第五节：逻辑与推理论证的学习分析课件

第5章 逻辑与推理论证的学习1内容提要2一、逻辑用语与学习心理二、推理、证明与学习心理逻辑用语：可用来准确、简洁地表述数学内容和数学定理，同时在各种交流活动中，逻辑用语可用来严密地表述对各种问题的思考结果．推理：是从一个或者一些已知的命题得出新命题

的思维过程或思维形式．其中已知的命题是前提，得出的新命题是结论．论证：是用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式，通常由论题、论点、论据和论证方式构成．3中学阶段，数学课程标准对逻辑用语与推理论证学习的基本要求是：逻辑基础：命题及命题的关系、命题与命题的条件、逻辑联结词、逻辑量词．推理：合情推理、演绎推理及两者之间的辩证关系．论证的基本方法：直接证明、间接证明、数学归纳法．4一、逻辑用语与学习心理5（一）判断学习1、判断的意义判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式．例如:2是自然数,1是质数,A=B,1+2=9,正数大于零,判断具有两个基本特征:一定要“有所断定”.不能作出肯定或否定的思维形式,就不能称为判断.如，“小于9吗”,“1+2=3吗”等都不是判断.（2）判断有真假之分.判断是对客观事物有所断定的一种思

维形式，是对客观事物情况的反映，而不是客观事物本身。如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断．例如，“正数大于零”是真判断，“两个无理数之和是无理数”是假判断．判断一般是用陈述句来表达的，它往往是概念与概念的联合．而疑问句、感叹句、祈使句一般不能表达任何肯定或否定的内容，因此不能成为一个判断．62、判断的分类:判断有简单判断和复合判断（1）简单判断在一个判断中，如果只包含结构最简单的判断，不包含其他的判断，叫做简单判断．简单判断又分为关系判断和性质判断。关系判断——就是断定客观对象间某种关系的判断.关系判断是由关系者项、关系项和量项三部分组成的.性质判断——是直接对事物的性质有所肯定或否定。7这里重点讨论性质判断①性质判断的定义性质判断是直接对事物的性质有所肯定或否定。传统逻辑亦把它称为直言判断.如“所有等边三角形都是相似的”，“有些一元二次方程没有实数根”.②性质判断的结构性质判断是由主项、谓项、量项、联项四部分组成。8性质判断的结构：主项——表示被判断的对象，通常用符号“S”表示。谓项——表示被判断对象的性质，通常用符号“P”表示。量项——表示判断中主项的数量（数量或范围的概念），反映判断量的差别(常用所有、一切、有些、有的、凡、每一个等表示)。量项一般又可分为三种：全称量项——它是一个全称量词，表示在一个判断中对主项的全部外延作了断定，常用“所有”、“一切”、“凡

”、“每一个”等来表示；特称量项—--它表示在一个判断中只对主项的部分外延作了断定，通常用“有的”、“有些”等来表示；单称量项—--它表示在一个判断中对主项的一个特定外延作了断定（所断定的主项只是某一个个别对象），一般用

“这个”、“那个”、“某个”等来表示。

9联项——也称联结项，表示判断中主、谓项之间的关系，反映判断质的差别(常用有、是、没有、都是、不是等表示)，联项可分为肯定联项（是）或否定联项（不是）.在肯定判断表达中，量项与联项有时可以省略.如，(一切)负数(是)没有对数；(凡)对顶角(都是)相等．注意：性质判断本身不包含其它判断成分，它实际上只是断定了“S”与“P”这两个概念之间的外延关系，所以它属于简单判断。10例如：所有等边三角形 都是 相似的

量项主项联项 谓项

有些 一元二次方程 没有 实数根性质判断的结构：(判断)=(量项)+(

S：主项)+(联项)+(

P：谓项)11（二）命题知识1、命题的含义中学阶段要求学生：（1）了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，并能正确地使用它们；（2）了解全称量词和存在量词的意义，并能正确地对含有量词的命题作出否定。在逻辑联结词与量词的学习中，学生最大的困难是理解“否定”、运用“否定”。12命题——表达判断的陈述语句称为命题。数学命题——表示数学判断或数学关系的陈述称为数学命题。数学中的定义、公理、定理、法则、性质、有些习题（结果正确，但未作为定理或公式使用的数学结论）都是命题。命题既可用语言叙述，也可用符号进行表示．常用的逻辑联结词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等；13常用的全称量词有“任意”、“所有”、“每一个”等；数学上用符号“ ”表示。常用的存在量词有“存在”、“某一个”、“至少有一个”等。数学上用符号“ ”表示。涉及量词的命题必须指出量词的作用与范围。命题也有真命题与假命题之分，结构上一般由条件(前提)和结论两部分组成。条件是已知事项,结论是由条件推出的事项。根据命题结构差异,往往把数学命题也分为简单命题与复合命题两种类型．14简单命题——是指结构最简单的命题,从其表达的形式结构上分析,它是不能再分解为其它命题的命题.数学命题（广义的）——主要来自定义、公理、定理、法则、性质、有些习题。（1）数学有一类语句的表达没有真假可言，如：含有变量x的“

” 就是没有判断真假的句子。（2）命题也有真假之分。152.命题种类联言命题——联结词“且”用来联结两个命题A、B ，得到新命题“A且B”称为联言命题，记作 为真命题当且仅当A和B都为真命题。选言命题——联结词“或”用来联结两个命题A、B，得到新命题“A或B”称为选言命题，记作AVB，AVB为真命题当且仅当A和B中至少有一个为真命题。负命题——设A是一个命题，联结词“非”是对命题B作否定，得到命题“非A”或“不是A”，成为A的负命题（不能称为否命题）记作 。A为真命题当且仅当 为假命题。16定义——揭示概念内涵的陈述称为定义．数学定义中的条件是所指概念的充分必要条件．公理——作为一个数学体系论证出发点的一组真命题，它们经实践检验(非逻辑论证)为正确，它们之间无矛盾性、彼此独立(不可互推)、具有完全性(不可缺少)，则称这组真命题为这个数学体系的公理.例如平面几何的一组公理：过两点可作一直线；由一点和一线段可以作圆；直角彼此相等；17定理——根据已知概念和真命题，经逻辑论证而得到的真命题叫做定理.推论——由某定理直接产生的结果叫做该定理的推论，一般附在该定理后面．性质——事物本身所具有的与他事物不同的特征.183、命题的运算命题真值的概念:对于命题A、B，如果A是一个真命题，我们就说A的真值等于1，记成A=1；如果B是一个假命题，我们就说B的真值等于O，记成B=0．一个命题只有或真或假，而不能既真又假．因此，一个命题的真值只能是1或0，不能既为1，又为0，或非1又非0．19（不能称为否命题），记作 ，读作“非A”（也可记

复合命题由于所采用的逻辑联结词不同，可分为下列五种形式：（1）否A定式（非）给定一个命题A,用联结词“非”组成一个复合命题“非A”或“不是（AA”,B，的称否为定A式的）负命题作

）1，其真值表如下：00120(２)析取式（或）

给定两个命题A与B，用联结词“或”组成一个复合命题

“A或B”，称为选言命题，记作A

B，其真值由下表来定义：ABAVB（A,B的析取式）11110101100021（3）合取式（与）两个命题A,B用逻辑联结词“且”联结起来的新命题“A且B”称为命题的合取式，也称为联言命题。记作“ ”，其真值可用下面的真值表来定义：AB（A,B的合取式）11110001000022（4）蕴含式给定两个命题A与B，用连接词“若……，则……”组成一个复合命题“若A则B”，记作，其真值可用下面的真值表来定义：

AB（A,B的蕴含式）11110001100123注意点：241.在蕴涵式的真值定义中，前两行与日常生活经验相符，容易被接受.但是“前件假，后件真，则蕴涵式真”的规定却与人们的直觉相悖，不易被人理解.我们通过一个例子说明其定义的合理性.案例：幻灯片

412.“若1+2=3，则雪是白的”在逻辑学上是真命题，但不能作为数学上的真命题。（5）等值式给定两个命题A与B，用联结词“等值”组成一个复合命题“A等值B”，记作“A

B”，其真值可用下面A

B真值表来定A B（A,B的等值式）义：11110001000125注：等价式与逻辑等价是不一样的：等价式是由p,q构成的新命题

；而逻辑等价是指两个命题p,q间的关系：即两个命题的真值表是完全相同的。26命题的四种形式及关系pq11001111100101100110100100111111注：从表中可以看出，互为逆否关系的两个命题是等价的。27命题的四种形式及关系原命题逆命题否命题逆否命题互逆互否互否逆否互为互逆28（三）学习心理1、命题知识学习心理命题知识涉及语言成分和逻辑成分，两个方面中只要一方面有欠缺，就会影响命题知识的学习．此外，日常经验的影响有时也会妨碍对命题的理解．下面是从教学中总结出的一些命题学习的心理问题．29（1）对公理的误解在基础教育阶段，为照顾学生的接受能力，往往用一些可

证明的命题作为学习论证的出发点或基本事实，这样可以

减轻学生的负担，不必要对可证明的命题都进行证明．但

是，这就容易造成误解，认为在论证时作为出发点的真命

题都是公理，甚至有时教师也会产生误解．作为论证出发

点的一组真命题要成为公理，它们必须是非逻辑论证而经

实践检验为正确的，同时应当满足：公理之间不能有矛盾，由公理导出(逻辑导出)的定理之间也不能有矛盾；公理是

彼此独立的，即公理不能被其他公理推出；公理还须具有

完全性，即这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的．30（2）区分命题中关系困难命题学习中，需要区别出命题的条件和命题的结论，从而把握命题的各种形式．对于那些条件或结论并不十分明显的命题，学生往往抓不住问题的关键点，难以作出正确区分．幻灯片4431（3）实际经验与命题理论存在差异实际学习中，学生能够表面地掌握命题的四种形式，并且知道原命题的真假不能决定逆命题和否命题的真假、原命题和逆否命题是等价的。但是对实际命题关系进行判断时，学生往往不考虑数学原理，仅依赖现实感觉作选择。幻灯片4432（4）“命题的否命题”与“命题的否定”的混淆命题的否定是对命题整体结论的否，而否命题是对命题中条件和结论的否，是命题中部分的否(条件及结论关系不变)，与命题结论的真假无关．例如，给出原命题“末位是5的整数可以被5整除”，要求写出否命题和命题的否定．该命题的否命题为“若整数末位不是5，则整数不能被5整除”，而该命题的命题否定为“并非末位是5的整数都能被5整除”或者“存在末位是5的整数，不被

5整除”．33（四）逻辑联结词与量词学习心理在逻辑联结词与量词的学习中，学生最大的困难是理解“否定”、运用“否定”．复合命题否定的数学形式是特点有两点:一是否定每一个命题，二是改变联结词．量词命题否定的数学形式是特点有两点:一是转换量词，二是否定命题

34实际学习中，对否定涉及的两个根本特点是．学生往往只兼顾一面，而忽视“两面俱到，造成逻辑上的错误．例如，下列一些错误：错误１“6是偶数且是3的倍数”的否定为“6是奇数且6不是3的倍数”．(是个复合命题)正确的否定为：“6是奇数或6不是3的倍数”．错误２

命题“每个人的寿命都是有限的”的否定为“每个人的寿命都是无限的”．正确的否定为：“有些人的寿命是无限的”．35逻辑联结词和逻辑量词中各因素的关系比较复杂，学生学习中很容易出错误．教学中应把握住两点：一是在逻辑概念引入时，要注意选用日常生活中的逻辑用语的例子，理解逻辑的意义，弄清逻辑关系；二是要有足量的逻辑基本训练，学生通过反复训练，反复思考，辨明逻辑要义，才能熟练把握各种逻辑关系．36（五）逆命题的制造37一个真命题的逆命题，只有经过论证后才知其真假．若一个定理的逆命题是真的，就得到原定理的逆定理．为研究一个定理的逆定理．这就要研究逆命题的制造方法．①当命题的条件和结论都是一个简单命题时，这时只要将它们互换位置就可以得到原命题唯一的一个逆命题．例如，命题“对顶角相等”，它的逆命题是“相等的角是对顶角”．这个逆命题显然是不正确的．②当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题的条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可得到多个逆命题．当相同个数简单命题交换时，所得逆命题的正确性较大，对其研究才有意义．例1：对原定理“在圆内，弦的垂直平分线必过圆心且平分该弦所对的弧”，不难得到它的五个逆定理：在圆内，过圆心且平分弦的直线必垂直该弦且平分该弦所对的弧；在圆内，平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直该弦；在圆内，过圆心且垂直弦的直线必平分该弦和该弦所对的弧；在圆内，垂直弦且平分该弦所对弧的直线必过圆心且平分该弦；在圆内，过圆心且平分弦所对弧的直线必垂直平分该弦．38（六）命题的同一原理39前面已经提到，互为逆否的两个命题等效，互逆或互否的两个命题不一定等效，但在某些特殊的情况下，一个命题与它的逆命题(或否命题)等效．例2原命题：对顶角相等．逆命题：相等的角是对顶角(不真)．例3原命题：等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线．逆命题：等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线(真)．我们注意到，例3中原命题的条件与结论所含事项都是唯一存在的，而且所指的是同一对象，而例2却没有这种特性．可见，两个互逆命题，如果条件和结论中所含事

项都是唯一存在的，且它们所指的是同一概念时，那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是

正确的，这叫做同一原理．即符合同一原理的两

个互逆命题是等效的，它们是同一法论证的逻辑

根据．因此，一个定理，如果条件和结论中所含

事项都唯一存在，且所指同一概念时，根据同一

原理，便可按照逆命题的制造法，直接写出它的

逆命题而断言其成立．例如，对于上述例1，由同一原理，便可直接得到它的五个逆定理．40例1小红的爸爸对小红作了一个许诺：如果小红数学得满分（p）；那么他替她买一件连衣裙（q），于是，就有四种可能发生.（1）小红数学得满分，爸爸买了一件连衣裙（p真q真）真（2）小红数学得满分，但爸爸没有买连衣裙（p真q假）假（3）小红数学没有得满分，爸爸仍然买了条连衣裙（p假q真）真（4）小红数学没有得满分，爸爸没有买连衣裙（