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文档简介

2023届浙江宁波市高三下-期末考试(元月调研)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为,则()A., B.,C., D.,2.设集合,,则()A. B.C. D.3.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.4.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③5.若,则,,,的大小关系为()A. B.C. D.6.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则()A. B. C. D.7.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.8.已知数列的通项公式是,则()A.0 B.55 C.66 D.789.在直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my﹣1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则正实数m的最小值是()A. B.3 C. D.10.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()A. B. C. D.11.已知a>b>0,c>1,则下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.ac<bc D.12.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()A. B.2 C. D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设实数满足约束条件,则的最大值为______.14.设集合,,则____________.15.若,则=______,=______.16.已知正四棱柱的底面边长为,侧面的对角线长是,则这个正四棱柱的体积是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知;.(1)若为真命题,求实数的取值范围;(2)若为真命题且为假命题,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,M、N分别为、的中点.​(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.20.(12分)某企业原有甲、乙两条生产线,为了分析两条生产线的效果,先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值.该项指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数2184814162100(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图,以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率,估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率;(2)现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述图表所提供的数据,完成下面的列联表,并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关?若有90%把握,请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附:,.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87921.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,是棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,点是线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为;可能的取值为,,,,故,.,,故,,故,.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算,应先确定随机变量所有可能的取值,再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率,然后利用公式计算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.2、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.3、C【解析】

确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.4、B【解析】

由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.5、D【解析】因为,所以,因为,,所以,.综上;故选D.6、B【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B【点睛】本题考查圆柱的体积,属于基础题.7、D【解析】

设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.8、D【解析】

先分为奇数和偶数两种情况计算出的值,可进一步得到数列的通项公式,然后代入转化计算,再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解:由题意得,当为奇数时,,当为偶数时,所以当为奇数时,;当为偶数时,,所以故选:D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题,以及数列求和,考查了正弦函数的性质应用,等差数列的求和公式,属于中档题.9、D【解析】

设点,由,得关于的方程.由题意,该方程有解,则,求出正实数m的取值范围,即求正实数m的最小值.【详解】由题意,设点.,即,整理得,则,解得或..故选:.【点睛】本题考查直线与方程,考查平面内两点间距离公式,属于中档题.10、C【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.,值域为,非奇非偶函数,排除;B.,值域为,奇函数,排除;C.,值域为,奇函数,满足;D.,值域为,非奇非偶函数,排除;故选:.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.11、B【解析】

根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定,故错误;对B,因为y=cx为增函数,且a>b,所以ca>cb,正确对C,因为y=xc为增函数,故,错误;对D,因为在为减函数,故,错误故选B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题.12、B【解析】

过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,,,,由抛物线定义知:,,,.由抛物线性质得:,解得:,.故选:.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

试题分析:作出不等式组所表示的平面区域如图,当直线过点时,最大,且考点:线性规划.14、【解析】

先解不等式,再求交集的定义求解即可.【详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.15、10【解析】

①根据换底公式计算即可得解;②根据同底对数加法法则,结合①的结果即可求解.【详解】①由题:,则;②由①可得:.故答案为:①1,②0【点睛】此题考查对数的基本运算,涉及换底公式和同底对数加法运算,属于基础题目.16、【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为54.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)或【解析】

(1)根据为真命题列出不等式,进而求得实数的取值范围;(2)应用复合命题真假判定的口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真.【详解】(1),且,解得所以当为真命题时,实数的取值范围是.(2)由,可得,又∵当时,,.∵当为真命题,且为假命题时,∴与的真假性相同,当假假时,有,解得;当真真时,有,解得;故当为真命题且为假命题时,可得或.【点睛】本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题,存在性问题,考查复合命题的真假判断,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18、(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2).【解析】

(1)对a分三种情况讨论求出函数的单调性;(2)对a分三种情况,先求出每一种情况下函数f(x)的最小值,再解不等式得解.【详解】(1),当时,,在上单调递增;当时,,,,,∴在上单调递减,在上单调递增;当时,,,,,∴在上单调递减,在上单调递增.综上:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知:当时,,∴成立.当时,,,∴.当时,,,∴,即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取中点,连接,,证明平面,由线面垂直的性质可得;(2)由,即可求得三棱锥的体积.【详解】解:(1)证明:取中点D,连接,.因为,,所以且,因为,平面,平面,所以平面.又平面,所以;(2)解:因为平面,平面,所以平面平面,过N作于E,则平面,因为平面平面,,平面平面,平面,所以平面,又因为平面,所以,由于,所以所以,所以.【点睛】本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质,属于中档题.20、(1)0.0081(2)见解析,保留乙生产线较好.【解析】

(1)先求出任取一件产品为合格品的频率,“从甲生产线生产的产品中任取5件,恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验,恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.【详解】(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图,样本中任取一件产品为合格品的频率为:.设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件,事件发生的概率为,则由样本可估计.那么“从甲生产线生产的产品中任取5件,恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验,事件恰好发生2次,其概率为:.(2)列联表:甲生产线乙生产线合计合格品9096186不合格品10414合计100100200的观测值,∵,,∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关.由(1)知甲生产线的合格率为0.9,乙生产线的合格率为,∵,∴保留乙生产线较好.【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率,独立性检验等知识点,认准特征代入公式即可,属于较易题目.21、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)的中点,连接,,证明四边形是平行四边形可得,故而平面;(2)以为原点建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算与的夹角的余弦值得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,分别是,的中点,,,又,,,,四边形是

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