高中数学建模教学的探索与研究

高中数学建模教学的探索与研究上海市徐汇中学马云豪一、研究简述1.1研究缘起随着我国《普通高中数学课程标准（2017）年版）》的颁布与实施，提出数学建模素养是数学学科六大核心素养之一，成为研究的热点。数学建模活动的实施，能帮助学生感悟数学与现实的联系，帮助学生认识数学建模在科学、社会、工程等诸多领域的作用和价值，帮助学生增强创新意识和科学精神。但是在现行数学教学课程体系中，数学建模教学面临着一些困境，很多数学教师都能认识到数学建模的教学价值，但是对于数学建模的理解，对于如何开展数学建模教学，对于如何评价数学建模活动，都缺乏一定的支持和指导。学生是否有能力进行数学建模？如何将实际问题抽象成可以让学生理解的数学问题？此时以“数学建模”为教学内容的国家课程校本化实施的探索与研究就显得格外的重要。1.2国内外研究现状自20世纪60-70年代起，数学建模进入西方大学课程体系，我国也于20世纪80年代将其引入大学课堂，国内外对数学建模的教学研究不断突破，目前大致可整理成如下三个方向：（一）数学建模的教学内容新一轮数学课标组组长史宁中教授认为数学建模教学必须突出学生系统运用数学知识去解决实际问题的过程，因此，教师帮助学生感悟数学与现实之间的联系，加深对数学内容的理解，通过解决问题的过程积累数学实践经验，从而提升实践应用能力，增强创新、创造意识；李明振教授认为数学建模是一种与数学课程内容有机结合的新型数学学习方式，数学建模进入高中数学课程是数学学科的应用特征在数学教育中的体现，是数学教育对数学学科的应用特征的合理反应。而高中数学建模课程内容较为常见的一种处理，是将大学建模教材以及各类数学建模竞赛试题进行改编，通过增加限制条件等方式降低建模的难度，从而能适应高中学生的数学水平。但是高中学段的学生是否真的能理解数学建模的本质，以教师视角提出的问题作为学习研究的模板是否符合学生的认知规律和思维水平，还有待验证。 （二）数学建模的教学方式——信息化张思明在《中学数学建模教学的实践与探索》中介绍了中学阶段数学建模应该如何去做。他提到开展数学建模应着重发展学生的数学能力，特别是数学应用的能力，并配合计算机的使用，让学生积极主动地参与，把教学过程变成学生的活动过程；上海实验学校高中部数学课程体系中有基于ＴＩ图形计算器的数学建模课程，教学成果显著，该校学生参加中学生国际数学建模挑战赛（IMMC）常有优异表现，指导教练陈夏明等老师也有相关文章发表。可见数学建模教学，有别于传统数学课堂教学，对信息化水平要求较高，通过数学建模教学促进学生信息化素养的提升，同时通过学生信息化素养的提高帮助其进一步加深对数学建模的认识和理解，是数学建模教学过程中亟需解决的一个平衡点。（三）数学建模课程校本化的设立首都师范大学附中总结了通过课外活动开展数学建模的一些方法．课外活动是课堂教学的延伸，它具有课时灵活、内容选择余地大、活动场地和形式不受限制的优越性，为数学建模的实践与探索开辟了一个新天地，也为学生展示个性和创造力提供了舞台；北京市第十五中学在开展数学建模教学的过程中，实践了多种教学的形式：“引入式”、“专题式”、“调查报告式”、“论文研读式”，特别地，“引入式”教学是将数学知识应用引入到整个教学过程中局部环节上的教学模式，不一定包含问题解决的全过程;一些教师也积极投身数学校本课程的开发中，张敏构建了一套具有数学学科特色的校本课程体系，具体表现以“思维训练活动课”为主，逐步予以完善的过程；丁冬芹针对初中数学中的“折纸数理学”进行了校本课程化的说明和实践，总结和反思了对初中数学折纸校本课程的实施情况。这些案例都说明：数学建模校本化的可行性，但是很多建模课程的实施，都存在着评价方式老旧模糊的瑕疵。同时随着上海市新课程新教材的发布，数学建模教材单独印刷两册，如何处理教材与校本课程的关系也成了一个新的命题。德国数学教育研究者加布里埃尔·凯撒教授就数学建模的教学有数学教师培训的专门成果，但是更多专注于高校数学教师的建模问题教学。美国数学家、克莱因奖获得者阿兰·施恩菲尔德在数学问题解决方面，尤其是数学建模问题解决有着独到的见解，不过限于数学专业领域，对于数学基础能力要求非常高。在美国匹兹堡大学出版的数学项目研究类书中，基础教育阶段的数学建模问题，知识点较为简单，对于语言表达和综合分析要求较高，可以借鉴，但是就其数学问题知识体系而言，要求过低，不适合应用于国内高中阶段。综合国外的数学建模领域研究而言，在基础教育阶段，数学建模内容知识要求过低不适于借鉴，但是在教学策略应用，综合评价判断方面有独到之处，可供在实际操作中借鉴。1.3研究思路与方法文献研究法：笔者通过网络、图书馆等渠道收集整理了关于高中数学建模教学、数学教学等方面的研究及图书，并对其进行了分析、整理从而了解了相关研究的现状。为本研究的开展提供了理论基础，对研究的内容及方式提供了参考与借鉴。调查问卷法：通过查阅相关的资料编辑和设计了关于上海市徐汇中学教师及学生的调查问卷，因为数学建模教学的过程中教师、学生是直接参与的双方，对他们进行调查问卷能够获取最直接的意见和建议，从而为加强高中学段的数学建模教学提供具有针对性的研究。为了开展好调查活动，笔者以工作的学校为调研对象，在与学校分管副校长及相关班主任老师、数学教师、学生代表沟通后确定了以高二年级的六个班级为调研对象，问卷发放共计240份，以学校高中三个年级的数学教师为调查对象，发放调查问卷共计14份。同时配合访谈法，了解教师与家长对于数学建模的看法，以便从教育者与家长的角度思考数学建模开设中存在的问题与突破点。个案研究法：让学生以小组为单位来进行数学建模实践活动，通过实践活动让学生真正的体会到解决实际数学模型的方法，体验数学之美。经验总结法：将实施的教学设计方案材料，进行有序的筛选、分析、总结经验，并使之上升到一定的理论层次，来指导数学课堂的有效开展。二、研究内容2.1学生调查情况汇总通过对学生调查问卷的汇总，能够较为详细的了解到学生对数学建模教学的真实感受，从而为文章的研究提供基础的数据和材料支持，问卷主要集中在学生个人对数学建模教学的认识，学习过程中存在的问题，关于教师教学方式的兴趣和感受，以及数学建模与日常生活实践的关联等内容。将相关的调查汇总如下：图2-1学生对数学建模的学习了解情况汇总通过图2-1的数据发现，接受调查的学生中，对数学建模的相关知识一般了解的占比55%，了解与非常了解的合计28%，这就说明学生自我认知中对数学建模还是有一定了解的，目前中学阶段数学建模的教学多集中在课堂教学中数学应用题的讲解，学生主动了解建模相关知识的积极性还不高。尤其是高中学习较为紧张，学习压力较大，学校、教师及学生对学习的目的性较强，授课知识点的侧重更倾向于高考重点、高频考点，数学建模素养的评价基本是应用题，重点考查的是建模环节中的解模部分。数学建模考核难的情况虽已获得各方的关注，但在实际教学中恰恰因此而导致数学建模教学的关注度不足。图2-2学生对数学建模教学选择方式的数据汇总通过图2-2的数据汇总，能够发现学生对数学建模的学习更倾向于实验演示的方式，占比超过30%，选择传统讲授方式的仅有10%，有27%的学生选择分组讨论，有12%的学生认为应以自己练习为主。这说明学生在数学建模学习过程中更倾向于选择通过实验演示、分组讨论的方式，实验对数学建模能够有较为直观了解，借助多媒体技术、信息化设备通过图像、视频以及声音等各种方式能够让学生更加直观生动的了解数学建模，对数学建模的实际价值有准确的认知。图2-3数学建模教学过程中学生自主学习、相互交流的时间统计根据图2-3的数据统计可以发现，在数学建模教学过程中学生对开展自主学习及相互交流的认可度是比价高的，学生认为5-15分钟的占比达到32%，15-25分钟的为30%，认为5分钟以下的仅12%。因此，教师在课堂教学过程中，开展数学建模教学，需要与学生保持良好的互动，通过学生之间的相互讨论和沟通来提升学生的学习积极性主动性。互动和交流能够将建模过程中存在的疑问传递给教师，通过教师的解释说明，使学生能够更好的理解建模的要求和标准，进而提升数学建模教学的有效性。图2-4在高中数学建模学习前接触过解决实际问题形式的作业统计通过图2-4，高中学生利用数学建模解决实际问题的作业统计可以发现，学生在数学建模学习前很少有学生能够参与问题解决一类的作业，有60%的学生没有接触过，很少接触的也超过23%。数学建模是利用数学知识解决生活、工作中发生的问题，而高中阶段的数学知识多为基础性数学知识，能够解决的问题相对较为简单，很难让学生感悟到数学在现实问题中的价值。图2-5影响学生参与数学建模教学的因素统计通过图2-5的数据统计，能够发现在影响学生参与数学建模的各种因素中，学习比较紧张、过于枯燥、其他原因占比较高，分别为17%、15%、37%，而数学建模所学内容与现实脱节因素并不是最主要的原因，仅仅占比7%，这就说明数学建模在解决实际问题的认知方面没有问题，学生对数学建模的学习保持有一定的兴趣，但是在学习较为紧张的高中阶段，为了能够更好的集中时间和精力进行各科目的学习学生对参加数学建模比赛、实践等活动存有疑虑，影响了学习的积极性和主动性。图2-6学生对参加数学建模比赛的期待情况统计参加数学建模比赛能够较好的检验学生的数学知识掌握情况，通过建模提升学生对数学学习的兴趣，在数据汇总中学生一般、不期待的占比为38%、29%，非常不期待的比例为13%，由此可见学生对能够参加数学建模的整体期待情况并不高。数学建模对学生的抽象思维、逻辑推理等能力要求比较高，尤其是高中数学学习对分类处理、空间想象、比例交换等思维模式的深入使得部分学生在学习过程中产生了一定的压力。甚至在很长一段时期内，部分学生因为数学、物理、化学等科目成绩不好的情况下，选择文科科目学习。由此可见数学建模的教学需要有效的结合学生的实际情况，调动学生的自我效能，开展针对性教学。2.2教师调查及访谈汇总图2-7教师开展数学建模教学顺利情况统计通过图2-7的数据汇总，在数学建模教学过程中，教师能够顺利开展教学的情况比较常见，完全可以、大致可以、基本可以的占比分别为15%、32%、37%，这部分教师合计达到84%，也就是说教师在开展数学建模教学方面能够承担起相应的责任，为学生了解、学习建模的相关知识提供了教学师资保障。教师通过数学建模教学，一方面能够让学生掌握相关的数学知识，提升学习效果，为培养数学逻辑思维、抽象推理等能力提供帮助。另一方面，落实高中新课标的相关要求，需要通过数学建模教学完成教学计划，检验教师对教材的掌握、教学能力，实现教师队伍的整体素质提升。同时有一定难度、不可以完成数学建模教学的占比达到14%、2%，说明还有部分数学教师对数学建模教学存在一定的困难，需要教学管理部门、学校管理层给予相应的帮助。图2-8数学教师在数学建模教学中具有完备教学模式的情况统计教师在数学建模教学过程中需要掌握数学教材，对教材内容进行丰富和发展，按照丰富教学内容的要求补充相应数学建模的素材，并结合学生对知识的接受情况及时的调整、压缩教学内容，最终形成较为完备的教学模式内容，从而开展好数学建模教学。根据图2-8的统计，共计有69%的接受调查的教师能够形成完备的教学模式，从而推进数学建模教学。比较欠缺、十分欠缺的教师占比为31%，这其中以青年教师为主，数学建模教学的内容并非数学课程教学的重点，在应用数学知识解决实际问题，教师引导学生接受和认知建模思想的能力还存在不足。因此，加强对青年教师的指导和培训，提升教师的数学建模教学能力显得尤为重要。图2-9数学建模教学过程中学生交流情况统计数学建模课程教学开展过程中发挥学生的主动性、积极性，利用课堂学生间的相互交流、沟通，可以让学生更好的了解和掌握相应的数学知识，促进建模教学的开展效果。对建模教学中学生沟通交流情况调查，经常交流、时常交流、偶尔交流的占比的分别为17%、23%、36%，合计达到76%，这说明数学教师对建模教学过程中沟通交流的重要性认知比较到位，这种沟通和交流构成了数学建模教学的重要环节。但是也要看到在很少交流、没有交流的教师中，有18%、6%教师占比，这种情况下教师掌握课堂的绝对权限，学生更多是倾听的角色，对互动参与等环节配合度不够，导致数学建模教学开展的效果不佳。图2-10数学教材中数学建模内容情况当前，高中数学建模教学主要通过数学教材内容展开，教师在教学过程中为了更好的让学生接受相关的知识会补充一定的内容，帮助学生理解和接受数学建模的知识。无论如何丰富和发展教材内容，课程标准的要求和教材的内容是教师开展教学活动的根本，教师都要以教材标准进行拓展。在调查过程中，非常多、比较多、基本足够的占比为2%、6%、19%，三者合计为27%，由此可见教师对数学教材中数学建模教学内容的充足度认可不够高，其中认为比较欠缺的44%、十分欠缺的29%。因此，教材内容中数学建模内容不充分，与生活实际结合密切程度不够等问题影响了建模教学活动开展。优化教材内容，科学设置数学建模教材篇幅、知识点及教学要求，对促进数学建模教学具有重要作用。随着上海市新标准新课程的实施，高中数学必修第四册、选择性必修第二册都以建模为主题独立成册。其中共提供了11个适合高中阶段学生开展的数学建模案例，对充实数学建模的教学内容起到了重要的作用。图2-11教师在数学建模教学过程中遇到的困难统计教师在数学建模教学过程中遇到的问题多种多样，根据调查问卷的统计，学生课业紧任务重、家长支持度不高占据主要原因，分别达到19%、18%，开展数学建模教学及相关比赛、实践活动均需要占据学生一定的时间，高中阶段的时间尤为宝贵，学生的学习任务比较紧、压力比较大，部分家长也多希望学生能够将主要精力用于高考科目的学习，对参加类似的比赛活动缺乏积极性。在其他因素中，上级部门支持力度、教材内容支持、缺乏教学参考模式等分别占比达到16%、12%、11%，成为影响数学教师开展建模教学的主要原因。因此，无论是家长还是学生对数学建模教学的参加意愿都不高，导致数学建模教学出现了现实性的困难。图2-12教师需要参加数学建模教学培训情况统计教师参加数学建模教学培训活动能够提升教学技能，尤其是新版课程标准的教育精神、规章要求以及教学理论，通过培训能够丰富教师的教学活动，在培训过程中实现对优秀教学模式、方法的学习和借鉴，从而帮助更多的教师掌握数学建模教学。在对教师进行问卷调查的数据汇总中，认为非常需要、需要、一般的占比为17%、29%、23%，三者合计达到69%，教师对进行建模培训的需求还是比较迫切。近年来，新的教学手段、技术不断出现，为数学建模的信息化教学提供了多种可能，传统的教学方式需要进行升级优化，从而满足学生的学习需求。2.3家长及教师访谈情况家长的访谈主要采取家访的形式：一是关于家长是否支持学生参与数学建模比赛活动或者教学实践的问题，高中各年级的家长呈现出一定的规律性，高三年级的学生家长对孩子的学习成绩格外关注，对建模课外活动、比赛的参加基本持否定态度，高一年级、高二年级的家长还是支持学生参加部分建模比赛活动。二是关于家长对是否赞成高中课程开设数学建模相关课程。家长普遍表示支持开设相关课程，均对高中学校的教育给予很高的厚望，认为数学教师在教学过程中能够从专业的角度为学生提供相关教学知识，希望通过数学建模的教学提升学生的学习成绩，希望教师能够加大教学的力度，为学生参加高考打下良好基础。三是关于家长是否能对学生数学建模给予指导或者帮助的问题。接受访谈的家长普遍表示由于数学学科知识普遍比较难，数学建模更是如此，家长表示高中学段多依靠自觉，难以进行辅导。学校教师的访谈情况：访谈主要在学校进行，在访谈过程中不同班级的教师表现出不同的关注点，访谈的教师从教时间均超过5年的时间，部分教师有10年以上的教龄，由此可见受访的教师对数学教学比较熟悉，能够较好的完成各项教学计划和教学任务；在对数学新课标中关于数学建模教学活动的要求是否了解的问题中，受访的教师普遍表示不太清楚，日常教学中教师基本按照课标要求完成教学计划，而目前的数学建模教学基本等同于应用题教学；对组织参加数学建模比赛或者活动是否能够完成相关任务的问题，受访的教师普遍表示学生进入高中阶段后在高一年级还有时间参与部分活动，高二、高三年级的学习时间非常紧张、压力比较大，一般来说教师都会对学生的学习课程进行调整，大多数学生对参加数学建模活动缺乏足够的时间和能力，教师也缺乏相关的经验。在有机会是否愿意参加数学建模教学培训方面，受访的教师普遍表示希望参加类似的培训活动，在培训过程中教师能够接受到数学建模的专业知识培训，对如何开展数学建模教学、解决学生的学习与实践矛盾、增强信息化教学在数学科目教学中的使用等方面具有很强的帮助作用。因此，受访的教师纷纷表示如果有此类的培训活动希望能够积极参加，不断提升自己的教学能力；在当前高中学段开展数学建模教学还存在哪些现实的困难的访谈中，受访教师普遍表示困难主要集中在缺乏足够的教学支持，数学建模教学的素材较少，在教案设计、教学资料等方面教师主要依靠个人单兵作战，能够获得的外界支撑比较少。2.4调查问卷及访谈分析文章通过调查问卷、访谈提纲的形式进行了相关的调查研究，对笔者工作的高中数学教师建模教学过程中存在的问题有了较为详细和精准的认知。通过调查及访谈分析，能够发现学生对数学建模教学有一定的认知，能够借助已经学习的函数、数列、几何等知识完成部分建模活动，通过学生的学习及教师授课能够完成建模环节中解模的要求。但是对标新课标的相关要求，高中数学建模教学还存在不足，数学建模教学中关于学生相关思维模式、逻辑推理、数形转换等习惯的培养，推动学生应用数学知识解决实际问题方面还存在不足，这些存在的问题有高中学生学习较为紧张、压力比较大，社会竞争环境氛围的因素，同时也受到高中数学教师建模教学理念及技能欠缺的影响。当然教师、学校还有家长、学生对数学建模学习本身并没有引起重视，因此为了更好的开展数学建模教学，更需要教师在教学计划制定等方面做好相关工作，形成多方合力，共同促进数学建模教学工作的开展。三、实施建议3.1正确认识数学建模我们先来看这样一个习题：“姚明是中国家喻户晓的篮球运动员。有一天，电视转播他的比赛。姚明获得两次罚球机会，解说员播报姚明本赛季的罚球命中率目前是78%。随后他第一个投球失误，没有命中；但是第二个命中；接着，在这场比赛中，姚明再一次获得罚球机会，这时解说播报姚明本赛季的罚球命中率变成了76%。请算出姚明在本赛季获得的罚球数以及命中数？”学生在解决这个问题的时候通常并不困难：用x表示罚球总次数，用y表示罚球命中次数，所以。从而可解出姚明本赛季共做了26次尝试，其中命中20.28次。相信在座的老师都注意到，x和y必须是整数，所以这个答案并不准确。那么怎么解决这个问题呢？（1）将命中次数20.28四舍五入取近似值得20次。（2）这个题目本身是有问题，或者表述不准确。产生这个问题的原因是播报员在解说的时候说姚明的命中率是78%，这本身就是一个近似值，他不可能把这说成：“姚明的命中率是77.6562%”，所以基于这样的认知，这个问题的求解实际上是通过一个不等式组：求解，这是四个线性不等式所组成的解集，涉及到四条线界定的一个区域，也就是说最终姚明的罚球总数是在一个区间范围之内。实际上，在最初设计这样一个问题时，可能并没有预料到问题会发生这样的变化，但是这恰恰说明了现实世界的复杂往往是超出我们预期的，我们在建模过程中，需要面对的是一个开放而复杂的世界，认真对待现实世界的复杂性是数学建模最基本的态度。毋庸置疑，数学在解决现实世界的复杂问题时是实用的，有价值的，它可以帮助人们分析问题并对问题提供解决方案。实际上，为什么教育要给数学教学如此多的时间？当然，这说明数学本身很重要；但更大程度上是因为数学在处理数学世界以外的问题方面贡献重大。当我们的学生从学校走向工作的时候，数学是能够帮助到他们的。而数学建模的教学能让学生对这种帮助有越来越深刻的体验。数学建模就是应用数学对现实世界的现象进行表达、分析、预测或进行其他方式的深入研究。数学建模是用数学化的语言量化现实世界的现象并分析其行为。数学建模就是使用数学探索和发展我们对现实世界问题的理解。3.2如何开发一个数学建模问题？我们再举个例子：如图，有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处，，到线段的距离，。今计划建一个加油站，为方便周边小区居民加油，准备建在线段(不含端点)上。（1）设，试将到三个小区距离的最远者表示为的函数，并求的最小值；（2）设，试将到三个小区的距离之和表示为的函数，并确定当取何值时，可使最小。这是高中数学教学中我们常见的应用题，考察了学生对函数相关知识的应用，其答案是唯一的，能够很好的考察学生对知识的掌握程度。那么这算不算一个建模问题呢？在我们的研究过程中，我们认为这并不能成其为一个建模问题。我们认为一个合格的数学建模问题需要做到两点：①让学生能体验到问题的价值或实际意义；②学生在建模过程中能够进行自主的选择。我们可以发现在上面这个例子学生很难体会题目所描述的便利性，同时对学生来说，也不存在自主选择过程。实际上，在传统的数学学习过程中，学生很容易对数学产生一种普遍的误解，认为能快速解决问题的方案才是最好的，每一个数学问题只有一个完全正确的答案，也就是学生口中的“标答”。那么我们能不能讲这样的一个问题转化成一个建模问题呢？我们可以做这样的尝试：有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处，，到线段的距离，。今计划建一个加油站，为方便周边小区居民加油，准备建在线段(不含端点)上。试确定P的具体位置，并简述理由。这就变成了一个不错的建模题目。学生需要思考基于什么理由来确定P的具体位置。这个时候我们可以发现问题1实际上是将P放在了△ABC的外心上，也就是加油站距离三个小区的距离相等。这是一个不错的基于公平原则的解决方案。而问题2实际上分析的是三个小区到加油站P的距离之和最小，这也意味着在车速一定的情况下，三个小区的居民前往加油站的人均时间最少。那么这个方案的出发点可能就是从更广阔的角度出发，考虑的是经济原则。那么，如果我们在这个基础上，对这个建模问题再做一点变化。有A、B、C三个居民生活小区，今计划建一个加油站，为方便周边小区居民加油，准备建在线段(不含端点)上。AAOCBOCB那么我们可以发现，这样的情况下，可能需要考虑到更复杂的情况，学生面临的自主选择也会更多。例如：①是否选择将三个生活小区进行质点化，或者是将三个小区按几何图形处理，从而考虑其出入口的数量及位置。②将加油站P建在线段AO上后，是否有直接道路可以连接PB、PC，或者可能实际并不存在直接道路，从而B、C小区的居民需要经O或其他道路抵达加油站P③是否考虑各小区居民的汽车拥有量，从而给予三个小区不同的权重，车辆越多的小区理论上距离加油站越近。甚至可以进一步是否需要考虑各小区未来几年的居民车辆发展趋势，从而将小区的权重动态化。我们可以看到，面对开放式的问题，学生可能提出完全不同的模型，而这种开放的特性将激发学生的创造力和自主选择，让学生适应同一个问题可以有多个不同的有效答案，同时这些对现实问题有意义的解决方案可能不是完美的。我们坚信，如果学生能在数学教育过程中进行建模学习，他们将逐渐地把数学当作一个可以解决生活中关键问题，帮助他们做重要决策的基础的、实用的、有效的方法。下附笔者设计的建模教学问题实例：数学建模活动-------旅行规划路线问题【建模实例】发现问题、提出问题两岸徐汇中学从2000年开启交流,至今已走入第19个年头。两校一直有学生团互访活动，小民同学这次负责接待了台湾来的小军同学，打算带小军去上海的各个景点旅游。表1为上海12个人气景点，请你从中选择若干景点，帮助小民同学制定一个全面的旅游计划。表1个景点及对应的公交站点景点开放时间参观时间东方明珠8:00-22:002.5小时上海科技馆9:00-17:156小时上海野生动物园9:00-21:006小时徐家汇源景区全天2.5小时豫园全天1.5小时上海中心8:30-22:002.5小时外滩全天1.5小时迪士尼度假区9:00-20:00一天南京路全天2小时朱家角全天4小时交通大学全天1小时新天地全天3小时【思考一】你认为合理的目标可以是什么？目标1：目标2：【思考二】上述2个目标的影响因素分别有哪些？目标1的影响因素：目标2的影响因素：模型假设建立模型求解模型检验模型改进模型旅行规划路线问题——基于数学建模核心素养的高中数学教学实践上海市徐汇中学马云豪袁小清吕健【背景分析】2017版《高中数学课程标准》中，首次提出了数学学科的六大核心素养，数学建模赫然在列：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模既构建了“”的程序链。《标准》将数学建模的过程进行了细化分类：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。【学情分析】学生来自上海市徐汇中学，为徐汇区实验性示范性高中。从小学、初中开始，学生就积累了大量的应用题求解的经历，为数学建模教学提供了模型建立和计算求解的基础。同时，高中学生基本都参与过课题研究，有相关的项目化学习的经历，让学生能更适应数学建模教学。【教学目标】本课时为建模教学环节的中期汇报过程，通过各小组之间对建模问题的交流，互相探讨对该现实问题不同的看法。通过生生交流，师生交流，针对各小组建立的模型提出改进意见，以利于后续模型的调整和改进。【教学设计】环节一、引入数学建模是一种数学素养，是把现实世界中的实际问题进行提炼，抽象出数学问题，提出假设，从而建立模型，并求出数学模型的解，讨论并验证模型，必要时修正模型，使模型更切合实际。曾经，在坐的各位同学接到一个任务，帮助负责接待台湾来宾的小民制定一个全面的旅游计划，下面有请同学来展示你所制定的计划：环节二、学生交流汇报第一组：汪雨祺组第二组：史程恺组第三组：黄思源组第四组：王静莹组每组交流时间5分钟，学生互动问答3分钟，教师团点评2分钟环节三、总结今天由于时间关系，我们只能交流部分小组，其余小组将另外挑选时间进行汇报。从同学交的书面作业可以看出各小组都能很好地针对这个实际问题提出一个有效的目标，而且提出不同的模型假设，设置相应的参变量。同学们可以结合今天交流的几组同学的汇报，进一步改进自己的模型，为我们后期的结题做准备，今天的课就到这里，下课。3.3数学建模教学的课堂实施——以《银行贷款问题》为例高中数学建模教学的探索——以银行贷款问题为例①数学建模于数学教育的意义2017版《高中数学课程标准》中，首次提出了数学学科的六大核心素养，数学建模赫然在列：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模既构建了“”的程序链。《标准》将数学建模的过程进行了细化分类：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。由此可见，数学建模作为数学与实际生活的桥梁，数学应用的主要形式，正日益受到重视。②数学建模教学案例的尝试基于以上认识，笔者选择沪教版高一年级数列教学中的“银行还款问题”做了初步尝试。案例教学——银行中的数学问题1：某银行利率如图，现马老师向他人借了100万元，打算整存整取存入银行，（1）按一年期定期储蓄，到期后共可获得多少元？（元）按三年期定期储蓄，到期后共可获得多少元？（元）（2）按半年期定期储蓄，到期后共可获得多少元？（元）在这里先设计了问题1，以此来帮助学生复习存款问题，同时理解期数的概念，进而引入到借贷问题。问题2：原来马老师最近打算购置新房，打算向他人借取100万元，分期15年，逐月归还，请你帮他计算一下，每个月需要还多少元？（元）问题2的设计是希望学生能够联系实际，发现问题，意识到在借贷问题中还需要考虑利息因素，从而引出银行贷款中的利率问题。问题3：现马老师计划向该银行申请公积金贷款100万元，分期15年，共计180期归还，公积金贷款年化利率为3.25%。银行为马老师提供了一种等额本金的还款方式，既在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息试计算：马老师第一期需还款多少元？马老师第三期需还款多少元？马老师第n期需还款多少元？设数列表示每期所还利息，数列表示每期还款金额，数列表示每期还款后所欠本金，问题3开始，教师首先给出等额本金还款方式的模型，学生需要根据题目提供的信息进行解模，其中理解的难点在①每期利率②已归还本金累计额。教学时可以通过表格的方式，引导学生对三个数列做不完全归纳，从而得出第n期还款额的通项公式：；问题4：马老师每月工资为8000元，无法承担等额本金前期的还款金额，已知公积金贷款最高贷款额为100万元，最长贷款年数为30年，贷款利率为3.25%，马老师依然计划申请公积金贷款，请你帮他审计一个贷款方案则每期需还款多少元？该问题的设计主要是希望学生体会到建模过程中如何确定和调整参数。方案一：降低贷款总额，当贷款总额降低到96万元，首期还款为7933.33元，之后逐期减少，则马老师可以承担。方案二：延长贷款年限，当贷款年限为30年时，首期还款为5486.11元，之后逐期减少，马老师可以承担。问题5：马老师依然觉得无法接受等额本金前期的还款金额，于是银行提出另一种还款方式，既等额本息还款方式：在还款期内，每期偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款的利息按复利计算。马老师依然计划申请公积金贷款100万元，分期360期归还，公积金贷款利率为3.25%，则每期需还款多少元？360期后总共还款多少元？问题5设计了生活中常用的等额本息的还款方式，是希望学生能从实际问题出发，分析问题，建立模型，解出模型，从而解决实际问题；是一个相对较完整的建模过程。在教学过程中，教师使用递推法来帮助学生理解问题5。下对问题5部分参数进行改变，进而探求一般化情况。设第n期还款后欠银行的本金为数列，初始值元（既贷款金额），每期利率为β，总期数为m，每期需还款A元，则数列满足递推公式：，从而构造出一阶线性递推：；即；从而；又∵，∴；从而可计算出每月还款金额为。③对数学建模教学的反思1.数学建模的时代意义本课时选择了银行利率贷款问题为研究对象，是源于此类模型富有时代特征。随着社会的发展进步，贷款问题与学生的未来生活是息息相关的，大学生有助学贷款，工作后有房贷，车贷；如果自主创业，还会涉及企业贷款。这充分说明了数学建模被时代所赋予的重要意义。2.数学建模教学需要充足的铺垫本课时原计划在一节课的时间内对等额本金和等额本息两种还款方式都让学生进行体验和探索。而学生对相关知识的很多背景材料都很陌生，需要教师进行解释，同时学生还需要对两种还款方式进行计算求解，能有充足的时间参与到数学建模活动中。因此，在实际教学中，可将本课时的内容拆分成两课时进行教学。因此，在数学建模教学过程中，对建模材料的铺垫必须要充分，教师需要对时间有足够的估计。3.问题设计要与数学建模的环节有清晰的对应教学设计中对问题的设置能对应到数学建模的某个环节，对数学建模活动进行分解，能针对某个环节进行训练。如本课时中，4.参数调整能够有效的提升学生对建模活动的理解如本课时问题4所设计，学生通过调整贷款总额和贷款年限进一步理解数学建模活动。实际上，数学建模是非常复杂的过程，数学建模教学需要区分与现有教学的区别，如果仅仅是面面俱到的教学，效果可能未必好；所以，建模教学可以仿照函数教学，对建模活动的每个环节进行分割，分布教学，分布掌握。3.4数学建模的教学评价而也正由于建模问题的开放性，对数学建模的评价方式将有别于传统唯一标准答案的评价方式。学生基于不同假设提交的不同模型可能都是有效的，从而产生不同的答案。因此，数学建模的评价可能需要更侧重于模型的假设和思维过程，而这与实际结果一样重要。笔者在实践探究中，使用的是美版的中小学数学建模竞赛评价标准，对定义问题、作出假设、确定参数、数学方法、结果呈现、问题解决、格式文风这9个方面进行分级评价。同时组织了学生之间的互评以及组内多名教师对各小组建模作业的多维打分方式。通过师生间不同的打分方式，我们发现一个有趣的现象，学生互评和教师评分体现出相当大的差异性。这说明在建模评价过程中，我们教师和学生对同一问题的看法是不同的，甚至是截然相反的。比如从确定参变量角度，老师们可能觉得设置变量必须表述清晰，但是学生认为里面有一堆字母表示，就是有参变量；又或者在数学方法上，教师可能会觉得其中的数学方法较少，数学性较低，但是学生认为其中有数学的内容和方法，完全没有问题；包括从问题解决的角度，我们老师觉得可能并没有完成一开始提出的最短时间内游玩所有景点的目标，但是学生觉得确实给出了一个解决问题的答案。这说明，教师和学生有必要针对不同的评分给出相互的见解。而通过教师评价与学生互评之间的沟通交流，从而引导学生对数学模型进行参数调整甚至重新建立模型，可能也应该成为建模教学的一个重要环节。同时，由于数学建模很少产生相同的结果或唯一的数值，我们认为数学建模的评价可能需要降低对某个具体确定答案的关注，而更多关注在获得解决方案的数学适用性。评价应该更多地重视数学建模的整体过程，重点关注哪些要素被呈现了。同时，我们在实施中使用的评价量表，让我们数学教师在评价的时候也感到非常困难，其实在评价的时候，评价量表的分级更偏向于主观性评价，比如在确定参变量及参数上，怎么区分“合理给出重要的参数和变量”和“给出了部分变量或参数但没有进行解释”；数学方法上，是不是使用的数学知识越多越好，5个简单知识点和3个较难知识点哪一种体现了更多的数学性？这当中更多的体现了教师的主观性，而这种主观性和我们数学教师之前确定性思维评价的方式是截然不同的