黄山市重点中学2023-2024学年数学高二上期末统考模拟试题含解析

黄山市重点中学2023-2024学年数学高二上期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.2．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则3．已知数列中，，则（）A. B.C. D.4．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A. B.C.24 D.485．双曲线的焦点坐标为（）A. B.C. D.6．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A. B.C.8 D.127．如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为，则（）A. B.C. D.8．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校男教师的人数为（）A.167 B.137C.123 D.1139．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）A. B.C.4 D.10．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11．设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.12．若数列为等比数列，且，，则（）A.8 B.16C.32 D.64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线的准线方程是________14．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.16．已知直线l是抛物线（）的准线，半径为的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为___________；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在中，，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为（1）若，，求数列的前n项和；（2）若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；（3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，18．（12分）已知集合，（1）若，求m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.20．（12分）已知圆O：与圆C：（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答若______，判断这两个圆的位置关系；（2）若，求直线被圆C截得的弦长注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分21．（12分）如图，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，离心率为.过的直线与椭圆的一个交点为，过垂直于的直线与椭圆的一个交点为，.（1）求椭圆的方程和点的轨迹的方程；（2）若曲线上的动点到直线：的最大距离为，求的值.22．（10分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.2、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.3、D【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.【详解】由，可得，，，故选：D.4、C【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.5、C【解析】把双曲线方程化为标准形式，直接写出焦点坐标.【详解】，焦点在轴上，，故焦点坐标为.故选：C.6、B【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为：，正三角形边上的一条高为：，所以一个正三角形的面积为：，所以多面体的表面积为：.故选：B7、D【解析】根据图知分别得到椭圆、、的半长轴和半短轴，再由求解比较即可.【详解】由图知椭圆的半长轴和半短轴分别为：，椭圆的半长轴和半短轴分别为：，椭圆的半长轴和半短轴分别为：，所以，，，所以，故选：D8、C【解析】根据图形分别求出初中部和高中部男教师的人数，最后相加即可.【详解】初中部男教师的人数为110×(170%)=33；高中部男教师的人数为150×60%=90，∴该校男教师的人数为33+90=123.故选：C.9、A【解析】由，可得，再计算即可求解.【详解】由题意可知，所以，即.故选：A10、A【解析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】由于M是的中点，所以故选：A11、D【解析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分析可得在上为减函数，进而分析可得上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，又由即，则有或，据此分析可得答案【详解】根据题意，设，则，若奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，即，则有或，故或，即不等式的解集为；故选：D12、B【解析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到，即可求出，再根据计算可得；【详解】解：设等比数列公比为，因为、，所以，所以；故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：抛物线准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14、【解析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，由双曲线定义知：，即，，，所以双曲线的渐近线为：.故答案为：【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.15、【解析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥，所以该几何体的体积为.故答案为：16、①.②.【解析】（1）由题意得：圆的圆心横坐标为，半径为，列方程，即可得到答案；（2）由正弦定理得，从而求得直线的方程，求出点的坐标，即可得到答案；【详解】由题意得：圆的圆心横坐标为，半径为，，抛物线C的方程为；设到准线的距离为，，，，，代入，解得：，，，故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）,证明见解析.（3）不存在，【解析】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；（2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果；（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为.【小问1详解】，，数列是公比为q的等比数列，，数列为，数列为首项为公差为的等差数列，数列的前n项和.【小问2详解】，，成等差数列，+=2，当时,+=,2,不符题意舍去，当时，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列，，，.【小问3详解】由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，,即，解得：方程组无解.即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为.18、（1）（2）【解析】（1）先求出，由得到，得到不等式组，求出m的取值范围；（2）根据充分不必要条件得到是的真子集，分与两种情况进行求解，求得m的取值范围.【小问1详解】，解得：，故，因为，所以，故，解得：，所以m的取值范围是.【小问2详解】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则是的真子集，当时，，解得：，当时，需要满足：或，解得：综上：m取值范围是19、（1）（2）存在，【解析】（1）根据离心率及短轴长，利用椭圆中的关系可以求出椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.【小问1详解】，，，，椭圆的标准方程为.【小问2详解】由已知可得，，，∴，∵，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，，则，，∵，∴.即，因为，，即..所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.20、（1）选①:外离；选②：相切;（2）【解析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；(2)根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.【小问1详解】选①圆O的圆心为，半径为l；圆C的圆心为，半径为因为两圆的圆心距为，且两圆的半径之和为，所以两圆外离选②圆O的圆心为，半径为1．圆C的圆心为，半径为2因为两圆的圆心距为．且两圆的半径之和为，所以两圆外切【小问2详解】因为点C到直线的距离，所以直线被圆C截得的弦长为21、（1）椭圆的方程为，点的轨迹的方程为（2）【解析】（1）由题意可得，求出，再结合，求出，从而可得椭圆的方程，设，则由题意可得，坐标代入化简可得点的轨迹的方程，（2）由题意结合点到直线的距离公式可得，设，将直线方程代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，由，可得，因为，代入化简计算可求得答案【小问1详解】由题意得，解得，则，所以椭圆的方程，设，则由题意可得，所以，所以，所以点轨迹的方程为【小问2详解】由（1）知曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，因为曲线上的动点到直线：的最大距离为，所以，得，设，由，得，所以，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或22、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意先