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文档简介
习题课轨迹问题第三章
圆锥曲线的方程本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程.学习目标生活中我们处处可见轨迹的影子.导语例如:人生的轨迹,我们每个人的成长轨迹,美丽的流星划过夜空留下的轨迹.随堂演练课时对点练一、定义法求轨迹方程二、相关点代入法求轨迹方程三、直接法求轨迹方程内容索引一、定义法求轨迹方程问题1
回顾圆、椭圆的定义,圆、椭圆上的点分别满足什么条件?提示圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数.例1
一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.解将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,这时,已知圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|,而|BC|=6,∴|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|,∴|BM|+|AM|=6,根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.反思感悟观察几何图形,根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性,由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点.跟踪训练1
已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C
为动点,且满足sinB+sinA=
sinC,求点C的轨迹.即|AC|+|BC|=10,满足椭圆的定义.则a′=5,c′=4⇒b′=3,二、相关点代入法求轨迹方程解设动点M的坐标为(x,y),B点坐标为(x0,y0),则由M为线段AB的中点,即点B的坐标可表示为(2x-2a,2y).反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0).(2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0.(3)将x0,y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.跟踪训练2
已知P(-4,-4),Q是椭圆x2+2y2=16上的动点,M是线段PQ上的点,A.(x-3)2+2(y-3)2=1 B.(x+3)2+2(y+3)2=1C.(x+1)2+2(y+1)2=9 D.(x-1)2+2(y-1)2=9√又Q(m,n)在椭圆x2+2y2=16上,故16(x+3)2+32(y+3)2=16,即(x+3)2+2(y+3)2=1.三、直接法求轨迹方程问题2
直接法求轨迹方程的步骤有哪些?提示建系、设点列式、化简检验.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;解设动点M(x,y),解设点B(x,y),点P(x0,y0),反思感悟求轨迹方程时,没有坐标系时要先建立坐标系,设轨迹上任一点的坐标为(x,y),轨迹方程就是x,y之间的等式,关键是找到等量关系,然后用x,y表示.解设P(x,y).即动点P的轨迹C的方程为x2=8y.1.知识清单:(1)定义法求轨迹方程.(2)相关点代入法求轨迹方程.(3)直接法求轨迹方程.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:在求动点的轨迹方程时,易忽略检查是否有要删除(增加)的点.课堂小结随堂演练1.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6,则顶点A的轨迹方程是√1234解析在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),|AB|+|AC|=6>|BC|=4,1234解析设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0),1234∵点P在x2+y2=4上,3.到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是____________.1234x+y-1=0解析由点P满足|PA|=|PB|,可知点P的轨迹为点A(2,-3)和B(4,-1)的垂直平分线.∴其垂直平分线的斜率为-1.∴点P的轨迹方程是y+2=-(x-3),即x+y-1=0.故曲线C的轨迹是椭圆.椭圆1234课时对点练1.平面内一点M到两定点F1(0,-3),F2(0,3)的距离之和为10,则M的轨迹方程是√解析平面内一点M到两定点F1(0,-3),F2(0,3)的距离之和为10>6,所以M的轨迹满足椭圆的定义,是椭圆,且a=5,c=3,则b=4,基础巩固123456789101112131415162.已知△ABC的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点A的轨迹方程为√解析∵△ABC的周长为12,顶点B(0,-2),C(0,2),∴|BC|=4,|AB|+|AC|=12-4=8,∴点A到两个定点的距离之和等于定值,又8>4,∴点A的轨迹是椭圆,且a=4,c=2,∴b2=12,123456789101112131415163.已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点A到F1的距离是
线段AF2的垂直平分线交AF1于点P,则点P的轨迹方程是√12345678910111213141516∴点P的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆.4.已知椭圆
(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是A.圆
B.椭圆C.线段
D.直线√解析设椭圆的右焦点为F2,12345678910111213141516又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由椭圆的定义,可知点P的轨迹是椭圆.√12345678910111213141516解析设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),∵A1,P1,P共线,12345678910111213141516∵A2,P2,P共线,123456789101112131415166.动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心M的轨迹方程是√12345678910111213141516解析设动圆的圆心为M(x,y),半径为R,动圆与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,∴|MM1|+|MM2|=1+R+5-R=6,∵|MM1|+|MM2|>|M1M2|=2,∴该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上的椭圆,且2a=6,c=1,解得a=3,根据a,b,c的关系求得b2=8,12345678910111213141516解析设点P的坐标为(x,y)(x≠±2),12345678910111213141516解析设点P的坐标为(x,y),123456789101112131415169.如图所示,Rt△ABC的顶点坐标A(-2,0),直角顶点B(0,
顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.(1)求边BC所在直线的方程;12345678910111213141516(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;令y=0,得C(4,0).∴圆心M(1,0).又∵|AM|=3,∴圆M的方程为(x-1)2+y2=9.12345678910111213141516(3)若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心N的轨迹方程.解∵P(-1,0),M(1,0),且圆N过点P(-1,0),∴PN是该圆的半径.又∵动圆N与圆M内切,∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3>2.∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.1234567891011121314151610.已知中心在坐标原点的椭圆,经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆的标准方程;12345678910111213141516若点F(2,0)为其右焦点,则其左焦点为F′(-2,0),12345678910111213141516又a2=b2+c2,∴b2=12,(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点,求PF的中点Q的轨迹方程.12345678910111213141516解设P(x0,y0),Q(x,y),∵Q为PF的中点,11.已知在△ABC中,点A(-2,0),点B(2,0),若tan∠CAB·tan∠CBA=2,则点C的轨迹方程为√12345678910111213141516综合运用解析设C(x,y),12345678910111213141516由tan∠CAB·tan∠CBA=2,当x=±2时,C与A或B重合,不符合题意.12.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为√12345678910111213141516解析圆心C(-1,0),半径为5,设点M(x,y),∵AQ的垂直平分线交CQ于M,∴|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=5>|AC|=2,即|MA|+|MC|>|AC|,由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,1234567891011121314151612345678910111213141516√解析设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),12345678910111213141516因为|AB|=5,解析设Q(x,y),1234567891011121314151615.如图,AB是平面α的斜线段,A为斜足,若点P在平面α内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是A.圆
B.一条直线C.椭圆
D.两条平行直线√拓广探究12345678910111213141516解析因为三角形的面积为定值,以AB为底,则底边长一定,从而可得P到直线AB的距离为定值,分析可得,点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上,且α与圆柱的轴线斜交,由平面与圆柱面的截面的性质判断,可得P的轨迹为
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