吉林省长春市九台市师范中2023-2024学年高二上数学期末学业质量监测试题含解析

吉林省长春市九台市师范中2023-2024学年高二上数学期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.62．已知随机变量，，则的值为（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.763．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B.C. D.4．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A或1 B.或C. D.15．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）A. B.C. D.6．焦点坐标为（1，0）抛物线的标准方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y7．等比数列满足，，则（）A.11 B.C.9 D.8．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.9．命题“对任意，都有”的否定是（）A.对任意，都有 B.存在，使得C.对任意，都有 D.存在，使得10．函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.11．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，···，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为A. B.C. D.12．过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（）A.10 B.12C.14 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆，A，B是椭圆C上的两个不同的点，设，若，则直线AB的方程为______14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.15．已知，则曲线在点处的切线方程是______.16．写出一个同时具有性质①②的函数___________.（不是常值函数），①为偶函数；②.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）解不等式;（2）若不等式对恒成立,求实数m的取值范围18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF19．（12分）设：实数满足，：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围20．（12分）已知函数（1）求单调增区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程22．（10分）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D2、A【解析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A3、B【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)4、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，，.综上：或.故选：A.5、C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为故选：C【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面6、B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2∴抛物的标准方程是y2=4x故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7、B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.【详解】由数列是等比数列，得：，故选：B8、C【解析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>-3，所以.故选：C9、B【解析】根据全称命题的否定是特称命题形式，可判断正确答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意，都有”的否定是“存在，使得”故选：B.10、B【解析】求出函数的定义域，解不等式可得出函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，由，可得.因此，函数的单调递增区间为.故选：B.11、A【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.12、B【解析】设出l1的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，用弦长公式表达出，同理表达出，利用基本不等式求出的最小值.【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，则联立后得到，设，，，则，同理设可得：，因为|k1·k2|=2，所以，当且仅当，即或时，等号成立，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知可得为的中点，再由点差法求所在直线的斜率，即可求得直线的方程【详解】由，可得为的中点，且在椭圆内，设，，，，则，，，则，即所在直线的斜率为直线的方程为，即故答案为：14、∪【解析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，即，且，解得，且，∴x的取值范围是∪.故答案为：∪.15、【解析】求导，得到，写出切线方程.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程是，即，故答案为：16、（答案不唯一）【解析】利用导函数周期和奇偶性构造导函数，再由导函数构造原函数列举即可.【详解】由知函数的周期为，则，同时满足为偶函数，所以满足条件.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)移项,两边平方即可获解;(2)利用绝对值不等式即可.【小问1详解】即即,即即即或所以不等式的解集为【小问2详解】由题知对恒成立因为.所以,解得即或,所以实数的取值范为18、(1)(2)见解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱锥的体积；（2）由平面，证得和，由此利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.试题解析：（1）在中，.在中,.则.（2），为的中点，.平面.平面.为中点，为为中点，，则.平面.考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明.19、（1）（2）【解析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可【小问1详解】当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为若为真，则，解得实数x的取值范围为【小问2详解】若p是q的必要不充分条件，则且设，，则，又由，得，因为，则，有，解得因此a的取值范围为20、（1）单调增区间为；（2）.【解析】（1）求导由求解.（2）将时，恒成立，转化为时，恒成立，令用导数法由求解即可.【详解】（1）因为函数所以令，解得，所以单调增区间为.（2）因为时，恒成立，所以时，恒成立，令则令因为时，恒成立，所以在单调递减.当时，在单调递减，故符合要求；当时，单调递减，故存在使得则当时单调递增，不符合要求；当时，单调递减，故存在使得则当时单调递增，不符合要求.综上.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21、（1）（2）【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.【小问1详解】.直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】设圆的标准方程为，则，所以圆的标准方程为