则（）

A．3B．5C．D．25

10．（2023高一下·海南期末）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（）

A．B．3C．D．48

11．（2023高一下·荔湾期末）已知向量，，若与垂直，则等于（）

A．1B．0C．D．

12．（2023高一下·马鞍山期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A．，B．，

C．，D．，

13．（2023高一下·绍兴月考）已知向量，，则（）

A．B．C．D．

14．（2023高一下·炎陵期末）已知与共线，且向量与向量垂直，则（）

A．B．C．D．

15．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，则（）

A．，B．，C．，D．，

16．（2023·北京卷）已知向量满足，则（）

A．B．C．0D．1

17．（2023高一下·杭州期中）已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（）

A．B．C．D．

18．（2023高三上·光明期中）已知向量．若不超过5，则k的取值范围是（）

A．B．C．D．

19．（2023高一下·吉林期中）已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（）

A．B．C．D．

20．（2023高一下·安徽月考）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（）

A．B．C．D．（

21．已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）

A．B．C．D．

22．（2023高二上·吉林开学考）已知单位向量满足，则与夹角的大小为（）

A．B．C．D．

23．（2023高一下·河南月考）不共线的平面向量，满足，，则平面向量，的夹角为（）

A．B．C．D．

24．（2023高一下·嘉兴期末）如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（）

A．B．C．D．

25．（2023高一下·绍兴期末）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（）

A．B．C．D．

26．（2023高一下·余姚期末）已知平面向量，满足，且，若，则（）

A．B．C．D．

27．已知平面向量，的夹角为，且，，则（）

A．B．C．D．

28．（2023·）已知向量，，若是在上的投影向量，则（）

A．B．C．D．

29．（2023高一下·保山期末）如图所示，在矩形中，，点为的中点，且，则等于（）

A．B．C．D．

30．（2023高二下·安徽月考）正多边形具有对称美的特点，很多建筑设计都围绕着这一特点展开.已知某公园的平面设计图如图所示，是边长为2的等边三角形，四边形，，都是正方形，则（）

A．B．C．D．

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：因为为的重心，则

又因为在中，，

所以，

则，可得.

故答案为：A.

【分析】根据重心的性质可知，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：因为△ABC中，2BD=CD，E为AC的中点，AD和BE相交于点F，

设：，

，

所以，解得：，

所以，

所以，即，

所以，

所以AF：DF=3，

故选C.

【分析】利用平面向量基本定理的推论求解。

3．【答案】C

【解析】【解答】由向量，，则。

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算得出向量的坐标。

4．【答案】C

【解析】【解答】设，，

，

所以，，，解得：，，，

即。

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示和中点坐标公式得出点B的坐标。

5．【答案】A

【解析】【解答】

，

，

。

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，得出向量

的坐标。

6．【答案】B

【解析】【解答】对于①，因为向量可以平移，所以相等向量的坐标相同，所以①正确；

对于②，若向量满足，因为方向向量不确定，所以不一定正确，故②错误；

对于③，，，，是不共线的四点，若“”，由平行四边形判定定理“一组对边平行且相等，则四边形为平行四边形”可知“四边形为平行四边形”；若“四边形为平行四边形”，由平行四边形性质可知“对边平行且相等”，所以“”，即“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，故③正确；

对于④，若，则且；若且，则或，故④错误.

综上可知，正确的为①③

故选：B

【分析】根据平面向量定义及共线的条件，充分必要条件的判断，可判断四个选项.

7．【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得，.

故答案为：A.

【分析】先求出，再根据向量模长公式求.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为为，，，

故答案为：B.

【分析】利用向量坐标运算法则直接求解即可.

9．【答案】B

【解析】【解答】已知，，

由于则，解得，

所以，，可得.

故答案为：B.

【分析】首先根据向量垂直坐标表示求出的坐标，进一步求出，利用向量模的坐标表示可得结果.

10．【答案】A

【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，则，

设，，则，

所以，

所以，即，

所以，，

所以，

又因为，所以当时，取得最小值为.

故答案为：A.

【分析】建立平面直角坐标系，设，，即可得到，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.

11．【答案】C

【解析】【解答】由题意可知：，

因为与垂直，则，解得.

故答案为：C.

【分析】根据复数的坐标运算可得，再利用向量垂直的坐标表示求解.

12．【答案】D

【解析】【解答】A、不能做基底，选项错误；

B、，共线不能做基底，选项错误；

C、，，不共线的非零向量，可以做基底；

D、，共线不能做基底，选项错误.

故选：C.

【分析】根据非零不共线的向量才能做基底，依次判断即可.

13．【答案】D

【解析】【解答】解：A.∵，1

∴，，故A错误；

B.∵，∴，故B错误；

C.∵，

∴与不平行，故C错误；

D.∵，∴，故D正确．

故选：D．

【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB选项；利用共线向量的坐标表示判断C选项；利用垂直关系的坐标表示判断D选项．

14．【答案】B

【解析】【解答】解：由与共线，可得①，再由向量与向量垂直，可得②，由①②可得，故.

故答案为：B.

【分析】根据向量共线和向量垂直的坐标表示求出，即可求得的值.

15．【答案】B

【解析】【解答】解：因为，，所以，，又因为，故存在实数，使得，所以解得.

故答案为：B.

【分析】根据向量坐标运算先求，以及，再根据，故存在实数，满足，列方程组求解即可.

16．【答案】B

【解析】【解答】，

，，

，，

.

故答案为：B

【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.

17．【答案】A

【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，则，

设，可得，

所以，

当是，取到最大值4；当是，取到最小值；

所以的取值范围为.

故答案为：A.

【分析】建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解.

18．【答案】A

【解析】【解答】因为，所以，，即，解得.

故答案为：A

【分析】根据题意，求得，结合题意和向量的模长公式，列出不等式，即可求解.

19．【答案】B

【解析】【解答】在上的投影为，在上的投影向量为.

故答案为：B

【分析】先求在上的投影，再求在上的投影向量.

20．【答案】C

【解析】【解答】解：，

，

解得，

，，

方向的单位向量，在上的投影为，

在上的投影向量为.

故选：C

【分析】先求出方向的单位向量，和在上的投影，再求在上的投影向量为.

21．【答案】B

【解析】【解答】解：因为，则，即，

所以在方向上的投影向量为.

故答案为：B.

【分析】根据向量的线性运算的几何意义可得，进而结合投影向量的定义运算求解.

22．【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可知：，

因为，解得，

则，

且，所以.

故答案为：D.

【分析】根据题意结合数量积的运算可得，代入夹角公式运算求解即可.

23．【答案】D

【解析】【解答】解：因为，则，可得，

又因为，则，

所以，

因为，所以.

故答案为：D.

【分析】根据题意结合向量垂直可得，再结合平面向量的夹角公式运算求解.

24．【答案】D

【解析】【解答】由题意可得：，

，

，

对A：；

对B：

因为，则，可得，

即；

对C：

因为，则，可得，

即；

对D：，

因为，则，可得，

即；

综上所述：最小的.

故答案为：D.

【分析】以为基底向量表示，根据题意结合数量积的运算律分析判断.

25．【答案】C

【解析】【解答】解：以所在直线为x轴，垂直于所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，

∵，

∴在平面中所对应的点在以为圆心，为半径的圆上运动，

满足，

又∵，

∴在平面中所对应的点满足：，

∴在平面中所对应的点的运动轨迹为直线x-y-1=0，

∴当A、B、O三点共线时，取得最小值，

最小值为：.

故选：C.

【分析】首先以所在直线为x轴，垂直于所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据已知条件先求出A、B对应的运动轨迹，可知当A、B、O三点共线时，取得最小值，求解即可.

26．【答案】C

【解析】【解答】根据题意，，即15a2-7a·b-2b2=0，

又，且，故，即，解得，

故选：C.

【分析】本题主要考查平面向量的数量积，根据题意得出方程15a2-7a·b-2b2=0，即可求解.

27．【答案】B

【解析】

【解答】解：因为所以.

所以

故答案为：B.

【分析】首先由的坐标求出它的模，再由已知向量夹角，数量积公式求出和的数量积，最后代入向量模的公式即可求解。

28．【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得，

可知在上的投影向量，所以.

故答案为：C.

【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解.

29．【答案】B

【解析】【解答】解：以A为原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系：

设，则A(0，0)，C(4，m)，D(0，m)，E(2，0)，

故，，

由可得，解得，

故

即

故答案为：B.

【分析】以A为原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴