线性测量系统测量结果的不确定度分析

线性测量系统测量结果的不确定度分析

每个设备的性能指标在评估结果时都不确定。一般来说，不确定度的大小与所使用的评价设备、评价方法、评价条件和评价设备指标之间的关系。对于具体指标的评估，确定影响评估结果的所有主要因素的评价结果的不确定性以及影响评价结果的不确定性以及这些因素之间的精确关系，是建立和实施计量标准时必须解决的问题。线性度评估也是如此。采用端基线性法评估线性度，也是一种模型测量的方法。它在数据采集系统等数字线性测量系统的线性度评估中得到了广泛应用。同时，本文中讨论的主要内容不仅是使用端基线性法评估线性度的误差和来源，还是该方法线性度评估结果的不确定性。1测量原理与方法如图1所示,在数据采集系统的测量范围(EL,EH)内,数据采集系统是线性系统,假设其输入E和输出y关系满足公式式中:G0为通道直流增益;D0为通道的直流偏移.给测量通道依次输入符合公式(2)的信号Ei(i=1,…,m):EL＜E1＜E2＜⋯＜Ei＜⋯＜Em＜EΗ(i=1,2,⋯,m),(2)式中:EL为通道的测量范围下限;EH为通道的测量范围上限;量程Er=|EH-EL|.分别用对应Ei的采集数据yij(j=1,…,n).按式(3)计算各平均值测量值yij的实验方差均值ˉyi的实验方差与上述理想公式(1)的关系相比,实际中使用经过(E1,ˉy1)和(Em,ˉym)两个测量端点的直线作为基准直线,称为端基直线,它所对应的G和D分别为G=ˉym-ˉy1Em-E1;(4)D=Em⋅ˉy1-E1⋅ˉymEm-E1.(5)其它测量点与端基直线间的偏差,作为非线性误差,则非线性误差Li=ˉyi-G⋅Ei-DG⋅Er=ˉyi(Em-E1)-Emˉy1+E1ˉym(ˉym-ˉy1)Er-EiEr(i=2,...,m-1),(6)线性度L=Lmax=max|ˉyj-G⋅Ej-DG⋅Er|j=2,⋯,m-1.(7)2灵敏度系数测量值从式(6),式(7)可见,线性度L的测量不确定度u(L)的主要来源:1)直流标准信号Ei的不确定度u(Ei);2)被校系统测量过程引入的不确定度u(ˉyi).这一分量主要包含两部分内容:Ei的测量重复性引入的不确定度u1(ˉyi);被校系统分辨力(A/D位数)引入的不确定度u2(ˉyi).显然,两者不相关.u(ˉyi)=√u21(ˉyi)+u22(ˉyi).由式(7)得设L=Lj,则:①当Lj>0时,由式(7)得灵敏系数cL(E1)=∂L∂E1=∂Lj∂E1=ˉym-ˉyj(ˉym-ˉy1)Er;(9)cL(Ej)=∂L∂Ej=∂Lj∂Ej=-1Er;(10)cL(Ei)=∂L∂Ei=∂Lj∂Ei|i≠j=0;(11)cL(Em)=∂L∂Em=∂Lj∂Em=ˉyj-ˉy1(ˉym-ˉy1)Er;(12)cL(ˉy1)=∂L∂ˉy1=∂Lj∂ˉy1=(ˉyj-ˉym)(Em-E1)(ˉym-ˉy1)2Er;(13)cL(ˉyj)=∂L∂ˉyj=∂Lj∂ˉyj=Em-E1(ˉym-ˉy1)Er;(14)cL(ˉyi)=∂L∂ˉyi=∂Lj∂ˉyi|i≠j=0;(15)cL(ˉym)=∂L∂ˉym=∂Lj∂ˉym=(ˉy1-ˉyj)(Em-E1)(ˉym-ˉy1)2Er.(16)②当Lj<0时,由式(7)得灵敏系数cL(Ei)=∂L∂Ei=-∂Lj∂Ei;cL(ˉyi)=∂L∂ˉyi=-∂Lj∂ˉyi.测量值y=f(x1,x2,…xN)对于输入Xi的测量值xi(i≠j,则Xi≠Xj)的不确定度传递公式为式中:xi为输入Xi的测量值;xj为输入Xj的测量值,(i≠j,则Xi≠Xj);u(xi)为xi的标准不确定度;u(xj)为xj的标准不确定度,(i≠j);u(xi,xj)为xi,xj的协方差估计值,(i≠j);r(xi,xj)为xi,xj的相关系数估计值,(i≠j).本检定装置测量过程中,对于相关系数的估计值,当(i≠j)时,显然有:r(Ei,Ej)=0;不同的输入值之间不相关;r(ˉyi,ˉyj)=0;不同的测量值之间可以认为是不相关;r(Ei,ˉyi)=r(ˉyi,Ei)=1‚(i=1,⋯,m);测量值与其输入值之间可以认为是完全相关;则有线性度L的合成标准不确定度其有效自由度veff=m-(独立变量个数)=m-3.3a/d级数v,v以TDS784D数字存储示波器为被校系统,其测量范围设为(EL,EH)=(-5V,5V),A/D位数为b=8;则,校准仪器的输入值Ei按公式(2)给出并列表如表1所示,各输入值Ei的允许误差极限±Δi由标准仪器说明书获得,对应的被校系统测量值的平均值ˉyi均值方差s2(ˉyi)和不确定度u(y¯i)可相应获得,如表1所示.1误差区间半宽度B类评价方法获得.假设信号Ei的误差在其允许误差极限[-Δi-,+Δi+]内服从均匀分布,则误差区间半宽度ai=(Δi+-Δi-)/2,Ei的不确定度u(Ei)=ai/3.Δi+与Δi-由说明书可知,如表2所示.2a/d个数va/d级数v类评价方法获得,在测量点Ei上有u1(y¯i)=s(y¯i).由系统测量范围(EL,EH)=(-5V,5V),A/D位数为b=8;得量化误差为LSB=(EH-EL)/2b=3.90625×10-2V,设分辨力造成的误差在(-0.5×LSB,0.5×LSB)内服从均匀分布,则a=0.5×LSB=1.953125×10-2V‚u2(y¯i)=a/3=1.127670×10-2V,由u1(y¯i),u2(y¯i)合成u(y¯i).4线性度的合成不确定度u根据表2数据,由式(4),式(5)可得直流增益和直流偏移的最小二乘估计值为:G=1.0026;D=0.110V.由式(6),式(7)可得线性度的估计值为:L=7.3×10-4,j=5.由式(13)～(16)可得各灵敏系数如表3所示.由表2和表3所示的数据,由式(19)计算出线性度的合成标准不确定度其有效自由度veff=m-3=13.特别是,当测量系统理想时,其不确定度为u(y¯i)=0,则仅由信号源带来的线性度的合成标准不确定度为它们代表了检定装置评价线性度指标的能力极限.5扩展不确定度u令置信概率P=95%,由有效自由度veff=13,查t分布表,得包含因子k=tp(veff)=t0.95(14)=2.16,则扩展不确定度U(L)=k×uc(L)=2.16×1.44×10-3=3.1×10-3.6目标函数端基直线法获得的端基线性度:L0=L±U(L)=7.3×10-4±3.1×10-3(k=2.16,P=95%);其中,扩展不确定度U(L)的包含因子为k=2.16,是由有效自由度veff=13,置信概率P=95%,由t分布表查得.7信号源、被校设备、相关性的测量不确定度由上述过程可见,使用模型化测量方法评价仪器设备的线性度指标,属于间接测量法,其测量不确定度分析较为复杂,影响评价结果的因素较多,涉及信号源、被校设备、相关性等等.尤其是信号源提供的信号量纲与被评价参数的量纲不一致时,更是如此.