广东省师大附中2024届高二上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

广东省师大附中2024届高二上数学期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（）A. B.C.14 D.162．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B.2C. D.3．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，4．观察数列，（），，（）的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A. B.C. D.5．已知向量，满足条件，则的值为（）A.1 B.C.2 D.6．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）A B.C. D.7．若函数，则单调增区间为（）A. B.C. D.8．已知直线过点，，则直线的方程为（）A. B.C. D.9．过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A.或 B.2或C.或 D.2或10．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为A. B.C. D.211．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（）A. B.C. D.12．在数列中，，则此数列最大项的值是（）A.102 B.C. D.108二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得；②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角45°.其中所有正确结论的序号是___________.14．在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法数为__________.(结果用数值表示)15．已知数列的前项和为，，则___________，___________.16．已知圆：，：.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程18．（12分）已知抛物线E：y2＝8x（1）求抛物线的焦点及准线方程；（2）过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；（3）过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程19．（12分）求证：（1）是上的偶函数；（2）是上的奇函数.20．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布表如图所示.组号分组频数频率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.21．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，（1）证明：是的中点；（2）求二面角的大小22．（10分）已知函数（a为非零常数）（1）若f（x）在处的切线经过点（2，ln2），求实数a的值；（2）有两个极值点，.①求实数a的取值范围；②若，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】是函数的两个不同零点，所以，由于数列是等比数列，所以.故选：C2、A【解析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出结果【详解】双曲线中，焦点坐标为渐近线方程为：∴双曲线的焦点到渐近线的距离故选：A3、D【解析】通过命题的否定的形式进行判断【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“，”.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.4、D【解析】利用观察法可得，即得.【详解】由题可得数列的通项公式为，∴.故选：D5、A【解析】先求出坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.【详解】因为，所以，解得.故选：A.6、A【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，易知，当三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：.故选：A.注意:9至12题为多选题7、C【解析】求出导函数，令解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数，所以，令，得，所以的单调增区间为，故选：C.8、C【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即故选：C9、D【解析】求得点A，B的坐标，利用转化为坐标比求解.【详解】不妨设直线，由题意得，解得，即；由得，即，因为，所以，所以当时，，；当时，，则，故选：D10、A【解析】由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.11、B【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B.12、D【解析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，因为，所以当时，取得最大值，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②③【解析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可判断.【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由于，，所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故正确；对于③，，，由②的讨论得，所以，所以，设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，所以，故，由于要使直线与为异面直线，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，由于，所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.故答案为：②③14、18【解析】由题设，选取方式有两男教师一女教师或两女教师一男教师，应用组合数求出选取方法数.【详解】选取方式有：选两男教师一女教师或选两女教师一男教师，∴不同的选取方法有：种.故答案为：18.15、①.②.【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.【详解】，可得由，可知时，故时即可化为又故数列是首项为公比为2的等比数列，故数列的通项公式故答案为：①；②16、【解析】求出两圆的圆心坐标，再利用两点式求出直线方程，再化成一般式即可【详解】解：圆，即，两圆的圆心为：和，这两圆的连心线方程为：，即故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以(3)设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.18、（1）焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；（3）利用点差法求出直线l2的斜率，即可得直线l2的方程【小问1详解】由题意，p＝4，则焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2【小问2详解】当直线l1的斜率为0时，y＝1；当直线l1的斜率不为0时，设直线l1为x+1＝m(y-1)，联立，得y2-8my+8m+8＝0，因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直线l1的方程为x-y+2＝0或2x+y+1＝0，综上，直线l1为y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0【小问3详解】由题意，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则8x1，8x2，两式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直线l2为y-3(x-2)，即4x-3y+1＝019、（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】利用函数奇偶性的定义证明即可【小问1详解】由题意函数定义域为且故是上的偶函数【小问2详解】由题意函数定义域为且故是上奇函数20、（1），，（2）第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人（3）【解析】（1）根据频率分布表的数据求出b，c，d的值；（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人，第四组应抽2人，第五组应抽1人；（3）记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，利用列举法结合概率公式得出答案.【小问1详解】由题意得，，【小问2详解】三个组共有60人，所以第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人.【小问3详解】记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含，共15个基本事件.其中2人来自同一组的情况有，共4种.所以，2人来自同一组的概率为.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、直角三角形的性质、正三角形的性质进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义进行求解即可.【小问1详解】证明：在正三棱柱中，平面，平面，则,又是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，且，平面，故平面，而平面，所以，又为正三角形，所以为的中点；【小问2详解】在正中，取的中点为，则，又平面，则，且，平面，故平面，取的中点为，且的中点为，则，故平面，而平面，所以，在等腰直角中，取的中点为，则，，平面，所以平面，而平面，所以，故为二面角平面角，又，则，，所以在中，，即：，故二面角的大小为.：22、（1）（2）①（0，1）；②证明见解析【解析】小问1先求出切线方程，再将点（2，ln2），代入即可求出a的值；小问2的①通过求导，再结合函数的单调性求出a的取值范围；②结合已知条件，构造新函数即可得到证明.【小问1详