《概率论与数理统计》课后习题答案

./第一章：10．从等个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率：‘三个数字中不含0和5’,‘三个数字中不含0或5’,‘三个数字中含0但不含5’.解.,或,.16．设事件与互不相容,,求与解因为不相容,所以,于是20．设,求与.解,所以,故；.所以22．设,试证明[证]因为,所以故.证毕.19．设是三个事件,且,,求至少有一个发生的概率。解因为,所以,于是22．随机地取两个正数和,这两个数中的每一个都不超过1,试求与之和不超过1,积不小于0.09的概率.1yy1y0.91yy1y0.90.10yASy‘’则发生的充要条件为不等式确定了的子域,故第二章4．从52朴克牌中任意抽取5,求在至少有3黑桃的条件下,5都是黑桃的概率.解设‘至少有3黑桃’,‘5中恰有黑桃’,,则,所求概率为.5．设求与.解.6．甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求该球是白球的概率。解设‘从乙袋中取出的是白球’,‘从甲袋中取出的两球恰有个白球’.由全概公式.7．一个盒子中装有15个乒乓球,其中9个新球,在第一次比赛时任意抽取3只,比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球,求第二次取出的3个球均为新球的概率。解设‘第二次取出的均为新球’,‘第一次取出的3个球恰有个新球’由全概公式.17．三人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别是,求他们将此密码译出的概率.解1设‘将密码译出’,‘第个人译出’则.35．一台仪器中装有2000个同样的元件,每个元件损坏的概率为0.0005,如果任一元件损坏,则仪器停止工作,求仪器停止工作的概率.解考察一个元件,可视为一次贝努里试验,2000个元件为2000重贝努里试验。,利用泊松逼近定理,所求概率为第三章9．设随机变量的概率密度为求：〔1常数；〔2使成立的.解〔1,；〔2,可见,13．设电子管寿命的概率密度为若一架收音机上装有三个这种管子,求〔1使用的最初150小时,至少有两个电了管被烧坏的概率；〔2在使用的最初150小时烧坏的电子管数的分布列；〔3的分布函数。解为在使用的最初150小时烧坏的电子管数,,其中,〔1所求概率为；〔2的分布列为,即.〔3的分布函数为16．设随机变量,现对进行3次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.解设为三次观测中,观测值大于3的观测次数,则,其中,所求概率为18．一大型设备在任何长为的时间发生故障的次数服从参数为的泊松分布。〔1求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；〔2求在设备已经无故障工作了8小时的情况下,再无故障运行8小时的概率。解〔1设的分布函数为,则事件表示两次故障的间隔时间超过,也就是说在时间没有发生故障,故,于是,可见,的分布函数为即服从参数为的指数分布。〔2所求概率为.19．设随机变量。求〔1；〔2常数,使；〔3常数,使。解〔1；〔2,查表知,所以；〔3所以,查正态分布表知,故。20．设随机变量,且,求。解,所以,。28．设,求〔1的概率密度；〔2的概率密度。解的密度为〔1在上单调增,反函数为,所以的密度为〔2在上单调减,反函数为,所以的密度为31．设随机变量的概率密度为求的概率密度.解1函数在上单调增,反函数为在上单调减,反函数为.的概率密度为：解2设的分布函数为,则所以第四章5．已知随机变量和的联合概率密度为求和的联合分布函数.解1设的分布函数为,则解2由联合密度可见,独立,边缘密度分别为边缘分布函数分别为,则设的分布函数为,则7．设的概率密度为求边缘密度和概率解.8．一电子仪器由两个部件组成,以和分别表示两个部件的寿命〔单位：千小时已知的联合分布函数为：〔1问是否独立？为什么？〔2求两个部件的寿命都超过100小时的概率.解〔1先求边缘分布函数：因为,所以独立.〔2.18．设相互独立,其概率密度分别为求的概率密度.解1设,由卷积分式,的概率密度为10zyD不等式确定平面域10zyD当时,当时,当时,综上所述解2变量代换法：,注意到当时=1,有因所以,当时,,当时,,当时,.综上所述解3分布函数法：设的分布函数为,则yxyx+y=110xx+y=0的概率密度为36．设关于的条件概率密度为而的密度为求解的概率密度为11/211/2yxx第五章6．设随机变量分别具有下列概率密度,求其数学期望和方差.〔4〔4,,所以.20．设是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为求解,〔注：因为参数为1的指数分布的数学期望为1,而是前指数分布向右平移了5个单位,所以因独立,所以.今求方法1.方法2利用公式：当独立时31．设为三个随机变量,且,,若求.解39．设为二维正态变量,,求的概率密度.解的相关系数为,所以的密度为42．若,利用切比雪夫不等式估计概率.解由切比雪夫不等式第六章17．求总体的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。解设和为两个独立样本的均值,则,于是即第七章5．设总体的密度为试用样本求参数的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：解出得所以的矩估计为.再求极大似然估计：,,,解得的极大似然估计：.25．零件尺寸与规定尺寸的偏差,令测得10个零件,得偏差值〔单位：微米2,1,–2,3,2,4,–2,5,3,4,试求的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。解的无偏估计为的无偏估计为的置信区间为所以的置信度为0.90的置信区间为；的置信区间为所以的置信度0.90下的置信区间为.第八章2．某种零件的尺寸方差为,对一批这类零件检查6件得尺寸数据〔毫米